1、2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程一、选择题1已知双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A. B. C. D(，0)答案B解析将双曲线方程化为标准方程为x21，a21，b2，c2a2b2，c，故右焦点坐标为.2已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若PF1PF2b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为()A.y21 B.1Cx21 D.1答案C解析由题意得解得则该双曲线的方程为x21.3已知双曲线1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于()A. B5 C7 D.答案D解析根据题意可知，双曲线的标准方程为1.由其焦距为4，得c2，则有c22a
2、3a4，解得a.4已知双曲线1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为()A3或7 B6或14C3 D7答案A解析连结ON，ON是PF1F2的中位线，ONPF2，|PF1PF2|4，PF110，PF214或6，ONPF27或3.5“mn0”是“方程mx2ny21表示双曲线”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案C解析因为mn0，所以m，n均不为0且异号，方程mx2ny21，可化为1，因为与异号，所以方程1表示双曲线，故“mn0”是“方程mx2ny21表示双曲线”的充分条件；反之，若mx2ny21表示双曲线，则其方程可化为1，
3、可知与异号，则必有mn0，故“mn0”是“方程mx2ny21表示双曲线”的必要条件综上可得，“mn0，b0)，则由解得所以所求双曲线的标准方程为y21.8已知双曲线1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且AB4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为_答案9解析由已知，ABAF2BF220.又AB4，则AF2BF216.根据双曲线的定义，2aAF2AF1BF2BF1，所以4aAF2BF2(AF1BF1)16412，即a3，所以ma29.9设F1，F2是双曲线1的左、右焦点，P是双曲线左支上一点若PF1，PF2，F1F2成等差数列，且公差大于0，则F1PF2_.答案
4、120解析由PF1F1F22PF2，PF2PF14，得PF16，PF210.又F1F214，由余弦定理，可得cosF1PF2，F1PF2120.10设F1，F2分别是双曲线y21的左、右焦点，点P在双曲线上，当F1PF2的面积为1时，的值为_答案0解析不妨设P(xP，yP)(xP0，yP0)由2cyP1，得yP，P，0.三、解答题11已知在周长为48的RtMPN中，MPN90，tanPMN，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的标准方程解由RtMPN的周长为48，且tanPMN，设PN3k，PM4k，则MN5k,3k4k5k48，得k4，则PN12，PM16，MN20.以MN中点为坐标原点，以M
5、N所在直线为x轴，以线段MN的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，由PMPN42a，得a2，a24，由MN20，得2c20，c10，则b2c2a296，所以双曲线的标准方程为1.12已知方程kx2y24，其中kR，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型解(1)当k0时，方程变为y2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k1时，方程变为x2y24，表示圆心为原点，以2为半径的圆；(3)当k0时，方程变为1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0k1时，方程变为1，表示焦点在y轴上的椭圆13已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F
6、1，F2为左、右焦点，且MF1MF26，试判断MF1F2的形状解(1)椭圆方程可化为1，焦点在x轴上，且c，故设双曲线方程为1.则有解得a23，b22，所以双曲线的标准方程为1.(2)不妨设点M在双曲线的右支上，则有MF1MF22，又MF1MF26，解得MF14，MF22.又F1F22，因此在MF1F2中，MF1边最长，而cosMF2F10)的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B，C使得ABC为等腰直角三角形，则实数m的取值范围为_答案(0,1)解析由题意可知，点A的坐标为，设直线AB的方程为ytan 45，即xy，与双曲线方程联立，可得则(m1)y22y0，解得y0或y.由题意知y为B点的纵坐标，且满足0，即0m1.15已知0180，当变化时，方程x2cos y2sin 1表示的曲线怎样变化？解(1)当090时，方程为1.当045时，0，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当45时，方程表示圆x2y2；当450，方程表示焦点在x轴上的椭圆；(2)当90时，方程为y21，方程表示两条平行直线y1.(3)当90180时，方程为1，方程表示焦点在y轴上的双曲线
