1、专题08-1立体几何问题第一季1正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为（ ） A BC D【答案】B【解析】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，如图所示，由，可得，由，则，解得，则，在直角中，则，在直角中，则，在直角中，则，在中，由余弦定理可得 ，即，所以截面的周长为，故选B.2设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（ ）A B C D【答案】B【解析】结合题意，绘制图形结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，所以距离d，结合三角形面积计算
2、公式可得，解得，故选B。3如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为A B1 C D【答案】C【解析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,在平面内，在平面外，所以平面,因为与在平面内相交，所以平面平面,所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，此时，三角形的面积最小，最小值为，故选C.4已知四面体，则该四面体外接球的半径为（ ）_网A1 B C D【答案】B【解析】设为的中点，由于三角形为直角三角形，故其外心为点，则球心在点的正上方，设球心为，
3、作出图像如下图所示.其中，.由余弦定理得，.设外接球的半径为.在三角形中，由勾股定理得.在三角形中，由余弦定理得.在三角形中，由余弦定理可知，由于，则，所以，所以.联立可得.故选B.5如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC平面BCD，BAC与BCD均为等腰直角三角形，且BAC=BCD=90，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30的角，则线段PA长的取值范围是（ ）来源:来源:A BC D【答案】B【解析】以C为原点，CD为轴，CB为轴，过C作平面BCD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，设，则，6已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，
4、BC=2，CC1=3，长方体每条棱所在直线与过点C1的平面所成的角都相等，则直线AC与平面所成角的余弦值为（）A或1 B或0 C或0 D或1【答案】A在直角EGC1中，GC12，sin直线AC与平面所成角的余弦值为1，故选：A7已知直三棱柱中的底面为等腰直角三角形，点，分别是边，上动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹为A双曲线的一支（一部分） B圆弧（一部分）C线段（去掉一个端点） D抛物线的一部分【答案】C【解析】如图作平面PQRK平面BCC1B1，可得到点M，N为平面PQRK与边，的交点，来源:Zxxk.Com取MN的中点D，由对称性可知，在梯形NQRM中，D到底面ABC的距离DF
5、始终为三棱柱高的一半，故Q落在到底面ABC距离为三棱柱高的一半的平面上，且与底面ABC平行.又D在底面的投影F始终在底面BC的高线AE上，即Q落在过底面BC的高线且与底面垂直的平面上，所以Q在两个面的交线上，又只能落在柱体内，故为线段OH，又直线平面，所以去掉O点，故选C.8已知点 在同一个球面上， ，若四面体体积的最大值为 10，则这个球的表面积是A B C D【答案】B【解析】由，可知，则球心在过中点与面垂直的直线上，因为面积为定值，所以高最大时体积最大，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，因为四面体的最大体积为10，所以，来源:Z&xx&k.Com可得，在中，得，球的表面积为，故选
6、B._网9已知过球面上三点、的截面到球心距离等于球半径的一半，且，则球面面积为（ ）A B C D【答案】C10有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A B C D【答案】B【解析】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0a2取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC平面ADE,，当且仅当4即时，等号成立，此三棱锥体积的取值范围是故选：11已知正三棱锥PABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为30腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB
7、，PC分别交于点D和点E，则截面ADE周长的最小值是（ ）A B2 C D2【答案】D【解析】将三棱锥的侧面展开,如图 则将求截面 周长的最小值,转化成计算的最短距离,结合题意可知=,所以,故周长最小值为,故选D.12过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是A1 B C D【答案】D【解析】如图：在正方体中，取的中点,连接,过的平面截得正方体的截面中，当截面为菱形时，截面面积最小，,故选D.学_13已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解
8、析】画出图象如下图所示，其中是球心，是等边三角形的中心.根据等边三角形中心的性质有，设球的半径为，在三角形中，由勾股定理得，即，解得，故最大的截面面积为.在三角形中，由余弦定理得.在三角形中，,过且垂直的截面圆的半径，故最小的截面面积为.综上所述，本小题选B.14正三棱锥的底面边长为，高为，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为，则在从小到大的变化过程中，的变化情况是（ ）A一直增大 B一直减小 C先增大后减小 D先减小后增大【答案】D15已知中，将绕BC旋转得，当直线PC与平面PAB所成角的正弦值为时，P、A两点间的距离是（）A2 B4 C D【答案】C【解析】画出图像
9、如下图所示.设是的中点，则，过作交于，连接.由于，所以平面，所以，故平面，所以，结合，证得平面.故是直线与平面所成的角.故，.设，则，在直角三角形中，利用面积公式有，解得，即，故,.16如图，在ABC中，C=90，PA平面ABC，AEPB于E，AFPC于F，AP=AB=2，EAF=，当变化时，则三棱锥PAEF体积的最大值是（）A B C D【答案】C【解析】在中，底面，得，平面，可得，平面，平面，且面，三棱锥的高为定值，平面平面，中，当，即时，有最大值为，此时，三棱锥的体积的最大值为，故选C17如图所示，四边形ABCD为边长为2的菱形，B=60，点E,F分别在边BC,AB上运动(不含端点)，且
10、EF/AC，沿EF把平面BEF折起，使平面BEF底面ECDAF，当五棱锥B-ECDAF的体积最大时，EF的长为 （ ）A1 B C D【答案】B来源:【解析】由可知三角形为等边三角形，设，等边三角形的高为，面积为，所以五边形的面积为，故五棱锥的体积为.令，解得，且当时，单调递增，时，单调递减，故在时取得极大值也即是最大值.故选B.18正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满足到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，则线段PA长度的最小值为（ ）A B C D【答案】C【解析】如图，以A1D1的中点为原点，以A1D1为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由
11、于动点P到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，所以点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上由题意得，在平面内，抛物线的方程为，设点P的坐标为，则，所以，又，所以当时，有最小值，且故选C19如图，设梯形所在平面与矩形所在平面相交于，若，则下列二面角的平面角大小为定值的是( ) A B C D【答案】D【解析】如图，在等腰梯形中,过作于，作于,连接,在梯形中,由，可得，由三角形直角三角形，且，可得，则，即，则平面，为二面角的平面角，同理可得为二面角的平面角，平面平面，则二面角的平面角为，与均为等腰三角形，即二面角为，故选D.20如图，已知三棱锥，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，则（ ）A B C D【答案】A【解析】不妨设三棱锥D-ABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E，DC中点M，AC中点M，连结DE、CE、MN、EN，过D作DOCE，交CE于O，连结AO，则DEC=，DAO=，MNE=， ， ， ，取BC中点E，连结DE、AE，则DEBC，AEBC，又DEAE=E，BC平面AED，BCAD，=90学_故选：A16
