专题02 导数与零点个数高考数学压轴题典例剖析(解析版)

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1、专题02 导数与零点个数导数与零点个数,对于考生来讲中等偏难,基本的思路是利用导数分析函数的单调性,确定函数的极值或最值,作出函数的大致图像,再数形结合可求得结果。【题型示例】1、设为实数,函数(1)求的极值点;(2)如果曲线与轴仅有一个交点,求实数的取值范围【答案】(1)的极大值点为,极小值点为(2)或2、已知函数.(1)求的极值;(2)若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,求实数的取值范围.【答案】(1)极大值,无极小值;(2).【解析】(1)的定义域为,令得,当时,是增函数;当时,是减函数,所以在处取得极大值,无极小值.(2)当时,即时,由(1)知在上是增函数,在上是减函数,来源:Z

2、xxk.Com所以,因为的图象与的图象在上有公共点,来源:所以,解得,又,所以.来源:Zxxk.Com当时,即时,在上是增函数,所以在上最大值为,所以原问题等价于,解得.又,所以此时无解.=网综上,实数的取值范围是.3、设函数(其中)()求函数的极值;()求函数在上的最小值;()若,判断函数零点个数【答案】(1)极小值,不存在极大值;(2)(3)1个【解析】(),由得,由得,在单调递增,在单调递减极小值,不存在极大值() 由()知,在单调递增,在单调递减来源:ZXXK当时,在单调递减,单调递增,当时,在单调递增,;()由题意求导得,由得或,由得所以在上单调递增,在上单调递减当时,故函数只有一个

3、零点4、已知函数.(I)若,求的极值;(II)若,函数有且只有一个零点,求实数的取值范围.【答案】(I)的极小值为;(II)或.【解析】(I)时,其中则得当时,单调递减,当时,单调递增,因而的极小值为;(II)若有且只有一个零点,即方程在上有且只有一个实数根,分离参数得,设,则,又设,而因而当时,当时,那么当时,单调递增,当时,单调递减,又时,且时从而或,即或时函数有且只有一个零点.【题型专练】1、已知函数.(1)当时,求的极值;(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围.【答案】(1)有得极大值,无极小值;(2).2、设函数,.关于的方程在区间上有解,求的取值范围;【答案】的取值范围.【解析】

4、方程即为,令,则,当时,随变化情况如表:,当时,的取值范围.3、已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若当时(其中),不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根,求实数的取值范围.【答案】(1)的单调减区间为,增区间;(2);(3).【解析】,所以(1),令, 得:,所以的单调减区间为,增区间;(2)由(1)知, 得,函数在上是连续的,又所以,当时,的最大值为故时,若使恒成立,则(3)原问题可转化为:方程在区间上恰有两个相异实根.令,则,令,解得:.当时,在区间上单调递减,当时,在区间上单调递增.在和处连续,又且当时,的最大值是,的最小值是在区间上方程恰好

5、有两个相异的实根时,实数的取值范围是:4、设函数,其中为实数.(1)若在上是单调减函数, 且在上有最小值, 求的取值范围;(2)若在上是单调增函数, 试求的零点个数, 并证明你的结论.【答案】();()当或时,有个零点,当时,有个零点,证明见解析(2)在上恒成立, 则,故.若, 令得增区间为;令得减区间为,当时,;当时,;当时,当且仅当时取等号. 故:时,有个零点;当时,有个零点.5、已知函数在处的切线斜率为2.(1)求的单调区间和极值;(2)若在上无解,求的取值范围.【答案】(1)函数的单调递增区间为,单调递减区间为和.函数的极小值为,极大值为.(2)【解析】(1),令,解得或.当变化时,的变化情况如下表:函数的单调递增区间为,单调递减区间为和.函数的极小值为,极大值为.(2)令,在上无解,在上恒成立,,记,在上恒成立,在上单调递减,,若,则,单调递减,恒成立,若,则,存在,使得,当时,即,在上单调递增,,在上成立,与已知矛盾,故舍去,来源:Z&xx&k.Com综上可知,.9

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