1、第2课时直线与圆的位置关系(习题课)一、选择题1.过点(2,1)的直线中，被圆x2y22x4y0截得的弦最长的直线的方程是()A.3xy50 B.3xy70C.3xy10 D.3xy50答案A解析x2y22x4y0的圆心为(1，2)，过点(2,1)的直线中，截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1，2)，直线方程为3xy50，故选A.2.圆x2y24x4y60截直线xy50所得的弦长等于()A. B. C.1 D.5答案A解析圆的方程可化为(x2)2(y2)22，则圆的半径r，圆心(2，2)到直线的距离d，所以直线被圆截得的弦长为22.3.已知直线l：3x4ym0(m0)被圆C：x2y22x
2、2y60截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m等于()A.6 B.8 C.11 D.9答案D解析圆C：x2y22x2y60可化为(x1)2(y1)28，圆心坐标为(1,1)，半径为2，由题意可知，圆心到直线的距离d2.m0，m9.4.若直线xy2被圆(xa)2y24所截得的弦长为2，则实数a的值为()A.0或4 B.0或3C.2或6 D.1或答案A解析由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d.又d，所以|a2|2，解得a4或a0.故选A.5.直线l与圆x2y22x4ya0(a3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(2,3)，则直线
3、l的方程为()A.xy50 B.xy10C.xy50 D.xy30答案A解析由圆的一般方程，可得圆心为M(1,2).由圆的性质易知，M(1,2)与C(2,3)的连线与弦AB垂直，故有kABkMC1，即得kAB1.故直线AB的方程为y3x2，整理得xy50.6.P是直线l：3x4y110上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是()A. B.2 C. D.2答案C解析圆的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心C(1,1)，半径r1.根据对称性可知四边形PACB的面积等于2SAPC2PArPA.要使四边形PACB的面积最小，则只需PC最小，P
4、C的最小值为圆心C到直线l：3x4y110的距离，即为2，所以四边形PACB面积的最小值为.二、填空题7.已知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a_.答案4解析圆心C(1，a)到直线axy20的距离为.因为ABC为等边三角形，所以ABBC2，所以21222，解得a4.8.已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为_.答案(x3)2y24解析设圆心坐标为(x0,0)(x00).由于圆过点(1,0)，则半径为r|x01|，圆心到直线xy10的距离为d.由弦长为2可知，2(x0
5、1)22，解得(x01)24，x012，x03或1(舍去).故圆心坐标为(3,0)，半径为2，圆C的标准方程为(x3)2y24.9.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且仅有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_.答案 (13,13)解析由题意知，若圆上有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0d1.因为d，所以01，即0|c|13，解得13c13.10.若直线l：kxy20与曲线C：x1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_.答案解析直线l：kxy20恒过定点(0，2)，曲线C：x1表示以点(1,1)为圆心，半径为1，且位
6、于直线x1右侧的半圆(包括点(1,2)，(1,0).当直线l经过点(1,0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k2，直线记为l1；当l与半圆相切时，由1，得k，切线记为l2.分析可知当k2时，l与曲线C有两个不同的交点.三、解答题11.已知圆C：x2y22x4y40.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点O.解假设存在且设l为yxm，圆C化为标准方程为(x1)2(y2)29，圆心C(1，2).解方程组得AB的中点N的坐标为N.由于以AB为直径的圆过原点，所以ANON.又AN，ON，所以922，解得m1或m4.所以存在直线l，方程为xy10和xy40，
7、并可以检验，这时l与圆C是相交于两点的.12.已知点A(1，a)，圆O：x2y24.(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数a的值.解(1)由于过点A的圆O的切线只有一条，则点A在圆上，故12a24，a.当a时，A(1，)，切线方程为xy40；当a时，A(1，)，切线方程为xy40.(2)圆的直径为42，直线不过圆心，设直线方程为xyb.直线过点A，1ab，即ab1.又圆心到直线的距离d，224，由，得或故实数a的值为1或1.13.已知直线l：2mxy8m30和圆C：x2y26x12y200.(1)当mR
8、时，证明：l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长.(1)证明将直线l变形得2m(x4)(y3)0，可得直线l恒过定点A(4，3).将圆C的方程化为标准方程，得(x3)2(y6)225，圆心C为(3，6)，半径r5，ACr5，点A在圆C内.故直线l与圆C总相交.(2)解当弦长最短时，圆心C到直线l的距离最大，此时ACl.又kAC3，直线l的斜率为，则2m，所以m.又半径r5，AC，最短弦长为222.14.过点P的直线l与圆C：(x1)2y24交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为_.答案2x4y30解析当ACB最小时，弦长AB最短，此时CPAB.由于C(1,0)，P，kCP2，kAB，直线l的方程为y1，即2x4y30.15.已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30相交于P，Q两点，O为原点，且OPOQ，求实数m的值. 解设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).由OPOQ，得kOPkOQ1，即1，x1x2y1y20.联立化简得5x210x4m270，所以因为P，Q在直线x2y30上，所以y1y2(3x1)(3x2)93(x1x2)x1x2.将代入，得y1y2.将代入，解得m3.代入方程，检验0成立，所以m3.
