三年高考(2016-2018)数学(理科)真题分类解析:专题08-导数与不等式、函数零点

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1、专题 08 导数与不等式、函数零点相结合考纲解读明方向考纲内容 考 点 考查频度 学科素养 规律与趋向1.利用导数研究函数的单调性、极(最) 值,并会解决与之有关的方程(不等式)问题;2.会利用导数解决某些简单的实际问题.1.导数与不等式3 年 3 考逻辑推理数学计算1.高频考向:利用导数解决与之有关的方程(不等式)问题2.低频考向:利用导数解决某些实际问题.3.特别关注:利用导数研究函数的零点问题.2018 年高考全景展示1.【2018 年全国卷理】已知函数 (1)若 ,证明:当 时, ;当 时, ;(2)若 是 的极大值点,求 【答案】 (1)见解析(2)当 时, ;当 时, .故当 时,

2、 ,且仅当 时,从而 ,且仅当 时, .所以 在 单调递增.又 ,故当 时, ;当 时, .(2) (i)若 ,由(1)知,当 时, ,这与 是的极大值点矛盾.(ii)若 ,设函数 .由于当 时, ,故 与 符号相同.又 ,故 是 的极大值点当且仅当 是 的极大值点.如果 ,则当,且 时, ,故 不是 的极大值点.如果 ,则存在根 ,故当 ,且 时, ,所以不是 的极大值点.如果 ,则 .则当 时,;当 时, .所以 是 的极大值点,从而 是 的极大值点,综上,.点睛:本题考查函数与导数的综合应用,利用函数的单调性求出最值证明不等式,第二问分类讨论和 ,当 时构造函数 时关键,讨论函数 的性质

3、,本题难度较大。2 【2018 年理数全国卷 II】 已知函数 (1)若 ,证明:当 时, ; (2)若 在 只有一个零点,求 【答案】 (1)见解析(2)【解析】分析:(1)先构造函数 ,再求导函数,根据导函数不大于零得函数单调递减,最后根据单调性证得不等式,(2)研究 零点,等价研究 的零点,先求导数: ,这里产生两个讨论点,一个是 a 与零,一个是 x 与 2,当 时, 没有零点;当 时, 先减后增,从而确定只有一个零点的必要条件,再利用零点存在定理确定条件的充分性,即得 a 的值.(2)设函数 在 只有一个零点当且仅当 在 只有一个零点(i)当 时, , 没有零点;(ii)当 时, 当

4、 时, ;当 时, 所以 在 单调递减,在 单调递增故 是 在 的最小值 若 ,即 , 在 没有零点;若 ,即 , 在 只有一个零点;若 ,即 ,由于 ,所以 在 有一个零点,由(1)知,当 时, ,所以 故 在 有一个零点,因此 在 有两个零点综上, 在 只有一个零点时, 点睛:利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.3 【2018 年江苏卷】某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 (P 为此圆弧的中点)和线段 M

5、N 构成已知圆 O 的半径为 40 米,点 P 到 MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚内的地块形状为矩形 ABCD,大棚内的地块形状为 ,要求均在线段 上, 均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 (1)用 分别表示矩形 和 的面积,并确定 的取值范围;(2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 求当 为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【答案】 (1)矩形 ABCD 的面积为 800(4sin cos+cos)平方米,CDP 的面积为1600(cos sincos) ,sin 的取值范围是 ,1) (2)当 =

6、时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析:(1)先根据条件求矩形长与宽,三角形的底与高,再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果,最后根据实际意义确定 的取值范围;(2)根据条件列函数关系式,利用导数求极值点,再根据单调性确定函数最值取法.详解:解:(1)连结 PO 并延长交 MN 于 H,则 PHMN,所以 OH=10过 O 作 OEBC 于 E,则OEMN,所以COE= ,故 OE=40cos,EC =40sin,则矩形 ABCD 的面积为 240cos(40sin +10)=800(4sin cos+cos) ,CDP 的面积为 240cos(4040sin )=1600(co

7、s sincos) 过 N 作 GNMN ,分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K,则 GK=KN=10令GOK= 0,则 sin0= , 0(0, ) 当 0, )时,才能作出满足条件的矩形 ABCD,所以 sin 的取值范围是 ,1) 答:矩形 ABCD 的面积为 800(4sin cos+cos)平方米,CDP 的面积为1600(cos sincos) ,sin 的取值范围是 ,1) 令 ,得 = ,当 ( 0, )时, ,所以 f( )为增函数;当 ( , )时,所以 f()为减函数,因此,当 = 时,f( )取到最大值答:当 = 时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大点睛:解决实际

8、应用题的步骤一般有两步:一是将实际问题转化为数学问题;二是利用数学内部的知识解决问题.2017 年高考全景展示1.【2017 课标 3,理 11】已知函数 有唯一零点,则 a=21()()xfxaeA B C D1121【答案】 C【解析】试题分析:函数的零点满足 ,21xxae设 ,则 ,1xge2111xxxeg 当 时, ,当 时, ,函数 单调递减,0 0g当 时, ,函数 单调递增,1xgxgx当 时,函数取得最小值 ,1x12g设 ,当 时,函数取得最小值 ,2hx1若 ,函数 与函数 没有交点,0ahax当 时, 时,此时函数 和 有一个交点,1ghxag即 ,解得 .故选 C.

9、22【考点】 函数的零点;导函数研究函数的单调性,分类讨论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用.2.【2017 课标 1,理 21】已知函数 .2()()xxfaee(1)讨论 的单调性;()fx(2)若 有两个零点,求 a 的取值范围.【解析】试题分析:(1)讨论 单调性,首先进行求导,发现式子特点后要及时进行因式分解,在对()fx按 , 进行讨论,写出单调区间;(2)根据第(1)题,若

10、 , 至多有一个零a0 0a()fx点.若 ,当 时, 取得最小值,求出最小值 ,根据 ,lnxa()fx 1(ln)lnf1a, 进行讨论,可知当 有 2 个零点,设正整数 满足 ,(1,)(,)(0,1)a03()则.由于 ,因此 在0 00()e(2)ennnfa3ln(1)la()fx有一个零点.所以 的取值范围为 .l,a(,1)(2) ()若 ,由(1)知, 至多有一个零点.0a()fx()若 ,由(1)知,当 时, 取得最小值,最小值为lna()fx.(ln)lnfa当 时,由于 ,故 只有一个零点;()0f()fx当 时,由于 ,即 ,故 没有零点;(1,)1laln)0a()

11、fx当 时, ,即 .0an(f又 ,故 在 有一个零点.422(2)e()efa()fx,ln)a设正整数 满足 ,则 .0n3l10 00()2e2n nfa由于 ,因此 在 有一个零点.3l(1)axl,综上, 的取值范围为 .(,)【考点】含参函数的单调性,利用函数零点求参数取值范围.【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数 有 2 个零()fx点求参数取值范围,第一种方法是分离参数,构造不含参数的函数,研究其单调性、极值、最值,判断 与其交点的个数,从而求出 a 的范围;第二种方法是直接对含参函数进行研究,研究其ya单调性、极值、最值,注意点是若 有

12、 2 个零点,且函数先减后增,则只需其最小值小于 0,且()fx后面还需验证有最小值两边存在大于 0 的点.3.【2017 课标 II,理】已知函数 ,且 。2lnfax0fx(1)求 ;a(2)证明: 存在唯一的极大值点 ,且 。fx0x220efx【答案】(1) ;(2)证明略。1【解析】试题分析:(1)利用题意结合导函数与原函数的关系可求得 ,注意验证结果的正确性;1a(2)结合(1)的结论构造函数 ,结合 的单调性和 的解析式即可证得题2lnhxxhfx中的不等式 。20ef(2)由(1)知 , 。2lnfxx2lnfx设 ,则 。lnhx1h当 时, ;当 时, ,0,20x,2x0

13、hx所以 在 单调递减,在 单调递增。hx1,1,又 , , ,20e0h所以 在 有唯一零点 ,在 有唯一零点 1,hx1,0x1,2且当 时, ;当 时, ,0,x0hx0,1x0hx当 时, 。1因为 ,所以 是 的唯一极大值点。fx0xf由 得 ,故 。 0 0ln21001xx由 得 。,1x4fx因为 是 在(0,1)的最大值点,0由 , 得 。 1,e10fe120fxfe所以 。220x【考点】 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常

14、突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系。 (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数。 (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题。 (4)考查数形结合思想的应用。4.【2017 天津,理 20】设 ,已知定义在 R 上的函数 在区间aZ432()26fxxa内有一个零点 , 为 的导函数.(1,2)0x()gfx()求 的单调区间;(g()设 ,函数 ,求证: ;0,)(,2mx0()()(hxgmxf0()hmx()求证:存在大于 0 的常数

15、 ,使得对于任意的正整数 ,且 满足A,pq01,2.041|pxqA【答案】 (1)增区间是 , ,减区间是 .(2) (3)证明见解析(,1)(,)41(,)4试题解析:()由 ,可得 ,432()26fxxa32()896gxfx进而可得 .令 ,解得 ,或 .()186g ()0g14当 x 变化时, 的变化情况如下表:,()xx (,1)(,)1(,)4()g+ - + 所以, 的单调递增区间是 , ,单调递减区间是 .()x(,1)(,)41(,)4()证明:由 ,得 ,0)hgxmf 0()hmgxfm.000()(hxgf令函数 ,则 .由()知,当 时,1)Hxx10()()

16、Hgx1,2x,故当 时, , 单调递减;当 时, ,()gx0,100(,x()0H单调递增.因此,当 时, ,可得1 ,)(,2xx11()f.()0,()mh即令函数 ,则 .由()知, 在 上单20)(Hxgxf20()()Hxgx()gx1,2调递增,故当 时, , 单调递增;当 时, ,1,200,220H单调递减.因此,当 时, ,可得2()x,)(,xx22()x.0,()mh即所以, .x(III)证明:对于任意的正整数 , ,且 ,pq01)(,2x令 ,函数 .pmq0()()(hgmxxf由(II)知,当 时, 在区间 内有零点;01,h0,)x当 时, 在区间 内有零

17、点.0(,2x()x0(),所以 在 内至少有一个零点,不妨设为 ,则 .)h1, 1x110()()(phgxfq由(I)知 在 上单调递增,故 ,(gx,20()2g于是 .43340 41)|()|26|( ()pffppqpaqqg因为当 时, ,故 在 上单调递增,2,x)0x()fx1,所以 在区间 上除 外没有其他的零点,而 ,故 .()f 0pxq()0pfq又因为 , , 均为整数,所以 是正整数,pqa43234|26|pa从而 .4323|26|1qa所以 .所以,只要取 ,就有 .041|()xqg()Ag041|pxqA【考点】导数的应用【名师点睛】判断 的单调性,只

18、需对函数求导,根据 的导数的符号判断函数的单调性,()x ()gx求出单调区间,有关函数的零点问题,先利用函数的导数判断函数的单调性,了解函数的图象的增减情况,再对极值点作出相应的要求,可控制零点的个数.2016 年高考全景展示1 【2016 高考新课标 1 卷】已知函数 有两个零点.221xfxea(I)求 a 的取值范围;(II)设 x1,x2是 的两个零点,证明: .f 12【答案】 (0,)试题解析;() ()12()1(2)x xfeaea(i)设 ,则 , 只有一个零点0axf(ii)设 ,则当 时, ;当 时, 所以 在()()0x()()0fx()fx上单调递减,在 上单调递增

19、(1)1,又 , ,取 满足 且 ,则fe(2)fabln2ab,23()()0ab故 存在两个零点fx()不妨设 ,由()知 , , 在 上单12x12(,)(1)xx2(1)x(fx,1)调递减,所以 等价于 ,即 ff0f由于 ,而 ,所以222()(1)xfxea222()(1)0xfxea22x设 ,则 ()()xgee 2()()xge所以当 时, ,而 ,故当 时, 10110g从而 ,故 22()xf2x考点:导数及其应用【名师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则:互斥、无漏、最简;,解决函数不等式的证明问题的思路是

20、构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.2. 【2016 高考山东理数】(本小题满分 13 分)已知 .21()ln,Rxfxaa(I)讨论 的单调性;(II)当 时,证明 对于任意的 成立.13()2fx 1,2x【答案】 ()见解析;()见解析【解析】试题分析:()求 的导函数,对 a 进行分类讨论,求 的单调性;()fx ()fx()要证 对于任意的 成立,即证 ,根据单调性求解.32f 1,2x23/f试题解析:() 的定义域为 ;)(xf),0(.3232/ )1(xaxaf 当 , 时, , 单调递增;0)1,(0)(/f)(f, 单调递减./,xx时当 时, .0a/

21、3(1)2)(axf xa(1) , ,2当 或 时, , 单调递增;),0(x),(a0)(/xf)(f当 时, , 单调递减;)2,1()(/xf)(f(2) 时, ,在 内, , 单调递增;a1x),0(0)(/xf)(f(3) 时, ,20a当 或 时, , 单调递增;),(xx),1(0)(/xf)(f当 时, , 单调递减.),2(a0/ff综上所述,当 时,函数 在 内单调递增,在 内单调递减;0)(xf1, ),1(当 时, 在 内单调递增,在 内单调递减,在 内单调递增;2af,02,a),2(a当 时, 在 内单调递增;)(xf),当 , 在 内单调递增,在 内单调递减,在

22、 内单调递增.2af2,0a)1,2(a),1(()由()知, 时,1/ 223()ln()xfx x, ,231lnxx2,1x令 , .)(,l)( 32hg 2,1x则 ,/ xgxf由 可得 , 当且仅当 时取得等号.01)(/g1)(g1x又 ,2436()xh设 ,则 在 单调递减,2)(x2,1因为 ,10)(,)1所以在 上存在 使得 时, 时, ,2x),(0x)2,(,0)(0x0)(x所以函数 在 上单调递增;在 上单调递减,()h),02,由于 ,因此,当且仅当 取得等号,21,11)(hx2x所以 ,23)()(/gxf即 对于任意的 恒成立。23)(/ff ,1x考

23、点:1.应用导数研究函数的单调性、极值;2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广,对考生计算能力要求较高,是一道难题.解答本题,准确求导数是基础,恰当分类讨论是关键,易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当,或因复杂式子变形能力差,而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.3.【2016 高考江苏卷】 (本小题满分 16 分)已知函数 .()(0,1,)xfabab设 .12,ab(1)求方程 的根;()2fx(2)若对任意 ,不等式 恒成立,求实数 的最大值;R()f(6fxmm(3)若

24、 ,函数 有且只有 1 个零点,求 的值。01ab 2gab【答案】 (1)0 4(2)1【解析】试题分析:(1)根据指数间倒数关系 转化为一元二次方程 ,求方2=1x 2()10xx程根根据指数间平方关系 ,将不等式转化为一元不等式,再利用变量22()x分离转化为对应函数最值,即 的最小值,最后根据基本不等式求最值(2)先分析)4(fm导函数零点情况:唯一零点 ,再确定原函数单调变化趋势:先减后增,从而结合图像确定唯一零0x点必在极值点 取得,而 ,因此极值点 必等于零,进而求出0x0()2gfab0x的值.本题难点在证明 ,这可利用反证法:若 ,则可寻找出一个区间 ,由ab0 0x12(,

25、)x结合零点存在定理可得函数存在另一零点,与题意矛盾,其中可取12(),g()x;若 ,同理可得.0loa0x试题解析:(1)因为 ,所以 .1,2b()2xf方程 ,即 ,亦即 ,()2fxx10所以 ,于是 ,解得 .010x由条件知 .222()()()xf fx因为 对于 恒成立,且 ,26xmR所以 对于 恒成立.2()4fx而 ,且 ,2()44()2()fxfxfx2(0)4f所以 ,故实数 的最大值为 4.m(2)因为函数 只有 1 个零点,而 ,()gxf0(0)2gfab所以 0 是函数 的唯一零点.因为 ,又由 知 ,()lnlxxab0,abln,l0所以 有唯一解 .

26、0g0lnog()ba令 ,则 ,()hx 22()ll(ln)(l)xxxxhab从而对任意 , ,所以 是 上的单调增函数,R0()gh,于是当 , ;当 时, .0(,)x(gx0()x0()gx因而函数 在 上是单调减函数,在 上是单调增函数.,下证 .0x若 ,则 ,于是 ,02x0()2xg又 ,且函数 在以 和 为端点的闭区间上logllo(l)aaaagb()gx02loga的图象不间断,所以在 和 之间存在 的零点,记为 . 因为 ,所以0xla()101,又 ,所以 与“0 是函数 的唯一零点”矛盾.lo20a1x若 ,同理可得,在 和 之间存在 的非 0 的零点,矛盾.x

27、02xloga()g因此, .0于是 ,故 ,所以 .ln1abln0b1b考点:指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.4.【2016 高考新课标 3 理数】设函数 ,其中 ,记()cos2(1)cos)fxax0a的最大值为 |()|fxA()求 ;f()求 ;()

28、证明: |()|2fx【答案】 () ;() ;()2sin(1)sinfxaxx213,056,81aA()见解析试题解析:() ()2sin(1)sinfxaxx()当 时,1a|()|sin()co)|fx2()a32(0)f因此, 4 分32A当 时,将 变形为 01a()fx2()cos(1)cosfxxx令 ,则 是 在 上的最大值, , ,且2()1gttA|gt,(1)ga()32当 时, 取得极小值,极小值为 4a()22(6()488a令 ,解得 (舍去) , 13a15()当 时, 在 内无极值点, , ,05()gt,|()|ga|(1)|23ga,所以 |(1)|g23Aa()当 时,由 ,知 5a(1)()0ga1(1)()4agg又 ,所以 7|()|()|48a26|48aA综上, 213,056,81aA考点:1、三角恒等变换;2、导数的计算;3、三角函数的有界性 【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步:(1)利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如 的形式;(2)结合自变量 的取值范围,结合正sin()yAxBx弦曲线与余弦曲线进行求解

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