1、小结与复习,第四章 图形初步认识,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,要点梳理,一、几何图形,1. 立体图形与平面图形,(1) 立体图形的各部分不都在同一平面内，如：,(2) 平面图形的各部分都在同一平面内，如：,2. 从不同方向看立体图形,3. 立体图形的展开图,正方体,圆柱,三棱柱,圆锥,4. 点、线、面、体之间的联系,(1) 体是由面围成，面与面相交成线，线与线 相交成点；,(2) 点动成线、线动成面、面动成体.,二、直线、射线、线段,1. 有关直线的基本事实,经过两点有一条直线，并且只有一条直线.,2. 直线、射线、线段的区别,端点个数,2个,不能延伸,延伸性,能否度量,可度量,1
2、个,向一个方向 无限延伸,不可度量,无端点,向两个方向 无限延伸,不可度量,3. 基本作图(1) 作一线段等于已知线段；(2)利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差.,5. 有关线段的基本事实,两点之间，线段最短.,4. 线段的中点,应用格式：,C是线段AB的中点， AC BC AB， AB 2AC 2BC.,6.连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离.,三、角,1. 角的定义,(1) 有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角；,(2) 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.,2. 角的度量,度、分、秒的互化,160，160,3. 角的平分线,C,应用格式：,OC 是 AOB
3、 的角平分线， AOC BOC AOB AOB 2BOC 2AOC,4. 余角和补角,(1) 定义 如果两个角的和等于90( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ). 如果两个角的和等于180(平角)，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ).,(2) 性质 同角 (等角) 的补角相等. 同角 (等角) 的余角相等.,(3) 方位角, 定义物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向. 书写通常要先写北或南，再写偏东或偏西,考点讲练,例1 如右图是由几个小立方体搭成的几何体的从上面看到的平面图，小正方形中的数
4、字表示在该位置小正方体的个数,画出从正面和左面方向 看到的平面图形.,考点讲练,从正面看,从左面看,解：,解析：根据图中的数字，可知从前面看有3列，从左到右的个数分别是1，2，1；从左面看有2列，个数都是2 .,例2 根据下列多面体的平面展开图，填写多面体的名称(1)_，(2)_，(3)_.,长方体,三棱柱,三棱锥,(1) (2) (3),C,例3 如图，已知点 C 为 AB 上一点，AC =15 cm， CB= AC，D，E 分别为 AC，AB 的中点，求DE 的长,解：AC =15cm，CB = AC，CB = 15=9 cm，AB =15+9= 24 cmD，E 分别为 AC，AB 的中
5、点，AE = AB =12 cm，DC = AC = 7.5 cm，DE = AEAD =127.5 = 4.5 (cm),例4 如图，B，C 两点把线段 AD 分成 2:5:3 三部分，M 为 AD 的中点，MC = 6 cm，求线段 BM 和 AD 的长,提示：题目中线段间有明显的倍分关系，且和差关系较为复杂，可以尝试列方程解答.,由 MC + CD= M D得，3x + 6 = 5x. 解得 x = 3. 故 BM = AM AB =5x2x = 3x = 33 = 9 (cm)，AD =10x =103 = 30 (cm),解：设 AB = 2x cm，,BC = 5x cm，CD =
6、 3x cm，,则 AD = AB+BC+CD =10x cm.,M 是 AD 的中点，,AM = MD = AD = 5x cm.,例5 点 C 在线段 AB所在的直线上，点M，N分别是 AC，BC的中点.,(1) 如图，AC = 8 cm，CB = 6 cm，求线段MN的长；,CM AC4 (cm)，CN BC3 (cm)，,解：点M，N分别是AC，BC的中点，,MNCMCN437 (cm).,(2) 若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC + CB = a cm，其它条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？并说明理由；,证明：同(1)可得CM AC ，CN BC， MN CMCN AC
7、BC (ACBC) a (cm).,猜想：MN = a cm.,(3) 若C 在线段 AB的延长线上，且满足 ACBC = b cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想 MN 的长度吗？请画出图形，并说明理由.,MN = MCNC= AC BC= (ACBC) = b (cm),猜想：MN= b cm.,证明：根据题意画出图形，由图可得,45cm,72cm,5. 已知：点 A，B，C 在一直线上，AB =12 cm，BC = 4 cm. 点 M，N 分别是线段 AB，BC 的中点. 求线 段 MN 的长度., BM = AB = 12 = 6 (cm)，BN = BC = 4 = 2 (c
8、m)，,解：如图，当 C 在 AB 间时，, M，N 分别是 AB，BC 的中点，, MN = BMBN = 62 = 4 (cm).,方法总结：无图条件下，注意多解情况要分类讨论，培养分类意识., BM = AB = 12 = 6 (cm)，BN = BC = 4 = 2 (cm),如图，当C在线段AB外时，, M，N 分别是 AB，BC 的中点，, MN = BM + BN = 6 + 2 = 8 (cm).,例6 如图，是一个三级台阶，A 和 B是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物. 若这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，你能画出蚂蚁爬行的
9、最短路线吗？,A,B,解：如图，将台阶面展开成平面图形.连接 AB 两点，因为两点之间线段最短，所以线段AB 为蚂蚁爬行的最短路线.,B,6. 如图，在A点有一只壁虎，要沿着圆柱体的表面爬到B点去吃蚊子. 请画出壁虎在圆柱体表面爬行的最短路线.,A,例7 如图，BD平分ABC，BE 把ABC 分成 25 两部分，DBE=21，求ABC的度数., ABD= ABC =3.5x.,解：设ABE = 2x，则CBE = 5x,ABC =ABE+CBE= 7x., BD 平分ABC，,ABE+DBE =ABD ，即2x + 21= 3.5x.解得 x = 14. ABC = 7x= 714= 98 .
10、,例8 如图，AOB是直角， ON是AOC的平分线，OM是BOC的平分线. (1) 当AOC=50时，求MON的大小；,提示：先求出BOC的度数，再根据角平分线的定义求出COM，CON，然后根据MON=COMCON 代入数据进行计算即可得解.,MON=COMCON=7025=45.,解：AOB是直角，AOC=50， BOC =AOB+AOC= 90+50=140，,ON是AOC的平分线，OM是BOC的平分线，,COM = BOC = 140=70，,CON= AOC = 50= 25，,(2) 当AOC 时， MON等于多少度？,MON=COMCON= (90+)=45.,解：BOC=AOB+
11、AOC=90+，,ON是AOC的平分线，OM是BOC的平分线，,CON= AOC = ，,COM= BOC = (90+)，,(3) 当锐角AOC的大小发生改变时，MON的大小也会发生改变吗？为什么？,解：不会发生变化.由(2)可知MON的大小与AOC 无关，总是等于AOB的一半.,7. 若A = 2018，B = 201530，C = 20.25， 则 ( )A. ABC B. BACC. ACB D. CAB,A,8. 19点整时，时钟上时针与分钟 之间的夹角是 ( ) A. 210 B. 30 C. 150 D. 60,C,9 已知一条射线 OA，若从点 O 再引两条射线 OB 和OC，
12、使AOB=50，BOC=10，求AOC的度数,解：有两种情况： 如图所示： AOC =AOB+BOC=50+10=60；,如图所示：AOC =AOBBOC=5010=40.综上所述，AOC的度数为60或40,例9 已知和互为补角，并且的一半比小30，求，,解：设x，则180x,根据题意 2(30)，,得 180 x2(x 30)，,解得 x80,所以 ，80，100,提示：此题和差倍分关系较复杂，可列方程解答.,例10 如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分AOE， FOD=90 (1) 写出图中所有与AOD互补的角；,解：直线AB，CD相交于点O，AOC和BOD与AOD 互补，OF平分AO
13、E，AOF=EOF，FOD=90，COF=180FOD=90.又AOC=COFAOF=90EOF，DOE=FODEOF=90EOF，AOC=DOE.与AOD互补的角有AOC，BOD，DOE.,(2) 若AOE=120，求BOD的度数,AOF = AOE= 120=60.,解：OF平分AOE，,由(1)知，COF=90，AOC=COFAOF=9060=30.由(1)知，AOC和BOD与AOD 互补， BOD=AOC=30(同角的补角相等).,例9 已知AOB=90，COD=90，画出示意图并探究AOC与BOD的关系,解：如图，AOB = 90， COD = 90，AOC = 90BOC，BOD
14、= 90BOC，AOC =BOD；如图，AOC=90+BOC，BOD=90BOC，AOC+BOD=180；,如图，AOB=90,COD=90， AOC=90+BOC， BOD=90+BOC， AOC=BOD；如图，AOC+BOD=360 902=180， AOC+BOD=180综上所述，AOC =BOD 或 AOC+BOD=180,10. 如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分EOC(1) 若EOC=70，求BOD的度数；,AOC = EOC= 70=35.,解：直线AB，CD相交于点O，,AOC=BOD=180AOD.,OA平分EOC，,BOD =AOC =35.,(2) 若EOC : E
15、OD=2:3，求BOD的度数,解：设EOC=2xEOD=3x，由EOC+EOD=180得2x+3x =180，解得x = 36.EOC = 2x=72，AOC= EOC= 72=36，BOD=AOC=36,11. 一只蚂蚁从 O 点出发，沿东北方向爬行 2.5 cm，碰到障碍物 B 后，折向北偏西60方向爬行3 cm到 C点.(1) 画出蚂蚁的爬行路线；(2) 求出OBC的度数.,北,O,B,2.5 cm,C,3 cm,60,45,解：(1) 如图所示；(2) OBC =75.,几何图形,立体图形,平面图形,展开或从不同方向看,面动成体,平面图形,直线、射线、线段,角,表示方法,线段长短的比较与计算,两个基本事实,中点,表示方法,角的度量、比较与计算,余角和补角,角平分线,概念、性质,课堂小结,见章末练习,课后作业,
