1、第二篇 函数及其性质专题2.05指数与指数函数【考试要求】1.通过对有理数指数幂a(a0，且a1；m，n为整数，且n0)、实数指数幂ax(a0，且a1；xR)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.【知识梳理】1.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)
2、；正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.3.指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.在第一象限内，指数函数yax(a0且a1)的图象越高，底数越大.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”
3、或“”)(1)4.()(2)(1)(1).()(3)函数y2x1是指数函数.()(4)函数yax21(a1)的值域是(0，).()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)由于4，故(1)错.(2)(1)1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为yax(a0，且a1)，故y2x1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x211，又a1，ax21a.故yax21(a1)的值域是a，)，(4)错.【教材衍化】2.(必修1P56例6改编)若函数f(x)ax(a0，且a1)的图象经过，则f(1)()A.1 B.2 C. D.3【答案】C【解析】依题意可知a2，解得a，所以f(x)，所以f(1).3.(
4、必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为()A.ya(1p%)x(0xm)B.ya(1p%)x(0xm，xN)C.ya(1xp%)(0x0，将表示成分数指数幂，其结果是()A.a B.a C.a D.a【答案】C【解析】由题意得a2a.5.(2017北京卷)已知函数f(x)3x，则f(x)()A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是减函数【答案】B【解析】函数f(x)的定义域为R，f(x)3x3xf(x)，函数f(x)是奇函
5、数.又y3x在R上是增函数，函数y在R上是减函数，函数f(x)3x在R上是增函数.6.(2019潍坊检测)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.acbC.bac D.bca【答案】C【解析】根据指数函数y0.6x在R上单调递减可得0.61.50.60.61，ba0，b0).【答案】见解析【解析】(1)原式111.(2)原式a1b12.【规律方法】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3
6、.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【训练1】 化简下列各式：(1)(0.064)2.50；(2)ab2(3ab1) (4ab3).【答案】见解析【解析】(1)原式1110.(2)原式ab3(4ab3)ab3(ab)ab.考点二指数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019镇海中学检测)不论a为何值，函数y(a1)2x恒过定点，则这个定点的坐标是()A. B.C. D.(2)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.【答案】(1)C(2)(0，2)【解析】(1)y(a1)2xa2x，令2x0，得x1，故函数y(a1)2x恒过定点.(2)在同一平
7、面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示.当0b1，b1，b0C.0a0D.0a1，b0(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_.【答案】(1)D(2)1，1【解析】(1)由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b1.73 B.0.610.62C.0.80.11.250.2 D.1.70.30.93.1(2)设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是_.【答案】(1)B(2)(3，1)【解析】(1)A中，函数y1.7x在R上是增函数，2.53
8、，1.72.51.73，错误；B中，y0.6x在R上是减函数，10.62，正确；C中，(0.8)11.25，问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.y1.25x在R上是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即0.80.11, 00.93.10.93.1，错误.(2)当a0时，原不等式化为71，则2a3，所以3a0.当a0时，则1，0a0，且a1)在区间1，1上的最大值是14，则a的值为_.【答案】3或【解析】令axt，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当a1时，因为x1，1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3(负值
9、舍去).当0a1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则M(a1)0.2与N的大小关系是()A.MN B.MNC.MN(2)函数f(x)3的单调递增区间为_，单调递减区间为_.(3)已知函数f(x)bax(其中a，b为常量，且a0，a1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).若不等式m0在x(，1上恒成立，则实数m的最大值为_.【答案】(1)D(2)4，)(，1(3)【解析】(1)因为f(x)x2a与g(x)ax(a1，且a2)在(0，)上具有不同的单调性.所以a2.因此M(a1)0.21，NN.(2)依题意知x25x40，解得x4或x1，令u，x(，14，)，所以当x(，1时，u是减
10、函数，当x4，)时，u是增函数.而31，所以由复合函数的单调性可知，f(x)3在区间(，1上是减函数，在区间4，)上是增函数.(3)把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)bax，得结合a0，且a1，解得所以f(x)32x.要使m在区间(，1上恒成立，只需保证函数y在区间(，1上的最小值不小于m即可.因为函数y在区间(，1上为减函数，所以当x1时，y有最小值.所以只需m即可.所以m的最大值为.【反思与感悟】1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较.3.指数函
11、数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0a1两种情况分类讨论.【易错防范】1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a2xbaxc0或a2xbaxc0(0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019北京延庆区模拟)下列函数中，与函数y2x2x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是()A.ysin x B.yx3C.y D.ylog2x【答案】B【解析】y2x2x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.而y
12、sin x不是单调递增函数，不符合题意；y是非奇非偶函数，不符合题意；ylog2x的定义域是(0，)，不符合题意；yx3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数符合题意.2.函数yax(a0，且a1)的图象可能是()【答案】D【解析】若a1时，yax在R上是增函数，当x0时，y1(0，1)，A，B不满足.若0a1时，yax在R上是减函数，当x0时，y10，a1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()A.y B.y|x2|C.y2x1 D.ylog2(2x)【答案】A【解析】f(x)过定点A(1，1)，将点A(1，1)代入四个选项，y的图象不过点A(1，1).4.设x0，且1bxax，则
13、()A.0ba1 B.0ab1 C.1ba D.1a0时，11.又x0时，bx0时，1.1，ab，1b0，且a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A.(，2 B.2，)C.2，) D.(，2【答案】B【解析】由f(1)，得a2，解得a或a(舍去)，即f(x).由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，所以f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减.二、填空题6.化简_.【答案】【解析】原式ab.7.函数y1在区间3，2上的值域是_.【答案】【解析】令t，因为x3，2，所以t，故yt2t1.当t时，ymin；当t8时，ymax57.故所求函数的值域为.8.设偶函数
14、g(x)a|xb|在(0，)上单调递增，则g(a)与g(b1)的大小关系是_.【答案】g(a)g(b1)【解析】由于g(x)a|xb|是偶函数，知b0，又g(x)a|x|在(0，)上单调递增，得a1.则g(b1)g(1)g(1)，故g(a)g(1)g(b1).三、解答题9.已知函数f(x)，a为常数，且函数的图象过点(1，2).(1)求a的值；(2)若g(x)4x2，且g(x)f(x)，求满足条件的x的值.【答案】见解析【解析】(1)由已知得2，解得a1.(2)由(1)知f(x)，又g(x)f(x)，则4x2，20，令t，则t0，t2t20，即(t2)(t1)0，又t0，故t2，即2，解得x1
15、，故满足条件的x的值为1.10.(2019长沙一中月考)已知函数f(x)为奇函数.(1)求a的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明.【答案】见解析【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R；所以f(0)0，所以a1.(2)由(1)知f(x)1，函数f(x)在定义域R上单调递增.理由：设x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x2，所以3x13x2，所以3x13x20，所以f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在定义域R上单调递增.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019天津河西区质检)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%
16、，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数yf(x)的图象大致为()【答案】D【解析】设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z，则zb(110.4%)x，故y(110.4%)x，其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D.12.(2019衡阳检测)当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是()A.(2，1) B.(4，3) C.(3，4) D.(1，2)【答案】D【解析】原不等式变形为m2m，又y在(，1上是减函数，知2.故原不等式恒成立等价于m2m2，解得1m0，函数f(x)的图象经过点P，Q.若2pq36pq，则a_.【答案】6【解析】因为f(x)，
17、且其图象经过点P，Q，则f(p)，即，f(q)，即6，得1，则2pqa2pq36pq，所以a236，解得a6，因为a0，所以a6.14.已知定义在R上的函数f(x)2x，(1)若f(x)，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0对于t1，2恒成立，求实数m的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)当x0，所以2x2，所以x1.(2)当t1，2时，2tm0，即m(22t1)(24t1)，因为22t10，所以m(22t1)，因为t1，2，所以(22t1)17，5，故实数m的取值范围是5，).【新高考创新预测】15.(多填题)若f(x)是R上的奇函数，则实数a的值为_，f(x)的值域为_.【答案】1(1，1)【解析】函数f(x)是R上的奇函数，f(0)0，0，解得a1，f(x)1.2x11，02，111，f(x)的值域为(1，1).16
