专题3.3 数列与函数、不等式相结合问题高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

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1、一方法综述 数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题,难度较大,求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及,本讲就这类问题进行分析.二解题策略类型一 数列中的恒成立问题【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足,数列满足,记数列的前项和为,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )ABCD【答案】A【解析

2、】由题意得,则,等差数列的公差,.由,得, 则不等式恒成立等价于恒成立,而,问题等价于对任意的,恒成立.设,则,即,解得或.故选:A.【指点迷津】对于数列中的恒成立问题,仍要转化为求最值的问题求解,解答本题的关键是由等差数列通项公式可得,进而由递推关系可得,借助裂项相消法得到,又,问题等价于对任意的,恒成立.【举一反三】已知数列的首项,其前项和为,且满足,若对任意恒成立,则的取值范围是( )A B C D【答案】A类型二 数列中的最值问题【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足,则使的正整数的最小值是( )A2018B2019C2020D2021【答案】C【解析】令,则,所以,

3、从而,因为,所以数列单调递增,设当时, 当时,所以当时,从而,因此,选C.【指点迷津】本题利用数列的递推公式,确定数列的单调性,令,利用裂项相消法得,再根据范围求正整数的最小值.在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力,其中确定数列单调性是解题的关键【举一反三】【河南省许昌市、洛阳市2019届高三三模】已知数列,的前项和分别为,且,若恒成立,则的最小值为( )ABC49D【答案】B【解析】当时,解得.当时,由,得,两式相减并化简得,由于,所以,故是首项为,公差为的等差数列,所以.则,故 ,由于是单调递增数列,.故的最小值为,故选B.类型三 数列性质的综合问题【例3】【江苏省扬州中学2019届高三

4、下学期3月月考】已知等差数列的前n项和为,若13,36,则的取值范围是_【答案】【解析】在等差数列中,又,由得,即,即的取值范围是故答案为:【指点迷津】1.本题先根据求出的取值范围,然后根据不等式的性质可得所求结果.2.由数列的递推公式求通项常用的方法有:(1)累加法(相邻两项的差成等差、等比数列);累乘法(相邻两项的积为特殊数列);(3)构造法,形如的递推数列求通项往往用构造法,即将利用待定系数法构造成的形式,再根据等比数例求出的通项,进而得出的通项公式.【举一反三】【广东省汕尾市2019年3月高三检测】已知数列的首项为数列的前项和若恒成立,则的最小值为_【答案】【解析】数列的首项,则:常数

5、故数列是以为首项,3为公差的等差数列则:首项符合通项故:,由于数列的前n项和恒成立,故:,则:t的最小值为,故答案为:类型四 数列与函数的综合问题【例4】已知函数的定义域为,当时,且对任意的实数,恒成立,若数列满足()且,则下列结论成立的是( )ABCD【答案】C【解析】对任意的实数x,yR,f(x)f(y)f(x+y)恒成立,取xy0,则f(0)f(0)f(0),解得f(0)0或f(0)1当f(0)0时,得余题意不符,故舍去.所以f(0)1取yx0,则f(x)f(x)1,f(x),设x1x2,则f(x1x2)f(x1)f(x2)1,f(x1)f(x2)函数f(x)在R上单调递减数列满足f(a

6、n+1)f()1f(0)0,a1f(0)1,2,1,1,2f()1,f()f(1)1f()f()而f()f(),f()1f(),f()f()f()f(2),因此只有:C正确故选:C【指点迷津】(1)运用函数性质解决问题时,先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时,要注意用好其与条件的相互关系,结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化,周期可实现自变量大小转化,单调性可实现去“f”,即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.【举一反三】【浙江省杭州第十四中学2

7、019届高三9月月考】已知数列 中, ,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )ABCD【答案】B【解析】由题,即 由累加法可得: 即对于任意的,不等式恒成立即 令 可得且即 可得或故选B类型五 数列与其他知识综合问题【例5】将向量组成的系列称为向量列,并定义向量列的前项和若,则下列说法中一定正确的是( )A. B. 不存在,使得C. 对,且,都有 D. 以上说法都不对【答案】C【解析】 由,则,所以数列构成首项为,公比为的等比数列,所以,又当时, , 所以当,且时, 是成立的,故选C.【例6】斐波那契数列满足: .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里,每一小格子的边长为1,记前

8、项所占的格子的面积之和为,每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为,则下列结论错误的是( )A. B. C. D. 【答案】C ,所以B正确;对于C, 时, ;C错误;对于D, ,D正确.故选C.【指点迷津】这类题型往往出现在在填空题最后两题,综合性较强,同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”,解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清,其次先从最有把握的命题入手,最后集中力量攻坚最不好理解的命题.【举一反三】1.如图所示,矩形的一边在轴上,另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为,记矩形的周长为,则( )A. 220 B. 216 C. 212 D. 208【答案】B

9、2.将正整数12分解成两个正整数的乘积有, , 三种,其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称为12的最佳分解.当(且)是正整数的最佳分解时,我们定义函数,例如.数列的前100项和为_【答案】【解析】当为偶数时, ;当为奇数时, , ,故答案为. 类型六 数列与基本不等式结合的问题【例7】【山东省济宁市2019届高三一模】已知正项等比数列满足:,若存在两项使得,则的最小值为ABCD【答案】A【解析】因为数列是正项等比数列,所以,所以,因为,所以,当且仅当时“=”成立,所以的最小值为,故选A.【指点迷津】本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质,等比数列的通项公式是,等比中项,

10、基本不等式有,考查公式的使用,考查化归与转化思想.【举一反三】【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】已知函数,若 ,则的最小值为( )ABCD【答案】A【解析】由题可知:令又于是有 因此所以当且仅当时取等号本题正确选项:三强化训练一、选择题1【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】已知正项等比数列满足 ,若存在两项,使得,则的最小值为( )ABC3D【答案】C【解析】解:设等比数列的公比为q(q0),a9a8+2a7,a7q2a7q+2a7,q2q20,q2或q=-1(舍),存在两项am,an使得, , 故选C.2.【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知数列的前项和为,且

11、满足,若,则的最小值为( )ABCD0【答案】B【解析】由,得,且,所以数列是以为首项、2为公差的等差数列,则,即,令,得,又,由,则的最小值为.故选:B3.【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】在正项等比数列中,则满足的最大正整数的值为( )A10B11C12D13【答案】C【解析】解:正项等比数列中,.,解可得,或(舍),.整理可得,经检验满足题意,故选:C4.若数列的通项公式分别为,且,对任意恒成立,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】,故当n为奇数,-a2+,又2+单调递减,故2+,故- a2,解a当n为偶数,又2-单调递增,故2-,故,综上a故选:D5已知各项均为

12、正数的数列的前项和为,且,若对任意的,恒成立,则实数的取值范围为()ABCD【答案】C【解析】 ,时,化为:,即,时,解得数列为等差数列,首项为1,公差为1.记,.所以为增数列,,即.对任意的,恒成立,解得实数的取值范围为故选:C6【吉林省吉林市实验中学2019届高三下学期第八次月考】已知等比数列的公比,其前n项的和为,则与的大小关系是ABCD【答案】A【解析】根据等比数列的前n项和公式和数列的通项公式得到:两式作差故选:A7已知,并且,成等差数列,则的最小值为A16B9C5D4【答案】A【解析】解:根据题意,a0,b0,且,成等差数列,则21;则a+9b(a+9b)()1010+216;当且

13、仅当,即=时取到等号,a+9b的最小值为16;故选:A8【贵州省2019年普通高等学校招生适应性】设,点,设对一切都有不等式 成立,则正整数的最小值为( )ABCD【答案】A【解析】由题意知sin,随n的增大而增大,,,即,又f(t)=在t上单增,f(2)= -10,正整数的最小值为3.二、填空题 9.【河北省衡水中学2019届高三下学期一调】20已知数列的前项和.若是中的最大值,则实数的取值范围是_【答案】【解析】因为,所以当时,;当时,也满足上式;当时,当时,综上,;因为是中的最大值,所以有且,解得.故答案为10【2019届高三第二次全国大联考】已知数列的前项和为,当时,若 恒成立,则正数

14、的取值范围为_【答案】【解析】由可知,数列是一个公差的等差数列,首项为,所以,所以故当时, 显然当时,也满足上式所以所以,所以 ,由题意恒成立,所以,解得又,所以的取值范围为11【云南省2019年高三第二次检测】已知数列的前项和为,若,则使成立的的最大值是_【答案】5【解析】因为可得:两式相减可得:化简可得:即所以数列是以为首项,公比为2的等比数列当n=1时,求得 所以即所以即解得 所以成立的的最大值是5故答案为512【重庆市南开中学2019届高三第三次检测】在正项递增等比数列中,记,则使得成立的最大正整数为_【答案】9【解析】由题得,因为数列是正项递增等比数,所以,所以.因为,所以,所以.所

15、以使得成立的最大正整数为9.故答案为:913.已知数列中, ,点列在内部,且与的面积比为,若对都存在数列满足,则的值为_.【答案】80【解析】在上取点,使得,则在线段上 , 三点共线, ,即 故答案为:8014.已知函数,点O为坐标原点,点,向量,n是向量与的夹角,则使得 恒成立的实数t的取值范围为 _【答案】【解析】根据题意得, 是直线OAn的倾斜角,则:,据此可得: 结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为. 15.【新疆2019届高三一模】已知数列为等差数列,数列的前n项和为,若对一切,恒有,则m能取到的最大正整数是_【答案】7【解析】解:设数列的公差为,由题意得,解得,且,令,则,即,则随着的增大而增大,即在处取最小值,对一切,恒有成立,即可,解得,故能取到的最大正整数是716. 【北京师大附中2019届高三4月模拟】设数列的前n项和为,且,若,则n的最大值为_【答案】63【解析】由数列的前n项和为,又,故,则的偶数项成等差数列,则,(n为偶数)又, 为等差数列,首项为3,公差为4,当n为偶数时,设数列的前n项和为,可得,则 +若,无解舍去当n为奇数时, -(=,又所以解n又则n的最大值为63,故答案为:63 20

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