2019全国中考数学真题分类汇编:二次函数概念、性质和图象

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1、一、选择题1(2019温州)已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1x3的取值范围内,下列说法正确的是( )A有最大值-1,有最小值-2 B有最大值0,有最小值-1C有最大值7,有最小值-1 D有最大值7,有最小值-2【答案】D【解析】二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2-2,该函数在-1x3的取值范围内,当x=2时,y有最小值-2;当x=-1时,y有最大值7故选D.2(2019绍兴 )在平面直角坐标系中,抛物线经过变换后得到抛物线,则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位【答案】B【解析】y(x+5)(x3)(

2、x+1)216,顶点坐标是(1,16)y(x+3)(x5)(x1)216,顶点坐标是(1,16)所以将抛物线y(x+5)(x3)向右平移2个单位长度得到抛物线y(x+3)(x5),故选B3(2019嘉兴)小飞研究二次函数y(xm)2m+1(m为常数)性质时如下结论:这个函数图象的顶点始终在直线yx+1上;存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形;点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x1x2,x1+x22m,则y1y2;当1x2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为m2其中错误结论的序号是()ABCD【答案】C【解析】二次函数y(xm)2m+1(m

3、为常数),顶点坐标为(m,m+1)且当xm时,ym+1,这个函数图象的顶点始终在直线yx+1上,故结论正确;假设存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,令y0,得(xm)2m+10,其中m1,解得:xm,xm+,顶点坐标为(m,m+1),且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,|m+1|m(m)|,解得:m0或1,存在m0或1,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结论正确;x1+x22m,二次函数y(xm)2m+1(m为常数)的对称轴为直线xm,点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,x1x2,且10,y1y2,故结论错误;当1x2时,y随

4、x的增大而增大,且10,m的取值范围为m2故结论正确故选C4(2019杭州)在平面直角坐标系中,已知ab,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点,则( )AM=N-1或M=N+1BM=n-1或M=N+2CM=N或M=N+1 DM=N或M=N-1【答案】A【解析】先把两个函数化成一般形式,若为二次函数,再计算根的判别式,从而确定图象与x轴的交点个数,若一次函数,则与x轴只有一个交点,据此解答y=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+1,(a+b)2-4ab=(a-b)20,函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点

5、,M=2,函数y=(ax+1)(bx+1)=abx2+(a+b)x+1,当ab0时,(a+b)2-4ab=(a-b)20,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点,即N=2,此时M=N;当ab=0时,不妨令a=0,ab,b0,函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函数,与x轴有一个交点,即N=1,此时M=N+1;综上可知,M=N或M=N+1故选C5(2019烟台)已知二次函数的y与x的部分对应值如下表:x-10234y50-4-30下列结论:抛物线的开口向上;抛物线的对称轴为直线;当时,;抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;若,是抛物线上两点,则其中正确的个数是( )A

6、2 B3 C4 D5 【答案】B【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线,由图象可以看出抛物线开口向上,所以结论正确,由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为,所以抛物线的对称轴为直线且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4,所以结论和正确,有抛物线的图象可以看出当时,所以结论错误,由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时,对于的点均有两个,若,是抛物线上两点,既有可能,也有可能,所以结论错误6(2019绍兴 )在平面直角坐标系中,抛物线经过变换后得到抛物线,则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向左平移8个单位 D.向右平移8

7、个单位【答案】B【解析】y(x+5)(x3)(x+1)216,顶点坐标是(1,16)y(x+3)(x5)(x1)216,顶点坐标是(1,16)所以将抛物线y(x+5)(x3)向右平移2个单位长度得到抛物线y(x+3)(x5),故选B7(2019益阳)已知二次函数如图所示,下列结论:ae0,b-2a0,0,a-b+c0,正确的是( )A. B. C. D.第10题图【答案】A【解析】抛物线开口向下,且与y的正半轴相交,a0,c0,ac0,故正确;对称轴在-1至-2之间,4ab2a,b-2a0,故正确;抛物线与x轴有两个交点,=0,错误;当x=-1时,y=a-b+c0,错误.正确的说法是.故选A.

8、8(2019娄底) 二次函数的图象如图(5)所示,下列结论中正确的有( ) abc0 A 1个 B 2个C 3个D 4个【答案】A【解析】解:由抛物线的开口方向向下知a0,所以abc0 ;故结论错误;由抛物线与x轴有两个交点得,故结论错误;由图象知对称轴得;由a2a,即2ab;故结论错误; 由图象知:当x1时,y0即a+b+c0即ab+c0;,即;故结论正确 故答案A正确9. (2019济宁)将抛物线yx26x5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是( )Ay(x4)26 By(x1)23 Cy(x2)22 Dy(x4)22【答案】D【解析】yx26x5 (x3)

9、 24,把向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得y (x31) 242,即y(x4)2210、(2019巴中)二次函数yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论b24ac,abc0,2. a+b+c0,即b24ac,故正确;:图象开口向下,故a0,因为对称轴为x1,所以,所以2ab,故b0,错误;:a0,b0,所以2a+bc0,错误;当x1时,ya+b+c,由图可得,x3时,y0,由对称性可知,当x1时,y0,即a+b+c0,有下列结论:(1)abc0;(2)-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;(3)0m+n0,由图表可知x=0时,y=-2,x=1时,y=-

10、2,可以判断对称轴左侧y随x的增大而减小,图像开口向上,a0;由图表可知x=0时,y=-2,x=1时,y=-2,可得对称轴为直线,所以b0;x=0时,y=-2,所以c=-20(1)正确;(2)由于对称轴是直线,-2和3是关于对称轴对称的,所以(2)正确;(3)由对称轴是直线可得a+b=0,因为x=0时,y=-2,可知c=-2,当时,与其对应的函数值y0可得,当x=-1时,m=a-b-2=2a-2,因为-1和2关于对称轴对称,可得m=n,所以m+n,故(3)错误,故选C.【知识点】二次函数图像的性质.15. (2019衢州)二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是(A)A. (1.3)B.(

11、1,-3)C.(-1.3)D.(-1.-3)【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定,二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),所以y=(x-1)2+3的顶点坐标是(1.3),故选A.16. (2019重庆B卷)物线y的对称轴是()A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 【答案】【解析】设二次函数的解析式是y=, 则二次函数的对称轴为直线,顶点横坐标为顶点纵坐标为.所以抛物线y的对称轴是直线 .故选17.(2019自贡)一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是( )【答案】A.【解析】双曲线y=cx经过一、三象限,c

12、0.抛物线与y轴交于正半轴.直线y=ax+b经过第一、二和四象限,a0,b0,即-b2a0.抛物线y=ax2+bx+c开口向下,对称轴在y轴的右侧.故选A.18.(2019遂宁)二次函数y=x2-ax+b的图像如图所示,对称轴为直线x=2,下列结论不正确的是 ( )A. a=4B.当b= -4时,顶点的坐标为(2,-8)C.当x= -1 时,b -5 D.当x3时,y随x的增大而增大【答案】C【解析】选项A,由对称轴为直线x=2可得,a=4,正确;选项B,a=4,b= -4代入解析式可得,y=x2-4x-4,当x=2时,y=-8,顶点的坐标为(2,-8),正确;选项C,由图像可知,x=-1时,

13、y=0,代入解析式得B=-5,错误;选项D由图像可以看出当x3时,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,正确,故选C.二、填空题1、(2019遂宁)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O落在坐标原点,点A,点C分别在x轴,y轴的正半轴上,G为线段OA上一点,将OCG沿CG翻折,O点恰好落在对角线AC上的点P处,反比例函数 经过点B,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像经过C(0,3),G、A三点,则该二次函数的解析式为(填一般式)【答案】【解析】矩形OABC,C(0,3)B点的纵坐标为3,反比例函数 经过点B,B(4,3),A(4,0),OA=4,C(0,3),OC=3,RtACO

14、中,AC=5.设G(m,0)则OG=m翻折GP=OG=m,CP=CO=3,AP=2,AG=4-m,RtAGP中,m2+22=(4-m)2,m=,G(,0),A(4,0)C(0,3)G(,0)解析式为2(2019广元)如图,抛物线yax2+bx+c(a0)过点(1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M4a+2b+c,则M的取值范围是_.第15题图【答案】6M0,a0,a+20,a2,2a0,M4a+2b+c4a+2(a+2)+26a+6,6M6.3(2019衡阳)在平面直角坐标系中,抛物线yx2的图象如图所示已知点A坐标为(1,1),过点A作AA1x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2OA

15、交抛物线于点A2,过点A2作A2A3x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4OA交抛物线于点A4,依次进行下去,则点A2019的坐标为 【答案】(1010,10102)【解析】A(1,1),A 1(1,1),A 2(2,4),A 3(2,4),A 4(3,9),A 5(3,9),A 2019(1000,1000 2)4(2019株洲)若二次函数的图像开口向下,则a 0(填“”或“”或“”)【答案】【解析】二次函数开口向下,则a0时,随的增大而增大,这个函数的表达式可以是_(只要写出一个符合题意的答案即可).【答案】y=x2【解析】本题主要考查了一次函数与二次函数的增减性, y=kx(k0)和y

16、=ax2(a0)都符合条件,故答案可以为y=x2.7. (2019济宁)如图,抛物线yax2c与直线ymxn交于A(1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2mxcn的解集是_【答案】x3或x1【解析】由所给的图象可知,x3或x1时,ax2cmxn8. (2019泰安)若二次函数yx2+bx5的对称轴为直线x2,则关于x的方程x2+bx52x13的解为_.【答案】x12,x24【解析】二次函数yx2+bx5的对称轴为直线x2,b4,原方程化为x24x52x13,解之,得x12,x24.9. (2019达州)如图,抛物线(m为常数)交y轴于点A,与x轴的一个交点在2和3之间,顶点为B.抛物线与直

17、线y=m+2有且只有一个交点;若点M(-2,y)、点N(,y)、点P(2,y)在该函数图像上,则yyy;将该抛物线向左平移2个单位,在向下平移2个单位,所得的抛物线解析式为;点A关于直线x=1的对称点为C,点D、E分别在x轴和y轴上,当m=1时,四边形BCDE周长的最小值为. 其中正确判断的序号是_.【答案】【解析】抛物线与直线y=m+2的交点为:,得:,因为,抛物线与直线y=m+2有且只有一个交点,正确;由图可得:,故错误;=,将该抛物线向左平移2个单位,在向下平移2个单位,所得的抛物线解析式为,故正确;点A关于直线x=1的对称点为C,点D、E分别在x轴和y轴上,当m=1时,四边形BCDE周

18、长的最小值为,故正确.10.(2019凉山)当0x3时,直线y=a与抛物线y=(x-l)2-3有交点,则a的取值范围是 【答案】-3a-2【解析】 抛物线y=(x-1)2-3的顶点坐标为(1,-3),当x=0时,y=-2,当x=3时,y=1,当0x3时,-3y-2,直线y=a与抛物线有交点时,a的取值范围为-3a-2.三、解答题1(2019浙江省温州市,21,10分)(本题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧)(1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y0时x的取值范围;(2)把点B向上平移m个单位得点B1若点B1向左平移

19、n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合已知m0,n0,求m,n的值【解题过程】(1) 令y=0,则-x2+2x+6=0,x1=-2,x2=6,A(-2,0),B(6,0).由函数图像得,当y0时,x的取值范围为-2x6;(2) 由题意得B2(6-n,m),B3(-n,m),函数图像的对称轴为直线x=2. 点B2、点B3在二次函数图象上且纵坐标相同, =2,n=1, m=-(-1)2+2(-1)+6=, m,n的值分别为,1.2(2019山东威海,23,10)在画二次函数yax2bxc(a0)的图象时,甲写错了一次项的系数,

20、列表如下x10123y甲63236乙写错了常数项,列表如下:x10123y乙212714通过上述信息,解决以下问题:(1)求原二次函数yax2bxc(a0)的表达式;(2)对于二次函数yax2bxc(a0),当x时,y的值随x的值增大而增大;(3)若关于x的方程ax2bxck(a0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围【解题过程】(1)因为根据甲同学的错误可知c3,根据乙同学提供的数据,选择x1,y2;x1,y2代入得,解得,y3x22x3;(2)y3x22x3的对称轴为直线x,二次项系数为-3,故抛物线开口向下,当x时,y的值随x的值增大而增大;故答案为;(3)方程ax2bxck(a0)有两

21、个不相等的实数根,即3x22x3k0有两个不相等的实数根,412(3k)0,解得k.3(2019泰州)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,3),该图象与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.(1)求该二次函数的表达式;(2)求tanABC.第22题图【解题过程】(1)因为二次函数图像的顶点坐标为(4,3),设该二次函数表达式为ya(x4)23,因为图象与x轴相交于点A,A的坐标为(1,0),把A的坐标代入ya(x4)23,解得a,所以y(x4)23;(2)令x0,得y,所以C(0,),OC,令y0,得,x11,x27,所以B(7,0),OB,所以在RtOBC中,tanABC;4. (2019宁波)如图,已知二次函数yx2+ax+3的图形经过点P(2,3).(1)求a的值和图象的顶点坐标;(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上:当m2时,求n的值;若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.解:(1)把P(2,3)代入yx2+ax+3,得3(2)2+a(2)+3,解之,得a2,yx2+2x+3(x+1)2+2,顶点坐标为(1,2);(2)把x2代入yx2+2x+3,得y11,当m2,时,n11;当点Q到y轴的距离小于2时,即2m2,函数可以取得最小值为2,当x2时,y3,当x2时,y11,n的取值范围为2n11.

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