1、高中数学专题08 空间角【母题来源一】【2019年高考浙江卷】设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）记直线PB与直线AC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，二面角PACB的平面角为，则A，B，C， D，【答案】B【解析】如图，为中点，连接VG，在底面的投影为，则在底面的投影在线段上，过作垂直于于E，连接PE，BD，易得，过作交于，连接BF，过作，交于，则，结合PFB，BDH，PDB均为直角三角形，可得，即；在RtPED中，即，综上所述，故选B【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算
2、解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小而充分利用图形特征，则可事倍功半常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法【母题来源二】【2018年高考浙江卷】已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则A123 B321C132 D231【答案】D【解析】设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，SE，SM，OM，OE，则SO垂
3、直于底面ABCD，OM垂直于AB， 因此从而因为，所以即，故选D【名师点睛】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系【母题来源三】【2017年高考浙江卷】如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角为，则ABCD【答案】B【解析】设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而三棱锥的高相等，因此，故选B【命题意图】在理解空间线线角、线面角、二面角内在联系的基础上，确定角度的大小关系【命题规律】以空间几何体为载体考查
4、空间角是浙江高考命题的重点，考查热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解，向量法作为传统几何法的补充，为考生答题提供新的工具【答题模板】1异面直线所成的角（1）几何法：按定义作出异面直线所成的角(即找平行线)，解三角形（2）向量法：设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，设l，m的夹角为，则cos 2直线与平面所成的角（1）几何法：按定义作出直线与平面所成的角（即找到斜线在平面内的投影），解三角形（2）向量法：设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为(a2，b2，c2)，设直线l与平面的夹角为，则sin |cosa，|3二面
5、角（1）几何法：利用定义作出二面角的平面角，然后计算（2）向量法：利用两平面的法向量设平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)，设二面角-a-的平面角为，则|cos |cos，v|【方法总结】1异面直线所成的角（1）异面直线所成角的定义如图,已知两异面直线a,b,经过空间任一点O,分别作直线aa,bb,相交直线a，b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）（2）异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是（3）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直两条互相垂直的异面直线a,b,
6、记作ab （4）求异面直线所成的角的常见策略求异面直线所成的角常用平移法平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移求异面直线所成角的步骤一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角判定空间两条直线是异面直线的方法判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面2直线与平面所成的角（1）
7、定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于因此，直线与平面所成的角的范围是（3）求直线与平面所成的角的方法求直线和平面所成角的步骤：寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三角形中，通过
8、解三角形，求出该角求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等3二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角（3）二面角的范围：（4）求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”作平面角时，一定要注意顶点
9、的选择4运用几何法求异面直线所成的角一般是按找证求的步骤进行，注意：两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角，即cos |cos |5运用几何法求直线与平面所成的角一般是按找证求的步骤进行；直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意所求角和两向量夹角间的关系6构造二面角的平面角的方法：几何法，根据定义，利用二面角的棱的垂面，利用两同底等腰三角形底边上的两条中线等；向量法，根据两平面的法向量1【浙江省杭州市2018届高三上学期期末考试】在三棱锥中，平面，分别是的中点，且设与所成角为，与平面所成角为，二面角为，则ABCD【答案】A【解析】如图可知，因为平
10、面，则，又，所以，则，同理可证得，所以，故选A2【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】正三棱锥的底面边长为，高为，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为，则在从小到大的变化过程中，的变化情况是A一直增大B一直减小C先增大后减小D先减小后增大【答案】D【分析】利用无限逼近的思想，当，有，当，有，当刚好使得正三棱锥变为正四面体时，二面角之和记为，利用的值，可分析出，即可选出答案【解析】当（比多一点点），有；当，有；当刚好使得正三棱锥变为正四面体时，二面角之和记为，则，于是，所以，即，所以先减小后增大故选D【名师点睛】本题主要考查了无限逼近的极限思想、二面角、二倍角公式
11、，属于中档题3【2017届浙江省高三上学期高考模拟考试】如图，已知三棱锥，记二面角的平面角是，直线平面所成的角是，直线与所成的角是，则ABCD【答案】A【解析】如下图所示，设在平面的投影为，过作，垂足为，连，则，因为，所以，所以，而与的大小关系是不确定的，故选A【名师点睛】线面角、二面角求法，求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)，证，求(算)三步曲，也可用射影法：设斜线段在平面内的射影为，与所成角为，则；设在平面内的射影三角形为，平面与所成角为，则4【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】如图所示，在底面为正三角
12、形的棱台中，记锐二面角的大小为，锐二面角的大小为，锐二面角的大小为，若，则ABCD【答案】D【分析】利用二面角的定义，数形结合能求出结果【解析】如图，设棱台的侧棱延长交于点，过点在平面上的射影为，设到，的距离分别为，因为，所以，则，故所在区域如下图所示（点为垂心），比较，即比较，即比较，由图可知，所以，故选D【名师点睛】本题考查三棱台中三条侧棱长的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题5【浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟测试】已知两个平面和三条直线，若，且，设所成的一个二面角的大小为，直线和平面所成的角的大小为，直线所成的角
13、的大小为，则ABC，D，【答案】D【解析】如图所示，在平行六面体中，令平面为，平面为，则为，再令为，为，故和所成的一个二面角的大小为钝角，直线和平面所成的角的大小为锐角，直线所成的角的大小为直角，只有D选项满足题意，故选D6【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测】已知三棱锥SABC的底面ABC为正三角形，SASBSC，平面SBC，SCA，SAB与平面ABC所成的锐二面角分别为1，2，3，则A12B12C23D23【答案】A【分析】设三角形的高分别为，三棱锥的高为，易知，根据正弦函数的定义可得结果【解析】由题意，设三角形的高分别为，三棱锥的高为，易知，根据正弦函数的定义得，所以，
14、又，均为锐角，所以，故选A【名师点睛】本题考查二面角的余弦值的求法的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题7【浙江省镇海中学2018届高三上学期期末考试】如图，小于的二面角中，且为钝角，是在内的射影，则下列结论错误的是A为钝角BCD【答案】D【解析】如图，过点B作，垂足为C，过点A作，垂足为D在直角BCO中，在直角三角形中，因为是锐角二面角，所以，所以，所以，同理，则，故选D【名师点睛】本题的关键是证明利用什么方法来判断选项，由于选项判断的是角的大小关系，所以一般要构造直角三角形，再利用三角函数分析8【浙江省温州市2018届高三9
15、月高考适应性测试（一模）】如图，正四面体中，在棱，上，且，分别记二面角，的平面角为，则ABCD【答案】D【解析】因为是正四面体，在棱，上，且，所以可得为钝角，为锐角，设到的距离为，到的距离为，到的距离为，到的距离为，设正四面体的高为，可得，由余弦定理可得，由三角形面积相等可得到，所以可以推出，所以，所以，故选D【名师点睛】本题主要考查二面角的求法，属于难题求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面
16、角的大小，这种解法的关键是找到平面角，本题很巧妙的应用点到面的距离及点到线的距离求得二面角的正弦值，再得到二面角的大小关系9【浙江省湖州、衢州、丽水三市2017届高三4月联考】已知矩形，沿直线将折成，使点在平面上的射影在内（不含边界）设二面角的大小为，直线，与平面所成的角分别为，则ABCD【答案】D【解析】如图，作于E，是在平面内的射影，连接，易知，在矩形中，作于E，延长交于，由点必落在上，由，知，从而，即，故选D【名师点睛】本题涉及到直线与平面所成的角，二面角，因此我们要作出这些角，考虑到要建立这些角的的关系，因此可让表示它们的直角三角形联系在一起，为上作在平面内的射影，确定点位置是解题的关
17、键，在矩形中，作，并延长交于，可以确定在线段上，由此可以比较对应边的大小，从而得角的大小10【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知三棱锥中，为正三角形，且在底面内的射影在的内部（不包括边界），二面角，二面角，二面角的大小分别为，则ABCD【答案】C【分析】作出三个二面角，再根据，即可确定二面角大小【解析】设在底面内的射影为O，过O分别作AB，BC，CA垂线，垂足分别为D，E，F，则，从而，因为，所以，即，所以，故选C【名师点睛】本题考查二面角，考查基本分析与判断能力，属中档题11【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试数学模拟测试】已知得内角所对的边分别为，且，点在
18、所在平面上的投影恰好是的重心，设平面与底面所成的锐二面角分别为，则ABCD【答案】A【分析】由题意画出图形，分别求出平面，与底面所成的锐二面角，根据为的重心，可得，再由的大小关系可得到三边的距离关系，在直角三角形中由、的大小得到三个角的大小关系【解析】根据题意画出如图所示的图形，因为为的重心，所以，过分别作，垂直于，连接，可知，分别为平面，与底面所成的锐二面角，分别为在、中，且所以，在，中，所以，即因为正切函数在上为增函数，所以，故选A【名师点睛】线面角找垂线，即通过线面垂直关系确定射影，再根据解直角三角形确定大小，二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可12【2018年1
19、1月浙江省学考】如图，四边形ABCD为矩形，沿AC将ADC翻折成设二面角的平面角为，直线与直线BC所成角为，直线与平面ABC所成角为，当为锐角时，有ABCD【答案】B【分析】设三棱锥D-ABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E，DC中点M，AC中点M，连结DE，CE，MN，EN，过D作DOCE，交CE于O，连结AO，则，由此能求出结果【解析】设三棱锥D-ABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E，DC中点M，AC中点M，连结DE，CE，MN，EN，过D作DOCE，交CE于O，连结AO，则，所以，所以，取BC中点E，连结DE，AE，则DEBC，AEBC，因为，所以平面AED，所以，所以，所以故选B
20、【名师点睛】本题考查二面角、线面角、异面直线所成角的大小的判断，考查空间位置关系和空间思维能力的培养，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题13【浙江省七彩联盟2019届高三第一学期11月期中考试】正四面体中，D是AB边的中点，P是线段AB上的动点，记SP与BC所成角为，SP与底面ABC所成角为，二面角为，则下列正确的是ABCD【答案】B【分析】先分别求出二面角以及直线与所成的角，再结合题中条件即可求出结果【解析】设正四面体的各边长均为，连结，取的中点，底面的重心记作，连结，由题意可得在底面的投影为，且为的一个三等分点，所以，所以即为与所成的角，即为二面角即，同时也是直线与底面所成的角，
21、因此，当由向靠近时，不变，逐渐增大，所以逐渐减小；当与重合时，与所成角的值为；当由向靠近时，逐渐增大，故，故选B【名师点睛】本题主要考查空间角的综合问题，需要考生掌握着立体几何法求空间角，即作辅助线找到所求空间角，进而即可求解，属于中档试题14【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测】已知三棱锥的底面为正三角形，平面与平面所成的锐二面角分别为，则ABCD【答案】A【解析】如图，过作垂直于平面，垂足为，过点作，分别垂直于，连接，要比较的大小，只需比较的大小，点在中垂线的左侧，点在下图中的阴影部分内，大小不定，即，故选A【名师点睛】本题主要考查的知识点是面面角问题按照定义先作出三个面
22、面角所成的平面角，然后由题意中的三边关系得到不等关系，利用正切，求出锐角二面角的正切值，从而比较大小，本题具有一定的难度15【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性考试】如图，矩形中，是线段（不含点）上一动点，把沿折起得到，使得平面平面，分别记，与平面所成角为，平面与平面所成锐角为，则ABCD【答案】A【分析】由题意画出图形，作出与平面所成角为，平面与平面所成锐角为，分别求出和，与平面所成角为，则答案可求【解析】如图，过作，在中，由，可得由等积法可得，则，因为平面平面，且，可得平面，则，所以，过作，垂足为，连接，则为平面与平面所成的锐角因为到的距离，所以，即，所以，故选A16【浙江省杭州市学军中
23、学2018年5月高三模拟考试】已知在矩形中，沿直线将折成，使得点在平面上的射影在内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角分别为，则ABCD【答案】D【分析】由题意画出图形，由两种特殊位置得到点在平面上的射影的情况，由线段的长度关系可得三个角的正弦的大小，则答案可求【解析】如图，因为四边形ABCD为矩形，所以，当点在底面上的射影落在上时，平面底面，又，可得平面，则，所以平面，在中，设，则，所以，说明为的中点；当点在底面上的射影落在上时，可知，设，则，所以，要使点在平面上的射影在内（不含边界），则点的射影落在线段上（不含端点）可知为二面角的平面角，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，可求得，所以，且，而的最小值为1，所以，则故选D
