1、2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程一、选择题1抛物线y2x2的焦点到准线的距离是()A2 B1 C. D.答案C解析抛物线y2x2化为x2y，焦点到准线的距离为.2已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1)答案B解析抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题设知1，即p2，故焦点坐标为(1,0)故选B.3已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A2 B. C1 D2答案A解析抛物线y22px的准线方程为x，它与圆相切，所以必有34，所以p2.4一动圆过点(0,1)且
2、与定直线l相切，圆心在抛物线x24y上，则l的方程为()Ax1 BxCy1 Dy答案C解析因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x24y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y1.5经过点P(4，2)的抛物线的标准方程为()Ay2x或x28y By2x或y28xCy28x Dx28y答案A解析因为点P在第四象限，所以抛物线开口向右或向下当开口向右时，设抛物线方程为y22p1x(p10)，则(2)28p1，所以p1，所以抛物线方程为y2x.当开口向下时，设抛物线方程为x22p2y(p20)，
3、则424p2，p24，所以抛物线方程为x28y.综上，y2x或x28y.6已知抛物线y24x上一点P到焦点F的距离为5，则PFO的面积为()A1 B2 C3 D4答案B解析由题意，知抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x1.因为抛物线y24x上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线的定义可知，点P到准线x1的距离是5，则点P到y轴的距离是4，所以P(4，4)，所以PFO的面积为142.二、填空题7设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_答案解析抛物线的焦点F的坐标为，线段FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得12p，解得p
4、，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为.8过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若AF3，则BF_.答案解析抛物线y24x的准线为x1，焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由抛物线的定义可知AFx113，所以x12，所以y12，由抛物线关于x轴对称，假设A(2,2)由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y02(x1)，代入抛物线方程消去y，得2x25x20，求得x2或，所以x2，故BF.9O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为抛物线C上一点，若PF4，则POF的面积为_答案2解析抛物线C的准线方程为x，焦点F(，0)由PF4及抛物线的定义知
5、，P点的横坐标为xP3，从而纵坐标为yP2.SPOFOF|yP|22.10已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值为_答案解析抛物线y22x的焦点坐标为F，准线是x.由抛物线的定义知，点P到焦点F的距离等于它到准线x的距离因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0,2)的距离，因此所求距离之和的最小值为.11已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，则点P到点Q
6、的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是_答案1解析点P到抛物线准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是1.三、解答题12已知抛物线的顶点在原点，它的准线过1的一个焦点，且与x轴垂直又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程解因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y22px(p0)将点代入方程，得p2，所以抛物线方程为y24x，准线方程为x1.由此知双曲线方程中c1，焦点为(1,0)，(1,0)，点到两焦点的距离之差为2a1，所以双曲线的标准方程为1
7、.13已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且AFBF8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程解设抛物线的方程为y22px(p0), 则其准线方程为x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AFBF8，x1x28，即x1x28p.Q(6,0)在线段AB的中垂线上， QAQB，即，又y2px1，y2px2，(x1x2)(x1x2122p)0.AB与x轴不垂直，x1x2.故x1x2122p8p122p0，即p4.抛物线方程为y28x.14已知抛物线y22px的焦点F与双曲线1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为
8、K，点A在抛物线上，且AKAF，则AFK的面积为_答案32解析由题意可知抛物线焦点坐标为F(4,0)过点A作直线AA垂直于抛物线的准线，垂足为A，根据抛物线定义知，AAAF，则在AAK中，AKAA，故KAA45，所以直线AK的倾斜角为45，直线AK的方程为yx4，代入抛物线方程y216x，得y216(y4)，即y216y640，解得y8.所以AFK为直角三角形，故AFK的面积为8832.15设抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为抛物线C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)若BFD90，ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同
9、一直线m上，直线n与m平行，且直线n与抛物线C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，BD2p，圆F的半径FAp.由抛物线定义可知，A到准线l的距离dFAp.因为ABD的面积为4，所以BDd4，即2pp4，解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB90.由抛物线定义知，ADFAAB，所以ABD30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x22py，得x2px2pb0.由于直线n与抛物线C只有一个公共点，故p28pb0，解得b.因为m的截距b1，3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值也为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.
