1、9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系,第九章 平面解析几何,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系. _相交；_相切；_相离.,1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法,相交,dr,相切,相离,知识梳理,ZHISHISHULI,dr,
2、dr,2.圆与圆的位置关系,dr1r2,dr1r2,|r1r2|dr1r2,d|r1r2|(r1r2),0d|r1r2|(r1r2),无解,一组实数解,两组不同的实数解,一组实数解,无解,1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？,提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.,2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？,提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况.,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判
3、断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( ) (2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( ) (3)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.( ) (4)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.( ) (5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编,2.若直线xy10与圆
4、(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是 A.3，1 B.1,3 C.3,1 D.(，31，),1,2,3,4,5,6,7,3.圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为 A.内切 B.相交 C.外切 D.相离,32d32， 两圆相交.,1,2,3,4,5,6,7,解析 两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，,4.圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_.,得两圆公共弦所在直线为xy20.,1,2,3,4,5,6,7,题组三 易错自纠,5.若直线l：xym0与圆C：x2y24x2y10恒有公共点，则m的取值范围是,1,2,3,4,5,6,7,
5、1,2,3,4,5,6,7,6.(2018石家庄模拟)设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于,解析 因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，,1,2,3,4,5,6,7,7.过点A(3,5)作圆O：x2y22x4y10的切线，则切线的方程为_.,5x12y450或x30,1,2,3,4,5,6,7,解析 化圆x2y22x4y10为标准方程得(x1)2(y2)24，其圆心为(1,2)，,点A(3,5)在圆外. 显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切， 即切线方程为x30， 当切线斜率存在时，可
6、设所求切线方程为y5k(x3)， 即kxy53k0.,1,2,3,4,5,6,7,故所求切线方程为5x12y450或x30.,1,2,3,4,5,6,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 直线与圆的位置关系,例1 (2018贵州黔东南州联考)在ABC中，若asin Absin Bcsin C0，则圆C：x2y21与直线l：axbyc0的位置关系是 A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定,解析 因为asin Absin Bcsin C0， 所以由正弦定理得a2b2c20.,多维探究,命题点1 位置关系的判断,故圆C：x2y21与直线l：axbyc0相切，故选A.,命题点2 弦长
7、问题,例2 已知直线：12x5y3与圆x2y26x8y160相交于A，B两点，则|AB|_.,解析 把圆的方程化成标准方程为(x3)2(y4)29， 所以圆心坐标为(3,4)，半径r3，,命题点3 切线问题,例3 已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线l1：xy40平行；,解 设切线方程为xyb0，,(2)与直线l2：x2y40垂直；,解 设切线方程为2xym0，,(3)过切点A(4，1).,过切点A(4，1)的切线斜率为3， 过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)， 即3xy110.,(1)判断直线与圆的位置关系的常见方法 几何法：利用d与r的
8、关系. 代数法：联立方程之后利用判断. 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题. (2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.,跟踪训练1 (1)圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tR)的位置关系为_.,相交,解析 直线2txy22t0恒过点(1，2)， 12(2)2214(2)50， 点(1，2)在圆x2y22x4y0内， 直线2txy22t0与圆x2y22x4y0相交.
9、,(2)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_.,由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，,(3)过点P(2,4)引圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为_.,解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y4k(x2)，即kxy42k0， 直线与圆相切， 圆心到直线的距离等于半径，,x2或4x3y40,即4x3y40. 综上，切线方程为x2或4x3y40.,题型二 圆与圆的位置关系,命题点1 位置关系的判断,例4 分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120
10、，C2：x2y22x14yk0相交和相切.,多维探究,解 将两圆的一般方程化为标准方程，得 C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k， 则圆C1的圆心为C1(2,3)，半径r11；,即14k34时，两圆相交.,所以当k14或k34时，两圆相切.,命题点2 公共弦问题,例5 已知圆C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450. (1)求证：圆C1和圆C2相交；,证明 由题意得，圆C1和圆C2一般方程化为标准方程， 得(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)216，,圆C2的圆心C2(5,6)，半径r24，,圆C1和C2相交.,(2)求圆C1和圆C2的公共
11、弦所在直线的方程和公共弦长.,解 圆C1和圆C2的方程相减，得4x3y230， 两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230. 圆心C2(5,6)到直线4x3y230的距离,(1)判断两圆位置关系的方法 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察. (2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法 两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到. (3)两圆公共弦长的求法 求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长 ，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.,跟踪训练2 (1)(2016山东)已知圆M：x2y2
12、2ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是 ，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是 A.内切 B.相交 C.外切 D.相离,解析 圆M：x2(ya)2a2(a0)， 圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，,M(0,2)，r12. 又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r21，,r1r23，r1r21. r1r2|MN|r1r2， 两圆相交，故选B.,(2)圆x2y24x4y10与圆x2y22x130相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为_.,x2y60,解析 两个圆的方程两端相减，可得2x4y120. 即x2y60.,3,课时作业,PART THREE,1.若两圆x2y2m和x2y26
13、x8y110有公共点，则实数m的取值范围是 A.(，1) B.(121，) C.1,121 D.(1,121),解析 x2y26x8y110化成标准方程为 (x3)2(y4)236.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以1m121.故选C.,2.直线x3y30与圆(x1)2(y3)210相交所得弦长为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.已知直线l：xcos ysin 2(R)，圆C：x2y22xcos 2ysin 0(R)，则直线l与圆C的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.与，
14、有关,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 圆C：x2y22xcos 2ysin 0(R)， 即(xcos )2(ysin )21(R)， 圆心C的坐标为(cos ，sin )，半径为r1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2cos(). 当cos()1时，dr，直线l和圆C相切； 当1r，直线l和圆C相离，故选D.,4.(2018福州模拟)过点P(1，2)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为,解析 圆(x1)2y21的圆心为(1,0)，半径为1，,1,2,3,4
15、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条,解析 如图， 分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆. 由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2， 所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 直线x2ym0与O：x2y25交于相异两点A
16、，B，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2016全国)已知直线l：x y60与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|_.,过A，B作l的垂线方程分别为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,|CD|2(2)4.,解析 由题意，得圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,POA为直角三角形，,则|OP|2，OPA30，APB60.,9.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y
17、28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最 大值是_.,解析 圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到kxy20的距离应不大于2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2018成都模拟)已知圆C：(x3)2(y4)225，圆C上的点到直线l：3x4ym0(m0)的最短距离为1，若点N(a，b)在直线l上位于第一象限的部分， 则 的最小值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 圆C：(x3)2(y4)225
18、，圆心坐标(3,4)，半径为5， 因为圆C上的点到直线l：3x4ym0(m0)的最短距离为1， 则直线l与圆C相离， 设圆心到直线的距离为d，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为点N(a，b)在直线l上位于第一象限的部分， 所以3a4b55，a0，b0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知圆C：x2y22x4y10，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M. (1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
19、,15,16,解 把圆C的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24， 圆心为C(1,2)，半径r2. 当l的斜率不存在时，此时l的方程为x1， C到l的距离d2r，满足条件. 当l的斜率存在时，设斜率为k， 得l的方程为y3k(x1)， 即kxy3k0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即3x4y150. 综上，满足条件的切线l的方程为x1或3x4y150.,(2)求满足条件|PM|PO|的点P的轨迹方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
20、,15,16,解 设P(x，y)，则|PM|2|PC|2|MC|2 (x1)2(y2)24， |PO|2x2y2，|PM|PO|， (x1)2(y2)24x2y2， 整理，得2x4y10， 点P的轨迹方程为2x4y10.,12.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4).,(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 圆M的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225，圆心M(6,7)，半径r5， 由题意，设圆N的方程为(x
21、6)2(yb)2b2(b0).,解得b1， 圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.,(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|OA|，求直线l的方程；,解 kOA2，可设l的方程为y2xm，即2xym0.,直线l的方程为y2x5或y2x15.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又P，Q为圆M上的两点，|PQ|2r10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2018贵阳第一中学月考)已知直线l：(m2)x(m1)y44m0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x2y22x4y30的两条切
22、线互相垂直，则实数m的取值范围是 A.m1或m2 B.2m8 C.2m10 D.m2或m8,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图， 设切点分别为A，B.连接AC，BC，MC， 由AMBMACMBC90及|MA|MB|知，四边形MACB为正方形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即m28m200，2m10，故选C.,14.若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是_.,4,解析 O1与O在A处的切线互相垂直，如图，可
23、知两切线分别过另一圆的圆心，O1AOA.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又A，B关于OO1所在直线对称， AB长为RtOAO1斜边上的高的2倍，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.已知圆O：x2y29，点P为直线x2y90上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB过定点,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为P是直线x2y90上的任一点， 所以设P(92m，m)， 因为PA，PB为圆x2y29的两条切线，切点分
24、别为A，B， 所以OAPA，OBPB， 则点A，B在以OP为直径的圆(记为圆C)上， 即AB是圆O和圆C的公共弦， 易知圆C的方程是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又x2y29， 得，(2m9)xmy90， 即公共弦AB所在直线的方程是(2m9)xmy90， 即m(2xy)(9x9)0，,所以直线AB恒过定点(1,2)，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，以线段AB为直径的圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点 D ，求实数t的取值范围.,解 由题意可得直线AB的方程为xy1，与y24x联立消去x，可得y24y40，显然16160， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1y24，y1y24，,又|AB|x1x22y11y2128， 所以圆E是以(3,2)为圆心，4为半径的圆， 所以点D恒在圆E外.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即圆E上存在点P，Q，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
