1、2019高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第四篇 立 体 几 何专题01 多面体与球的切接问题 一方法综述多面体与球接、切问题的求解方法:(1)涉及球与棱柱、棱锥的相切、接问题时,一般先过球心及多面体中的特殊点(如接、切点或线)作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程组求解.(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直,且一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据求解.下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.二解题策略类型一 球与柱体的切接问题【例1
2、】【浙江省余姚中学2018届模拟（二）】点是棱长为的正方体的棱切球上的一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是（ ）A B C D 【例2】【宁夏银川一中2019届高三第三次月考】侧棱和底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，若ABC是边长为的等边三角形，C1C=，则球O的表面积为A B C D 【例3】【河南省2018年高考一模】已知三棱柱的底面是正三角形，侧棱底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则的长度为_【指点迷津】1.如图1所示，正方体,设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和
3、其内切圆，则；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 .2.长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径3.球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍
4、本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱的高为，底面边长为，如图2所示，和分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高的中点，借助直角三角形的勾股定理，可求.【举一反三】1.【湖北省荆州市荆州中学2018届模拟】在直三棱柱中，则其外接球与内切球的表面积之比为A B C D 2.【重庆市南开中学2017届10月月考】己知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且,，若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于_类型二 球与锥体的切接问题来源:Zxxk.Com【例4】【湖北省荆州市荆州中学2018届模拟】在直三棱柱中，则其外接球与内切球的表面积之比为（ ）A B C D 【例5】【河南省信阳高级中学2
5、018年模拟（二）】已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A B C D 【例6】【广东省2019届高三六校第一次联考】已知三棱锥中，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A B C D 【指点迷津】1.球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系.如图4，设正四面体的棱长为，内切球半径为，外接球的半径为，取的中点为，为在底面的射影，连接为正四面体的高.在截面三角形,作一个与边和相切，圆心在高上的圆，即为内切球的截面.因为正四面体本
6、身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为.此时， 则有解得：这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.2 .球与三条侧棱互相垂直的三棱锥来源:Z&X&X&K球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体.常见两种形式：一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图5，三棱锥的外接球的球心和正方体的外接球的球心重合，设，则.二是如果三
7、棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，（为长方体的体对角线长）.来源:ZXXK3 .球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.4.球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法、等进
8、行求解.【举一反三】1.已知正四面体ABCD的棱长为12，则其内切球的表面积为()A12 B16C20 D242.四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PAPBPCPD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是()来源:A6 B5C. D.3.【河南省中原名校2018届高三高考预测金卷】已知边长为的菱形，沿对角线把折起，二面角的平面角是，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）A B C D 三强化训练1.【江西省南昌市2018届二轮测试六】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为A B C D 2.【江西省南昌市2
9、018届二轮测试（八）】将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（ ）A B C D 3.【黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三上第二次月考】三棱锥中， 为等边三角形， ， ，三棱锥的外接球的表面积为 A B C D 4.【清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2018年11月测试（一卷）】点A，B，C，D在同一个球的球面上，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）A B C D 5.【湖北省荆州中学2018届模拟（二）】已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为A B C D 来源:Z。X。
10、X。K6.【2018年全国卷理】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A B C D 7【广东省深圳市宝安区2019届9月调研】九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）在如图所示的堑堵中， ，则阳马的外接球的表面积是_8.【山东、湖北部分重点中学2018年冲刺模拟（五）】如图：边长为的菱形，将沿折起到图中的位置，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积等于_9【广西壮族自治区南宁市第二中学2018届高三年级6月】已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为_。10.【河北省衡水中学2018届6月1日】已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥，若为边的中点，分别为上的动点（不包括端点），且，设，则三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的内切球的半径为_. 7
