1、2.3.2双曲线的几何性质学习目标1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质知识点一双曲线的几何性质思考类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线1(a0，b0)的哪些几何性质？答案范围、对称性、顶点、离心率、渐近线梳理标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)知识点二双曲线的离心率思考在椭圆中，椭圆的离心率
2、可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案双曲线1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e，则.当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大梳理定义：双曲线的焦距与实轴长的比e，叫做双曲线的离心率性质：离心率e的取值范围是(1，)e越大，双曲线的张口越大知识点三双曲线的相关概念实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程是yx，离心率为.1等轴双曲线的离心率是1.()2椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同()3双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点()4方程1
3、(a0，b0)的渐近线方程为yx.()类型一已知双曲线的标准方程研究几何性质例1求双曲线x23y2120的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率解将方程x23y2120化为标准方程为1，a24，b212，a2，b2，c4，双曲线的实轴长为2a4，虚轴长为2b4；焦点坐标为F1(0，4)，F2(0,4)；顶点坐标为A1(0，2)，A2(0,2)；渐近线方程为yx；离心率e2.反思与感悟已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2a2b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质跟踪训练1求双曲线9y24x236
4、的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解将9y24x236变形为1，即1，a3，b2，c，因此顶点坐标为(3,0)，(3,0)；焦点坐标为(，0)，(，0)；实轴长是2a6，虚轴长是2b4；离心率e；渐近线方程为yxx.类型二由双曲线的几何性质确定标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8，双曲线的标准方程为1或1.(2)设以yx为渐
5、近线的双曲线方程为(0)当0时，a24，2a26；当0时，a29，2a261.双曲线的标准方程为1或1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2(0)将点(2，2)代入双曲线方程，得(2)22，双曲线的标准方程为1.反思与感悟(1)求双曲线的标准方程的步骤：确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；设双曲线的标准方程；根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；求出a，b，写出方程(2)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b20)，则c210k，b2c2a2k.设所求双曲线方程为1，或1.将(3,9)代入，得k161，与k0矛盾，无解；将(3,9)代入，得k9.故所求双曲线的标准
6、方程为1.(3)方法一双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.联立，解得a28，b232.故所求双曲线的标准方程为1.方法二由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.故所求双曲线的标准方程为1.类型三求双曲线的离心率例3分别求适合下列条件的双曲线的离心率：(1)双曲线的渐近线方程为yx；(2)双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直
7、线l的距离为c.解(1)若焦点在x轴上，则，e；若焦点在y轴上，则，即，e.综上可知，双曲线的离心率为或.(2)依题意得直线l：bxayab0.由原点到l的距离为c，得c，即abc2，16a2b23(a2b2)2，即3b410a2b23a40，321030.解得或3.又0ab，3，e2.反思与感悟求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2a2b2，直接求a，c的值而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值同时也要注意问题中条件对离心率的限制，以保证问题结果的准确性跟踪训练3(1)若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为_
8、答案或解析若焦点在x轴上，则，e ；若焦点在y轴上，则，即，e .综上可知，双曲线的离心率为或.(2)已知双曲线1的右焦点坐标为(3,0)，则该双曲线的离心率e_.答案解析因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)，所以c3，b25，则a2c2b2954，所以a2，所以e.1双曲线的一个顶点坐标为(1,0)，一条渐近线方程为y2x，则双曲线方程为_答案x21解析由题意知a1，又2，b2，双曲线方程为x21.2设双曲线1的渐近线方程为3x2y0，则a_.答案4解析方程表示双曲线，a0，b0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2，再结合其他条件求得就可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形
