1、第八篇 平面解析几何专题8.04直线与圆、圆与圆的位置关系【考试要求】1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.【知识梳理】1.直线与圆的位置关系设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr02.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离
2、外切相交内切内含几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210【微点提醒】1.关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形.2.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(
3、在括号内打“”或“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.【教材衍化】2.(必修2P132A5改编)直线l：3xy60与圆x2y
4、22x4y0相交于A，B两点，则|AB|_.【答案】【解析】由x2y22x4y0得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r.又圆心(1，2)到直线3xy60的距离为d，由r2d2，得|AB|210，即|AB|.3.(必修2P133A9改编)圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_.【答案】2【解析】由得两圆公共弦所在直线方程xy20.又圆x2y24的圆心到直线xy20的距离为.由勾股定理得弦长的一半为，所以，所求弦长为2.【真题体验】4.(2019大连双基测试)已知直线ymx与圆x2y24x20相切，则m值为()A. B. C. D.1【答案】D【解析】由x
5、2y24x20得圆的标准方程为(x2)2y22，所以该圆的圆心坐标为(2，0)，半径r，又直线ymx与圆x2y24x20相切，则圆心到直线的距离d，解得m1.5.(2018西安八校联考)若过点A(3，0)的直线l与曲线(x1)2y21有公共点，则直线l斜率的取值范围为()A.(，) B.，C.(，) D.【答案】D【解析】数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x3)，则圆心(1，0)与直线yk(x3)的距离应小于等于半径1，即1，解得k.6.(2019北京海淀区模拟)若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A.21 B.19 C.9 D.11【答案】C【
6、解析】圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r11，因为圆C2的方程可化为(x3)2(y4)225m，所以圆C2的圆心为C2(3，4)，半径r2(m25).从而|C1C2|5.由两圆外切得|C1C2|r1r2，即15，解得m9.【考点聚焦】考点一直线与圆的位置关系【例1】 (1)(2019青岛测试)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定(2)已知O：x2y21，点A(0，2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被O挡住，则实数a的取值范围是()A.(，2)(2，)B.(，)(，)C.(，)(，)D.(，)【答案】
7、(1)B(2)B【解析】(1)因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，而圆心O到直线axby1的距离d1，故直线与圆O相交. (2)易知点B在直线y2上，过点A(0，2)作圆的切线.设切线的斜率为k，则切线方程为ykx2，即kxy20.由d1，得k.切线方程为yx2，和直线y2的交点坐标分别为(，2)，(，2).故要使视线不被O挡住，则实数a的取值范围是(，)(，).【规律方法】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点
8、与圆的位置关系法适用于动直线问题.【训练1】 (1)“a3”是“直线yx4与圆(xa)2(y3)28相切”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tR)的位置关系为()A.相离 B.相切C.相交 D.以上都有可能【答案】(1)A(2)C【解析】(1)若直线yx4与圆(xa)2(y3)28相切，则有2，即|a1|4，所以a3或5.但当a3时，直线yx4与圆(xa)2(y3)28一定相切，故“a3”是“直线yx4与圆(xa)2(y3)28相切”的充分不必要条件.(2)直线2txy22t0恒过点(1，2)，1
9、2(2)2214(2)50，点(1，2)在圆x2y22x4y0内，直线2txy22t0与圆x2y22x4y0相交.考点二圆的切线、弦长问题多维探究角度1圆的弦长问题【例21】 (2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.【答案】2【解析】由题意知圆的方程为x2(y1)24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为2，则圆心到直线yx1的距离d，所以|AB|22.角度2圆的切线问题【例22】 过点P(1，2)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A.y B.y C.y D.y【答案】B【解析】圆(x1)2y21的圆心为C(1，0
10、)，半径为1，以|PC|2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y10，即y.角度3与弦长有关的最值和范围问题【例23】 (2018全国卷)直线xy20分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A.2，6 B.4，8C.，3 D.2，3【答案】A【解析】圆心(2，0)到直线的距离d2，所以点P到直线的距离d1，3.根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为(2，0)，(0，2)，所以|AB|2，所以ABP的面积S|AB|d1d1.因为d1，3，所以S2，6，即ABP面积的取值范围是2，6.【规律方法】1.弦
11、长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l2.2.过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以验证. 【训练2】 (1)已知过点P(2，2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线xay10平行，则a_.(2)(2019杭州测试)过点(3，1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_.【
12、答案】(1)2(2)2【解析】(1)因为点P在圆(x1)2y25上，所以过点P(2，2)与圆(x1)2y25相切的切线方程为(21)(x1)2y5，即x2y60，由直线x2y60与直线xay10平行，得a2，a2.(2)设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|，半径r2.由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为22.考点三圆与圆的位置关系【例3】 已知两圆x2y22x6y10，x2y210x12ym0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)当m45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.【答案】见解析【解析】因为两圆的标准方程分别为(x1)2(y
13、3)211，(x5)2(y6)261m，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为，(1)当两圆外切时，由，得m2510.(2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以5，解得m2510.(3)由(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230.故两圆的公共弦的长为22.【规律方法】1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.【训练3】 (1)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直
14、线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A.内切 B.相交 C.外切 D.相离(2)(2018安阳模拟)已知圆C1：x2y2kx2y0与圆C2：x2y2ky40的公共弦所在直线恒过点P(a，b)，且点P在直线mxny20上，则mn的取值范围是()A. B.C. D.【答案】(1)B(2)D【解析】(1)由题意得圆M的标准方程为x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线xy0的距离d，所以22，解得a2，圆M，圆N的圆心距|MN|，小于两圆半径之和12，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)将圆C1与圆C2的方程相减得公共弦所在直线的方程为kx(k2)y40
15、，即k(xy)(2y4)0，由得即P(2，2)，因此2m2n20，mn1，则mn，当且仅当mn时取等号，mn的取值范围是.【反思与感悟】1.解决有关弦长问题的两种方法：(1)几何法，直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2()2d2；(2)代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.2.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程.注意：斜率不存在的情形.【易错防范】1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或
16、斜率之积为1列方程来简化运算.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2xy50 B.2xy70C.x2y50 D.x2y70【答案】B【解析】过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，点(3，1)在圆(x1)2y2r2上，圆心与切点连线的斜率k，切线的斜率为2，则圆的切线方程为y12(x3)，即2xy70.2.(2018佛山调研
17、)已知圆O1的方程为x2y21，圆O2的方程为(xa)2y24，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()A.1，1，3，3 B.5，5，3，3C.1，1 D.3，3【答案】A【解析】由题意得两圆的圆心距d|a|213或d|a|211，解得a3或a3或a1或a1，所以a的所有取值构成的集合是1，1，3，3.3.圆x22xy24y30上到直线xy10的距离为的点共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】圆的方程化为(x1)2(y2)28，圆心(1，2)到直线距离d，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点.4.(2019湖南十四校二联)已知直线x2ya
18、0与圆O：x2y22相交于A，B两点(O为坐标原点)，且AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为()A.或 B.或C. D.【答案】B【解析】因为直线x2ya0与圆O：x2y22相交于A，B两点(O为坐标原点)，且AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得1，所以a.5.(2019济南二模)直线l：kxyk10与圆x2y28交于A，B两点，且|AB|4，过点A，B分别作l的垂线与y轴交于点M，N，是|MN|等于()A.2 B.4 C.4 D.8【答案】D【解析】|AB|4为圆的直径，所以直线AB过圆心(0，0)，所以k1，则直线l的方程为yx，所以两条垂线的斜率
19、均为1，倾斜角45，结合图象易知|MN|228.二、填空题6.(2019天津河西区一模)若A为圆C1：x2y21上的动点，B为圆C2：(x3)2(y4)24上的动点，则线段AB长度的最大值是_.【答案】8【解析】圆C1：x2y21的圆心为C1(0，0)，半径r11，圆C2：(x3)2(y4)24的圆心为C2(3，4)，半径r22，|C1C2|5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，线段AB长度的最大值是|C1C2|r1r25128.7.已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与圆(x2)2(y3)28相外切，则圆C的方程为_.【答案】(x1)2y22【解析】由题意知圆心C(1，0
20、)，其到已知圆圆心(2，3)的距离d3，由两圆相外切可得R2d3，即圆C的半径R，故圆C的标准方程为(x1)2y22.8.已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴.过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|_.【答案】6【解析】由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴，则圆心C(2，1)满足直线方程xay10，所以2a10，解得a1，所以A点坐标为(4，1).从而|AC|236440.又r2，所以|AB|240436.即|AB|6.三、解答题9.已知圆C经过点A(2，1)，和直线xy1相切，且圆心在直线y2x上.(1)求圆C的方程；(2)已知
21、直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.【答案】见解析【解析】(1)设圆心的坐标为C(a，2a)，则.化简，得a22a10，解得a1.所以C点坐标为(1，2)，半径r|AC|.故圆C的方程为(x1)2(y2)22.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx，由题意得1，解得k，则直线l的方程为yx.综上所述，直线l的方程为x0或3x4y0.10.已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求
22、|MN|.【答案】见解析【解析】(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r1，由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1.解得k0)，因为H被直线xy10，xy30分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线xy10，xy30的交点，易得交点坐标为(2，1)，所以m2，n1.又H截x轴所得线段的长为2，所以r212n22.所以H的方程为(x2)2(y1)22.(2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点，所以M.因为M，N两点均在H上，所以(x02)2(y01)22，2，即(x0a4)2(y02)28，设I：(xa4)2(y2)28，由知H与I：(xa4)2(y2)28有公共点，从而2|HI|2，即3，整理可得2a24a518，解得2a1或3a2，所以实数a的取值范围是2，13，2.【新高考创新预测】15.(思维创新)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2(y1)2r2(r0)上存在点P，且点P关于直线xy0的对称点Q在圆C2：(x2)2(y1)21上，则r的取值范围是_.【答案】1，1【解析】C2关于直线xy0的对称圆C：(x1)2(y2)21，由题意，圆C与圆C1有交点，所以r1r1，所以r的范围是1，1.15
