1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点十六 利用空间向量求夹角一、求直线与直线的夹角例1：在长方体中，则直线与所成角的余弦值为 【答案】【解析】在长方体中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，设直线与所成角为，则，直线与所成角的余弦值为二、求直线与平面的夹角例2：正三棱柱的侧棱与底面边长相等，则与平面的夹角的余弦值为 【答案】【解析】设，以为原点，建立空间直角坐标系坐标系如图，则，又平面的一个法向量，设与平面的夹角为，则，故三、求平面与平面的夹角例3：正方体中，二面角的大小是 【答案】【解析】设正方体的棱长为，以为原点建立空间直角坐标系，设平面的法向量，则，取，
2、得，设平面的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，二面角的大小为对点增分集训一、选择题1已知四面体中，平面平面，为边长的等边三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意画出图形如下图所示：平面平面，平面平面，平面以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，则，异面直线与所成角的余弦值为2正方体的棱上（除去棱）到直线与的距离相等的点有个，记这个点分别为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】D【解析】正方体的棱上到直线与的距离相等的点分别为：，的中点，的四等分点（靠近），假设与重合，的中点为，的四等分点（靠近）为，以为坐标原点，所在直线分别为，轴
3、，建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量，则，即，取，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为3如图所示，正方体的棱，的中点分别为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】C【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，取平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为4在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为，则，设平面的一个法向量为，所以有，即，解得，平面的一个法向量为，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为二、填空
4、题5在正方体中，分别是、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 【答案】【解析】设正方体的棱长为，建立如图所示空间直角坐标系，则，异面直线与所成角的余弦值为6如图，在正方体中，分别为，的中点，则平面和平面所成二面角的正弦值为 【答案】【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，设平面的一个法向量，则，取，得，平面的一个法向量，设平面和平面所成二面角为，则，所以三、解答题7如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱中，四边形为矩形，过作与直线平行的平面交于点（1）证明：；（2）若与底面所成角为，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接交于点，连接因为平面，平面，平面平面，所以又因为四边形为平行四边形，所以为的中点，所以为的中位线，所以为的中点又因为为等边三角形，所以（2）过作平面垂足为，连接，设，因为与底面所成角为，所以在中，因为，所以，因为平面，平面，所以又因为四边形为矩形，所以，因为，所以因为，平面，平面，所以平面因为平面，所以又因为，所以为的中点以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图则，因为，所以，因为，所以，设平面的法向量为，由，得，令，得，所以平面的一个法向量为设平面的法向量为，由，得，令，得，所以平面的一个法向量为所以，因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为10
