2019全国中考数学真题分类汇编:二次函数概念、性质和图象

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一、选择题 1.(2019·温州)已知二次函数yx2-4x2,关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内,下列说法正确的是( ) A.有最大值-1,有最小值-2 B.有最大值0,有最小值-1 C.有最大值7,有最小值-1 D.有最大值7,有最小值-2 【答案】D 【解析】∵二次函数yx2-4x2x-22-2,∴该函数在-1≤x≤3的取值范围内,当x2时,y有最小值-2;当x-1时,y有最大值7.故选D. 2.(2019·绍兴 )在平面直角坐标系中,抛物线经过变换后得到抛物线,则这个变换可以是 A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位 【答案】B 【解析】y=(x5)(x﹣3)=(x1)2﹣16,顶点坐标是(﹣1,﹣16). y=(x3)(x﹣5)=(x﹣1)2﹣16,顶点坐标是(1,﹣16).所以将抛物线y=(x5)(x﹣3)向右平移2个单位长度得到抛物线y=(x3)(x﹣5),故选B. 3.(2019·嘉兴)小飞研究二次函数y=﹣(x﹣m)2﹣m1(m为常数)性质时如下结论 ①这个函数图象的顶点始终在直线y=﹣x1上; ②存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形; ③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x1<x2,x1x2>2m,则y1<y2; ④当﹣1<x<2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为m≥2. 其中错误结论的序号是( ) A.①B.②C.③D.④ 【答案】C 【解析】二次函数y=﹣(x﹣m)2﹣m1(m为常数), ①∵顶点坐标为(m,﹣m1)且当x=m时,y=﹣m1, ∴这个函数图象的顶点始终在直线y=﹣x1上, 故结论①正确; ②假设存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形, 令y=0,得﹣(x﹣m)2﹣m1=0,其中m≤1, 解得x=m﹣,x=m, ∵顶点坐标为(m,﹣m1),且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形, ∴|﹣m1|=|m﹣(m﹣)|, 解得m=0或1, ∴存在m=0或1,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形, 故结论②正确; ③∵x1x2>2m, ∴, ∵二次函数y=﹣(x﹣m)2﹣m1(m为常数)的对称轴为直线x=m, ∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离, ∵x1<x2,且﹣1<0, ∴y1>y2, 故结论③错误; ④当﹣1<x<2时,y随x的增大而增大,且﹣1<0, ∴m的取值范围为m≥2. 故结论④正确. 故选C. 4.(2019·杭州)在平面直角坐标系中,已知a≠b,设函数y(xa)(xb)的图象与x轴有M个交点,函数y(ax1)(bx1)的图象与x轴有N个交点,则( ) A.MN-1或MN1B.Mn-1或MN2C.MN或MN1 D.MN或MN-1 【答案】A 【解析】先把两个函数化成一般形式,若为二次函数,再计算根的判别式,从而确定图象与x轴的交点个数,若一次函数,则与x轴只有一个交点,据此解答.∵y(xa)(xb)x2(ab)x1,∴(ab)2-4ab(a-b)2>0,∴函数y(xa)(xb)的图象与x轴有2个交点,∴M2,∵函数y(ax1)(bx1)abx2(ab)x1,∴当ab≠0时,(ab)2-4ab(a-b)2>0,函数y(ax1)(bx1)的图象与x轴有2个交点,即N2,此时MN;当ab0时,不妨令a0,∵a≠b,∴b≠0,函数y(ax1)(bx1)bx1为一次函数,与x轴有一个交点,即N1,此时MN1;综上可知,MN或MN1.故选C. 5.(2019·烟台)已知二次函数的y与x的部分对应值如下表 x -1 0 2 3 4 y 5 0 -4 -3 0 下列结论①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线;③当时,;④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;⑤若,是抛物线上两点,则. 其中正确的个数是( ). A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线,由图象可以看出抛物线开口向上,所以结论①正确,由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为,,所以抛物线的对称轴为直线且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4,所以结论②和④正确,有抛物线的图象可以看出当时,,所以结论③错误,由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时,对于的点均有两个,若,是抛物线上两点,既有可能,也有可能,所以结论⑤错误. 6.(2019·绍兴 )在平面直角坐标系中,抛物线经过变换后得到抛物线,则这个变换可以是 A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位 【答案】B 【解析】y=(x5)(x﹣3)=(x1)2﹣16,顶点坐标是(﹣1,﹣16). y=(x3)(x﹣5)=(x﹣1)2﹣16,顶点坐标是(1,﹣16).所以将抛物线y=(x5)(x﹣3)向右平移2个单位长度得到抛物线y=(x3)(x﹣5),故选B. 7.(2019·益阳)已知二次函数如图所示,下列结论①ae<0,②b-2a<0,③<0,④a-bc<0,正确的是( ) A. ①② B.①④ C.②③ D.②④ 第10题图 【答案】A 【解析】∵抛物线开口向下,且与y的正半轴相交,∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确; ∵对称轴在-1至-2之间,∴,∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确; ∵抛物线与x轴有两个交点,∴△>0,∴③错误; ∵当x-1时,ya-bc>0,∴④错误. ∴正确的说法是①②.故选A. 8.(2019·娄底) 二次函数的图象如图(5)所示,下列结论中正确的有( ) ①abc0,所以abc0 ;故结论①错误; ②由抛物线与x轴有两个交点得,故结论②错误; ③由图象知对称轴得;由a2a,即2a0即a-bc0; ∴,即;∴.故结论④正确. 故答案A正确. 9. (2019·济宁)将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是( ) A.y=x-42-6 B.y=x-12-3 C.y=x-22-2 D.y=x-42-2 【答案】D 【解析】y=x2-6x+5= x-3 2-4,把向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后, 得y= x-3-1 2-4+2,即y=x-42-2. 10、2019·巴中二次函数y=ax2bxca≠0的图象如图所示,下列结论①b24ac,②abc0, 2. ④abc0,即b24ac,故①正确;②图象开口向下,故a0,因为对称轴为x=-1,所以,所以2a=b,故b0,②错误;③a0,所以2ab-c0,有下列结论(1)abc0;2-2和3是关于x的方程ax2bxct的两个根;(3)00,由图表可知x0时,y-2,x1时,y-2,可以判断对称轴左侧y随x的增大而减小,图像开口向上,a0;由图表可知x0时,y-2,x1时,y-2,可得对称轴为直线,所以b0(1)正确;(2)由于对称轴是直线,-2和3是关于对称轴对称的,所以(2)正确;(3)由对称轴是直线可得ab0,因为x0时,y-2,可知c-2,当时,与其对应的函数值y0可得,当x-1时,ma-b-22a-2,因为-1和2关于对称轴对称,可得mn,所以mn,故(3)错误,故选C. 【知识点】二次函数图像的性质. 15. (2019·衢州)二次函数y(x-1)23图象的顶点坐标是(A) A. (1.3)B.(1,-3)C.(-1.3)D.(-1.-3) 【答案】A 【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定,二次函数ya(x-h)2k的顶点坐标为(h,k),所以y(x-1)23的顶点坐标是(1.3),故选A. 16. (2019·重庆B卷)物线y=的对称轴是( ) A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 【答案】C 【解析】设二次函数的解析式是y, 则二次函数的对称轴为直线,顶点横坐标为顶点纵坐标为.所以抛物线y=的对称轴是直线 .故选C. 17.(2019·自贡)一次函数yaxb与反比例函数ycx的图象如图所示,则二次函数yax2bxc的大致图象是( ) 【答案】A. 【解析】∵双曲线ycx经过一、三象限, ∴c>0. ∴抛物线与y轴交于正半轴. ∵直线yaxb经过第一、二和四象限, ∴a<0,b>0,即-b2a<0. ∴抛物线yax2bxc开口向下,对称轴在y轴的右侧. 故选A. 18.(2019·遂宁)二次函数yx2-axb的图像如图所示,对称轴为直线x2,下列结论不正确的是 A. a4 B.当b -4时,顶点的坐标为(2,-8) C.当x -1 时,b -5 D.当x3时,y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】选项A,由对称轴为直线x2可得,∴a4,正确;选项B,∵a4,b -4 ∴代入解析式可得,yx2-4x-4,当x2时,y-8,∴顶点的坐标为(2,-8),正确;选项C,由图像可知,x-1时,y0,代入解析式得B-5,∴错误;选项D由图像可以看出当x3时,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,正确,故选C. 二、填空题 1、(2019·遂宁)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O落在坐标原点,点A,点C分别在x轴,y轴的正半轴上,G为线段OA上一点,将△OCG沿CG翻折,O点恰好落在对角线AC上的点P处,反比例函数 经过点B,二次函数yax2bxca≠0的图像经过C(0,3),G、A三点,则该二次函数的解析式为(填一般式) 【答案】 【解析】∵矩形OABC,C(0,3)∴B点的纵坐标为3,∵反比例函数 经过点B,∴B4,3),A(4,0),∴OA4,∵C(0,3),∴OC3,∴Rt△ACO中,AC5.设G(m,0则OGm∵翻折∴GPOGm,CPCO3,∴AP2,AG4-m,∴Rt△AGP中,m2224-m2,∴m,∴G,0),∵A(4,0)C(0,3)G,0)∴解析式为 2.2019·广元如图,抛物线y=ax2bxca≠0过点-1,0,0,2,且顶点在第一象限,设M=4a2bc,则M的取值范围是________. 第15题图 【答案】-60,∴a0,a20,a-2,∴-20时,随的增大而增大,这个函数的表达式可以是 ____________(只要写出一个符合题意的答案即可). 【答案】yx2 【解析】本题主要考查了一次函数与二次函数的增减性, ykx(k0)和yax2(a0)都符合条件,故答案可以为yx2. 7. (2019·济宁)如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A-1,p,B3,q两点,则不等式ax2+mx+c>n的解集是______________. 【答案】x<-3或x>1 【解析】由所给的图象可知,x<-3或x>1时,ax2+c>-mx+n. 8. 2019·泰安若二次函数y=x2bx-5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2bx-5=2x-13的解为________. 【答案】x1=2,x2=4 【解析】∵二次函数y=x2bx-5的对称轴为直线x=2,∴,∴b=-4,∴原方程化为x2-4x-5=2x-13,解之,得x1=2,x2=4. 9. (2019·达州)如图,抛物线(m为常数)交y轴于点A,与x轴的一个交点在2和3之间,顶点为B. ①抛物线与直线ym2有且只有一个交点;②若点M(-2,y、点N(,y、点P(2,y在该函数图像上,则yyy;③将该抛物线向左平移2个单位,在向下平移2个单位,所得的抛物线解析式为;④点A关于直线x1的对称点为C,点D、E分别在x轴和y轴上,当m1时,四边形BCDE周长的最小值为. 其中正确判断的序号是____________. 【答案】①③④ 【解析】抛物线与直线ym2的交点为 , 得, 因为, ∴抛物线与直线ym2有且只有一个交点,①正确; 由图可得,故②错误; ,将该抛物线向左平移2个单位,在向下平移2个单位,所得的抛物线解析式为,故③正确; 点A关于直线x1的对称点为C,点D、E分别在x轴和y轴上,当m1时,四边形BCDE周长的最小值为,故④正确. 10.(2019·凉山)当0≤x≤3时,直线ya与抛物线yx-l2-3有交点,则a的取值范围是 . 【答案】-3≤a≤-2 【解析】 抛物线yx-12-3的顶点坐标为(1,-3),当x0时,y-2,当x3时,y1,∴当0≤x≤3时,-3≤y≤-2,∴直线ya与抛物线有交点时,a的取值范围为-3≤a≤-2. 三、解答题 1.(2019浙江省温州市,21,10分)(本题满分10分) 如图,在平面直角坐标系中,二次函数y-x22x6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧). (1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围; (2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左平移n6个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m>0,n>0,求m,n的值. 【解题过程】1 令y0,则-x22x60,∴x1-2,x26,∴A-2,0,B6,0. 由函数图像得,当y≥0时,x的取值范围为-2≤x≤6; 2 由题意得B26-n,m,B3-n,m, 函数图像的对称轴为直线x2. ∵ 点B2、点B3在二次函数图象上且纵坐标相同, ∴ 2,∴n1, ∴ m--122-16, ∴ m,n的值分别为,1. 2.(2019山东威海,23,10)在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下 x ﹣1 0 1 2 3 y甲 6 3 2 3 6 乙写错了常数项,列表如下 x ﹣1 0 1 2 3 y乙 ﹣2 ﹣1 2 7 14 通过上述信息,解决以下问题 (1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式; (2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x 时,y的值随x的值增大而增大; (3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围. 【解题过程】(1)因为根据甲同学的错误可知c=3, 根据乙同学提供的数据,选择x=﹣1,y=﹣2;x=1,y=2代入 得,解得∴, ∴y=﹣3x2+2x+3; (2)y=﹣3x2+2x+3的对称轴为直线x=, ∵二次项系数为-3,故抛物线开口向下, ∴当x≤时,y的值随x的值增大而增大; 故答案为≤; (3)∵方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根, 即﹣3x2+2x+3﹣k=0有两个不相等的实数根, ∴△=4+12(3﹣k)>0, 解得k<. 3.2019·泰州如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为4,-3,该图象与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1. 1求该二次函数的表达式; 2求tan∠ABC. 第22题图 【解题过程】1因为二次函数图像的顶点坐标为4,-3,设该二次函数表达式为y=ax-42-3,因为图象与x轴相交于点A,A的坐标为1,0,把A的坐标代入y=ax-42-3,解得a=,所以y=x-42-3; 2令x=0,得y=,所以C0,,OC=,令y=0,得,x1=1,x2=7,所以B7,0,OB=,所以在Rt△OBC中,tan∠ABC==; 4. 2019·宁波如图,已知二次函数y=x2ax3的图形经过点P-2,3. 1求a的值和图象的顶点坐标; 2点Qm,n在该二次函数图象上 ①当m=2时,求n的值; ②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围. 解1把P-2,3代入y=x2ax3,得3=-22a-23,解之,得a=2,∴y=x22x3=x122,∴顶点坐标为-1,2; 2①把x=2代入y=x22x3,得y=11,∴当m=2,时,n=11; ②当点Q到y轴的距离小于2时,即-2m2,函数可以取得最小值为2,当x=-2时,y=3,当x=2时,y=11,∴n的取值范围为2≤n11.
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