1、第八篇 平面解析几何专题8.03圆与方程【考试要求】掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.【知识梳理】1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)|MC|rM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)|MC|rM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)|MC|rM在圆内，即(x0a)2
2、(y0b)2r2M在圆内.【微点提醒】1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2y2r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆.()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆.()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(2)当a0时，x2y2a2表示点(0，0)；当a0时，表示半径为|a|的圆.(3)
3、当(4m)2(2)245m0，即m或m1时表示圆.【教材衍化】2.(必修2P124A1改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标和半径分别是()A.(2，3)，3 B.(2，3)，C.(2，3)，13 D.(2，3)，【答案】D【解析】圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径r.3.(必修2P130例3改编)过点A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A.(x3)2(y1)24 B.(x3)2(y1)24C.(x1)2(y1)24 D.(x1)2(y1)24【答案】C【解析】设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线xy20上，所以
4、b2a.又|CA|2|CB|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以a1，b1.所以r2.所以方程为(x1)2(y1)24.【真题体验】4.(2019日照调研)若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A.(1，1) B.(0，1)C.(，1)(1，) D.a1【答案】A【解析】因为点(1，1)在圆的内部，所以(1a)2(1a)24，所以1a0)，则解得D2，E0，F0，故圆的方程为x2y22x0.法二设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA1，kAB1，所以kOAkAB1，即OAAB，所以OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO
5、是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r|OB|1，圆的方程为(x1)2y21，即x2y22x0.(2)法一所求圆的圆心在直线xy0上，设所求圆的圆心为(a，a).又所求圆与直线xy0相切，半径r|a|.又所求圆在直线xy30上截得的弦长为，圆心(a，a)到直线xy30的距离d，d2r2，即2a2，解得a1，圆C的方程为(x1)2(y1)22.法二设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则圆心(a，b)到直线xy30的距离d，r2，即2r2(ab3)23.由于所求圆与直线xy0相切，(ab)22r2.又圆心在直线xy0上，ab0.联立，解得故圆C的方程为(x1)2(y1)22.法
6、三设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心为，半径r，圆心在直线xy0上，0，即DE0，又圆C与直线xy0相切，即(DE)22(D2E24F)，D2E22DE8F0.又知圆心到直线xy30的距离d，由已知得d2r2，(DE6)2122(D2E24F)，联立，解得故所求圆的方程为x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.【规律方法】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线
7、；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【训练1】 (1)若圆C：x2n的圆心为椭圆M：x2my21的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为_.(2)(2018枣庄模拟)已知圆M与直线xy0及xy40都相切，且圆心在直线yx2上，则圆M的标准方程为_.【答案】(1)x2(y1)24(2)x2(y2)22【解析】(1)圆C的圆心为，m.又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0，1)，从而n4.故圆C的标准方程为x2(y1)24.(2)圆M的圆心在yx2上，设圆心为(a，2a)，圆M与直线xy0及xy40都相切，圆心到直线xy0的距离等于圆心到直线xy40的距离，即，解
8、得a0，圆心坐标为(0，2)，圆M的半径为，圆M的标准方程为x2(y2)22.考点二与圆有关的最值问题角度1斜率型、截距型、距离型最值问题【例21】 已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值.【答案】见解析【解析】原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.(1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图1).所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，
9、纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图2).所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.【规律方法】把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：(1)形如m的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如maxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两
10、点间距离的平方的最值问题.角度2利用对称性求最值【例22】 已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A.54 B.1C.62 D.【答案】A【解析】P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3).所以|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5，即|PM|PN|PC1|PC2|454.【规律方法】求解形如|PM|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线
11、段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.【训练2】 (1)设点P是函数y图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为_.(2)已知A(0，2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_.【答案】(1)2(2)2【解析】(1)函数y的图象表示圆(x1)2y24在x轴及下方的部分，令点Q的坐标为(x，y)，则得y3，即x2y60，作出图象如图所示，由于圆心(1，0)到直线x2y60的距离d2，所以直线x2
12、y60与圆(x1)2y24相离，因此|PQ|的最小值是2.(2)因为圆C：x2y24x2y0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r的圆.设点A(0，2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，故解得故A(4，2).连接AC交圆C于Q，由对称性可知|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2.考点三与圆有关的轨迹问题【例3】 已知圆x2y24上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程.【答案】见解析【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2，2y).因为P点在圆
13、x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21(x2).(2)设PQ的中点为N(x，y).在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.【规律方法】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【训
14、练3】 已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.【答案】见解析【解析】(1)由x2y26x50得(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3，0).(2)设M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1MAB，所以kC1MkAB1，当x3时可得1，整理得y2，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立.设直线l的方程为ykx，与x2y26x50联立，消去y得：(1k2)x26x50.令其判别式(6)24(1k2)50，得k2，此时方程为x26x50，解上式得x，因此0)，则A(0，
15、a).又F(1，0)，所以(1，0)，(1，a).由题意得与的夹角为120，得cos 120，解得a.所以圆的方程为(x1)2(y)21.14.(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.【答案】见解析【解析】(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0).设A(x1，y1)，B(x2，y2).由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为y
16、x1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.【新高考创新预测】15.(多填题)已知实数x，y满足x2y26x8y110，则的最大值为_，|3x4y28|的最小值为_.【答案】115【解析】由题意知圆的标准方程为(x3)2(y4)236，其表示的是一个圆心为(3，4)，半径为6的圆，而表示圆上的点到坐标原点的距离，()max611，由圆的标准方程(x3)2(y4)236可设其圆上点的坐标为(为参数)，|3x4y28|18cos 24sin 35|30sin()35|，当sin()1时，|3x4y28|min5.15
