1、第二篇 函数及其性质专题2.07函数的图象【考试要求】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.【知识梳理】1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(
2、x)的图象；yax(a0，且a1)的图象ylogax(a0，且a1)的图象.(3)伸缩变换yf(x)yf(ax).yf(x)yAf(x).(4)翻折变换yf(x)的图象y|f(x)|的图象；yf(x)的图象yf(|x|)的图象.【微点提醒】记住几个重要结论(1)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称.(2)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数yf(x)对定义域内任意自变量x满足：f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数yf(1x)的图象，可由yf(x)
3、的图象向左平移1个单位得到.()(2)函数yf(x)的图象关于y轴对称即函数yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称.()(3)当x(0，)时，函数yf(|x|)的图象与y|f(x)|的图象相同.()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)yf(x)的图象向左平移1个单位得到yf(1x)，故(1)错.(2)两种说法有本质不同，前者为函数的图象自身关于y轴对称，后者是两个函数的图象关于y轴对称，故(2)错.(3)令f(x)x，当x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两函数图象不同，故(3)
4、错.【教材衍化】2.(必修1P24A7改编)下列图象是函数y的图象的是()【答案】C【解析】其图象是由yx2图象中x0时，函数g(x)logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0时，x(2，8.【考点聚焦】考点一作函数的图象【例1】 作出下列函数的图象：(1)y；(2)y|log2(x1)|；(3)yx22|x|1.【答案】见解析【解析】(1)先作出y的图象，保留y图象中x0的部分，再作出y的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y的图象，如图实线部分. (2)将函数ylog2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如
5、图.(3)y且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图.【规律方法】作函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练1】 分别作出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)ysin |x|.【答案】见解析【解析】(1)先作出函数ylg x的图象，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得函数y|lg x|
6、的图象，如图实线部分.(2)当x0时，ysin|x|与ysin x的图象完全相同，又ysin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图.考点二函数图象的辨识【例2】 (1)(一题多解)(2017全国卷)函数y1x的部分图象大致为()(2)函数y2x2e|x|在2，2的图象大致为()【答案】(1)D(2)D【解析】(1)法一易知g(x)x为奇函数，故y1x的图象关于点(0，1)对称，排除C；当x(0，1)时，y0，排除A；当x时，y1，排除B，选项D满足.法二当x1时，f(1)11sin 12sin 12，排除A，C；又当x时，y，排除B，而D满足.(2)f(x)2x2e|x|，x2，2是偶函
7、数，又f(2)8e2(0，1)，排除选项A，B；当x0时，f(x)2x2ex，f(x)4xex，所以f(0)10，所以函数f(x)在(0，2)上有解，故函数f(x)在0，2上不单调，排除C，故选D.【规律方法】1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【训练2】 (2018浙江卷)函数y2|x|sin 2x的图象可能是()【答案】D
8、【解析】设f(x)2|x|sin 2x，其定义域为R且关于坐标原点对称，又f(x)2|x|sin(2x)f(x)，所以yf(x)是奇函数，故排除选项A，B；令f(x)0，所以sin 2x0，所以2xk(kZ)，即x(kZ)，故排除选项C.故选D.考点三函数图象的应用角度1研究函数的性质【例31】 已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，)B.f(x)是偶函数，递减区间是(，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(，0)【答案】C【解析】将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图象，
9、如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1，1)上是减少的.角度2求不等式的解集【例32】 已知函数yf(x)的图象是如图所示的折线ACB，且函数g(x)log2(x1)”，则不等式f(x)g(x)的解集是()A.x|1x0B.x|1x1C.x|1x1D.x|1x2【答案】C【解析】令g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)图象如图，由得结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|10.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_.【答案】(3，)【解析】在同一坐标系中，作yf(x)与yb的图象.当xm时，x2
10、2mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.【规律方法】1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.【训练3】 (1)(2019杭州检测)已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：
11、当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则h(x)()A.有最小值1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值1，无最大值D.有最大值1，无最小值(2)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_.【答案】(1)C(2)【解析】(1)画出y|f(x)|2x1|与yg(x)1x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|g(x)，故h(x)|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|g(x)，故h(x)g(x).综上可知，yh(x)的图象是图中的实线部分，因此
12、h(x)有最小值1，无最大值.(2)先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)kx过A点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.【反思与感悟】1.识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.2.用图借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)g(x)的解的个数，求不等式的解集等.【易错防范】1.图象变换是针对自变量x而言的，如从f
13、(2x)的图象到f(2x1)的图象是向右平移个单位，先作如下变形f(2x1)f，可避免出错.2.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.【核心素养提升】【直观想象】函数图象的活用直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比比皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形结合思想是典型的直观想象范例.类型1根据函数图象特征，确定函数解析式函数解析式
14、与函数图象是函数的两种重要表示法，图象形象直观，解析式易于研究函数性质，可根据需要，相互转化.【例1】 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A.f(x)B.f(x)C.f(x)1D.f(x)x【答案】A【解析】由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)x，则x时，f(x)，排除D.只有选项A中f(x)满足.有兴趣的同学可以研究函数的性质作出判断(略).类型2利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.【例2】 (2
15、019安徽江淮十校联考)已知maxa，b表示a，b两数中的最大值.若f(x)maxe|x|，e|x2|，则f(x)的最小值为_.【答案】e【解析】在同一直角坐标系中，画出函数ye|x|，ye|x2|的图象(图略)，可知f(x)maxe|x|，e|x2|当x1时，f(x)exe，且当x1时，取得最小值e；当xe.故f(x)的最小值为f(1)e.【例3】 (2016全国卷)已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，若函数y|x22x3|与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则xi()A.0 B.m C.2m D.4m【答案】B【解析】由f(x)f(2x)知函
16、数f(x)的图象关于直线x1对称.又y|x22x3|(x1)24|的图象也关于直线x1对称，所以这两函数的交点也关于直线x1对称(图略).不妨设x1x20，需满足a2，所以2a2.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.(2019长郡中学联考)函数f(x)的图象大致为()【答案】D【解析】f(x)f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称，排除选项B，C，又f(2)1，b1B.a1，0b1C.0a1D.0a1，0b1【答案】D【解析】由图象从左向右下降，知0a1.又yf(x)与y轴的交点(0，1b)，01b1，则0bln(e0)1，排除D，因而B项成立.7.(2019烟台二
17、模)已知函数f(x)(a，b，c，dR)的图象如图所示，则()A.a0，b0，c0 B.a0，c0C.a0，c0，d0 D.a0，b0，d0【答案】B【解析】由题图可知，x1且x5，则ax2bxc0的两根为1，5，由根与系数的关系，得6，5，a，b异号，a，c同号，又f(0)0.又因为x时，f(x)0，所以2m0m0时，f(x)，所以f(x)在(0，)上单调递增，(，)上单调递减，所以1m1，综上，实数m的取值范围是(1，2).二、填空题9.(2019石家庄模拟)若函数yf(x)的图象过点(1，1)，则函数yf(4x)的图象一定经过点_.【答案】(3，1)【解析】由于函数yf(4x)的图象可以
18、看作yf(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到.点(1，1)关于y轴对称的点为(1，1)，再将此点向右平移4个单位长度.所以函数yf(4x)的图象过定点(3，1).10.如图，定义在1，)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为_.【答案】f(x)【解析】当1x0时，设解析式为ykxb(k0).则得yx1.当x0时，设解析式为ya(x2)21(a0).图象过点(4，0)，0a(42)21，得a.11.使log2(x)x1成立的x的取值范围是_.【答案】(1，0)【解析】在同一直角坐标系内作出ylog2(x)，yx1的图象，知满足条件的x(1，0
19、).12.若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_.【答案】(0，)【解析】在同一个坐标系中画出函数y|x|与yax的图象，如图所示.由图象知当a0时，方程|x|ax只有一个解.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.函数y在2，0(0，2上的大致图象为()【答案】B【解析】当x(0，2时，函数y，当x时，y0，当x时，y0，所以函数y在(0，2上只有零点，又函数y在2，0)(0，2上是偶函数.14.(2019济南模拟)若直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)图象上；(2)点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)
20、与(B，A)可看作一个“和谐点对”.已知函数f(x)则f(x)的“和谐点对”有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】作出函数yx22x(x0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y(x0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个.15.已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足f(x)f(x)，且在(0，)上单调递减，g(1x)g(1x)，且在(1，)上单调递减，设函数F(x)f(x)g(x)|f(x)g(x)|，则对任意xR，均有()A.F(1x)F(1x) B.F(1x)F(1x)C.F(1x2)F(1x2)
21、D.F(1x2)F(1x2)【答案】C【解析】因为F(x)根据题意，F(x)的示意图可表示为如图中的实线部分，所以有F(1x2)F(1x2).16.函数f(x)的图象与直线ykx1交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1y2_.【答案】2【解析】因为f(x)1，所以f(x)的图象关于点(0，1)对称，而直线ykx1过(0，1)点，故两图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0，1)对称，所以1，即y1y22.【新高考创新预测】17.(多选题)对于函数f(x)lg(|x2|1)，下列说法正确的是()A.f(x2)是偶函数B.f(x2)是奇函数C.f(x)在区间(，2)上是减函数，在区间(2，)上是增函数D.f(x)没有最小值【答案】AC【解析】作出f(x)的图象，可知f(x)在(，2)上是减函数，在(2，)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以A，C正确.18
