1、模块综合试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1已知命题p：x9，log3x2，则下列关于命题綈p的说法中，正确的是()A綈p：x9，log3x2为假命题B綈p：x9，log3x2为真命题C綈p：x9，log3x2为真命题D綈p：x9，log3xln b”是“aln bab0，ab，ab0是ab的充分不必要条件，“ln aln b”是“a0)若函数f(x)ax2ln x的图象上存在垂直于y轴的切线，则2ax0存在大于0的实数根，即a0)，l72.令l0，解得x4或x4(舍去)当0x4时，l4时，l0.故当x4时，l有最小值816.因此，当箱底
2、是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元故选D.10设P为直线yx与双曲线1(a0，b0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e为()A. B. C. D.答案B解析由PF1x轴且P点在双曲线的左支上，可得P.又因为点P在直线yx上，所以P，所以(c)，整理得c3b，根据c2a2b2得a2b，所以双曲线的离心率e.11设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF2F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0 B3x5y0C5x4y0 D4x3y0答案D解
3、析由题意可知PF2F1F22c，所以PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以PF124b，又PF1PF22a，所以4b2c2a，所以2bac，两边平方可得4b24aba2c2a2b2，所以3b24ab，所以4a3b，从而，所以该双曲线的渐近线方程为4x3y0，故选D.12若在曲线f(x，y)0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)0的“自公切线”下列方程：x2y21；yx2|x|；y3sin x4cos x；|x|1对应的曲线中存在“自公切线”的有()A B C D答案B解析x2y21是一个等轴双曲
4、线，没有“自公切线”；yx2|x|在x和x处的切线都是y，故有“自公切线”；y3sin x4cos x5sin(x)，cos ，sin ，此函数是周期函数，过图象的最高点或最低点的切线都重合，故有“自公切线”；由于|x|1，即x22|x|y230，结合图象可得，此曲线没有“自公切线”二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知p：xa是q：2x3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_答案(，2解析由已知，可得x|2x0，所以ex22(当且仅当ex，即x0时取等号)，则ex24，故y(当x0时取等号)当x0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y(x0)，即
5、x4y20.16已知点A(4,4)在抛物线y2px(p0)上，该抛物线的焦点为F，过点A作直线l：x的垂线，垂足为M，则MAF的角平分线所在的直线方程为_答案x2y40解析点A(4,4)在抛物线y2px(p0)上，164p，p4，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1，M(1,4)由抛物线的定义可得AFAM，MAF的角平分线所在的直线就是线段MF的垂直平分线，kMF2，MAF的角平分线所在的直线方程为y4(x4)，即x2y40.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)已知p：12x8；q：不等式x2mx40恒成立，若綈p是綈q的必要条件，求实数m的取值范围解p：12x8，即0x
6、b0)的离心率为，且a22b.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m，使直线l：xym0与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆x2y25上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解(1)由题意得解得故椭圆的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)联立直线与椭圆的方程得即3x22mxm220，所以(2m)243(m22)0，即m23，且x0，y0x0m，即M，又因为M点在圆x2y25上，所以225，解得m3，与m2ln 21且x0时，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2
7、，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R上单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax1
8、0，故exx22ax1.21(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点.过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：xm(ma)于点M.已知点B(1,0)，直线PB交l于点N.(1)求椭圆C的方程；(2)若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值解(1)因为椭圆C的离心率为，所以a24b2.又因为椭圆C过点，所以1，解得a24，b21.所以椭圆C的方程为y21.(2)方法一设P(x0，y0)，2x02，x01，则y1.因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N(2x0，y0)，所以2x0m.由A(2,0)，P(x0，y0)，可得直线AP的
9、方程为y(x2)，令xm，得y，即M.因为PBMB，所以kPBkMB1，即1，即1.因为y1，所以1.因为x02m，所以化简得3m210m40，解得m.因为m2，所以m.方法二当AP的斜率不存在或为0时，不满足条件设AP的斜率为k，则AP：yk(x2)，联立消去y，得(4k21)x216k2x16k240.因为xA2，所以xP，所以yP，所以P.因为PN的中点为B，所以m2.(*)因为AP交直线l于点M，所以M(m，k(m2)，因为直线PB与x轴不垂直，所以1，即k2，所以kPB，kMB.因为PBMB，所以kPBkMB1，所以1.(*)将(*)代入(*)，化简得48k432k210，解得k2，
10、所以m.又因为m2，所以m.22(12分)已知函数f(x)ln x，h(x)ax(aR)(1)函数f(x)与h(x)的图象无公共点，试求实数a的取值范围；(2)是否存在实数m，使得对任意的x，都有函数yf(x)的图象在g(x)的图象的下方？若存在，请求出最大整数m的值；若不存在，请说明理由(参考数据：ln 20.693 1，ln 31.098 6，1.648 7，1.395 6)解(1)函数f(x)与h(x)无公共点，等价于方程a在(0，)上无解令t(x)，则t(x)，令t(x)0，得xe.当x变化时，t(x)，t(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)t(x)0t(x)极大值因为xe是
11、唯一的极大值点，故t(x)maxt(e)，故要使方程a在(0，)上无解，当且仅当a，故实数a的取值范围为.(2)假设存在实数m满足题意，则不等式ln x对x恒成立即mexxln x对x恒成立令r(x)exxln x，则r(x)exln x1，令(x)exln x1，则(x)ex，因为(x)在上单调递增，20，且(x)的图象在上连续，所以存在x0，使得(x0)0，即0，则x0ln x0，所以当x时，(x)单调递减；当x(x0，)时，(x)单调递增，则(x)取到最小值(x0)ln x01x012 110，所以r(x)0，即r(x)在区间上单调递增mrln ln 21.995 25，所以存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1.
