1、第2课时 异面直线学习目标1.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线.2.理解异面直线所成的角的概念.知识点一异面直线的判断方法内容定义法不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线定理法过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线反证法判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线知识点二异面直线所成的角定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任意一点O，作直线aa，bb结论我们把a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角范围记异面直线a与b所成的角为，则090特殊情况当90时，异面直线a，b互相垂直，记作ab一、异面直线的判断例1(
2、1)在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互为异面的有_对.答案8解析与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的侧棱都有两条，故共有异面直线428(对).(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.还原的正方体如图所示.反思感悟判定异面直线的方法(1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在同一个平面内；(2)利用异面直线的判定定理；(3)反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共
3、面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可.跟踪训练1如图所示，在三棱锥ABCD中，E，F是棱AD上异于A，D的两个不同点，G，H是棱BC上异于B，C的两个不同点，给出下列说法：AB与CD互为异面直线；FH分别与DC，DB互为异面直线；EG与FH互为异面直线；EG与AB互为异面直线.其中说法正确的是_.(填序号)答案解析因为直线DC平面BCD，直线AB平面BCD，点B直线DC，所以由异面直线的判定定理可知，正确；同理，正确.二、异面直线所成的角例2如图，在正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.解(1)CGFB，EBF是异面直线BE
4、与CG所成的角.在RtEFB中，EFFB，EBF45，BE与CG所成的角为45.(2)连结FH，FBAE，FBAE，AEHD，AEHD，FBHD，FBHD，四边形FBDH是平行四边形，BDFH，HFO或其补角是FO与BD所成的角，连结HA，AF，则AFH是等边三角形，又O是AH的中点，HFO30，FO与BD所成的角为30.延伸探究在本例中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角.解连结EG，HF，则P为HF的中点，连结AF，AH，则OPAF，又CDAB，所以BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于ABF是等腰直角三角形，所以BAF45，故OP与CD所成的角为4
5、5.反思感悟求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线.(2)求转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.(3)结论设由(2)所求得的角的大小为.若090，则为所求；若90180，则180为所求.提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角的范围是090.跟踪训练2如图所示，在三棱锥ABCD中，ABCD，ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角.解如
6、图所示，取BD的中点G，连结EG，FG.因为E，F分别为BC，AD的中点，ABCD，所以EGCD，GFAB，且EGCD，GFAB.所以GFE(或其补角)就是EF与AB所成的角，EGGF，因为ABCD，所以EGGF.所以EGF90，所以EFG为等腰直角三角形.所以GFE45，即EF与AB所成的角为45.1.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为090，在解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.2.作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生
7、，主要有三种方法：直接平移法(可利用图中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).1.异面直线是指()A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线答案D解析对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面.A应排除.对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，B应排除.对于C，如图的a，b可看作是平面内的一条直线a与平面外的一条直线b，显然它们是相交直线，C应排除.只有D符合定义.2.在
8、正方体ABCDA1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为()A.4 B.5 C.6 D.7答案C解析如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，直线CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共有6条直线与直线BA1是异面直线，故选C.3.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_.(填序号)答案解析图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，且NGH，因此直线GH与MN异面；图中，连结MG(图略)，GMHN，因此，GH与MN共面；图中，G，M，N三点共面，但H平面GMN，且GMN，所以GH与MN异面.所以图中，GH与MN异面.4.如图，在正方体ABCDABCD中，异面直线AB与BC所成的角为_.异面直线AD与BC所成的角为_.答案9045解析BCBC，ABC即异面直线AB与BC所成的角，ABC90，又BCAD，DAD是异面直线AD与BC所成的角，DAD45.
