1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点十八 圆锥曲线综合一、弦长问题例1：过双曲线的右焦点作倾斜角为的弦，求：（1）弦的中点到点的距离；（2）弦的长【答案】（1）；（2）【解析】（1）双曲线的右焦点，直线的方程为联立，得设，则，设弦的中点的坐标为，则，所以（2）由（1），知二、定值问题例2：设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于（1）求抛物线的方程；（2）已知经过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，证明：为定值【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于点到直线的距离，由抛物线的定义得，即故抛物线的方程为（2）易知焦点的坐标为，若直线
2、的斜率不存在，即直线方程为，此时令，；若直线的斜率存在，设直线方程为，设，由抛物线的定义知，由，得，根据韦达定理得，所以，综上可得，为定值三、最值问题例3：已知两定点，为坐标原点，动点满足：直线，的斜率之积为（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与（1）中曲线交于，两点，求的面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）设点的坐标为，则，所以，化简得，所以所求轨迹方程是（2）设直线的方程为，联立曲线的方程得，设，由韦达定理得，所以的面积，设，则，上式当即时取等号，所以的面积的最大值是四、存在性问题例4：已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线
3、与椭圆交于，两点，满足，且原点到直线的距离为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）设椭圆的方程为，则左焦点为，在直角三角形中，可求，又，故椭圆的方程为（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，由原点到的距离为，得联立方程，得则设，则，则，解得当斜率不存在时，的方程为，易求得综上，不存在符合条件的直线对点增分集训一、选择题1已知经过椭圆的右焦点且与轴正方向成的直线与椭圆交于，两点，则（ ）ABCD或【答案】C【解析】由已知条件可知直线为，由，得，2已知双曲线与直线交于，两点，过原点与线段中点所在直线的斜率为，则的值是（ ）ABCD【答案】B【解析】
4、设，中点坐标，代入双曲线方程中，得到，两式相减得到，结合，且，代入上面式子，得到3等边三角形的三个顶点都在抛物线上，为坐标原点，则这个三角形的边长为（ ）ABCD【答案】C【解析】抛物线关于轴对称，若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则，点关于轴对称，直线倾斜角为，斜率为，直线方程为由，得，这个正三角形的边长为4若过椭圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，因为椭圆与圆关于轴对称，并且圆的圆心坐标为椭圆右焦点，所以过椭圆上一点作圆的两条切线，要使的最大，则取最小，所以为右端点因为，所以5已知双曲线，是双曲线上不同于顶点的动点，
5、经过分别作曲线的两条渐近线的平行线，与两条渐近线围成平行四边形，则四边形的面积是（ ）ABCD【答案】B【解析】设，则，设和渐近线平行，和渐近线平行，由，且和渐近线的距离为，由和，求得，可得，四边形的面积是6是抛物线上一定点，是上异于的两点，直线，的斜率，满足(为常数，)，且直线的斜率存在，则直线过定点（ ）ABCD【答案】C【解析】设，则直线的方程为，整理得，又，化简得，则则直线的方程为，直线过定点二、填空题7已知抛物线：的焦点也是椭圆：的一个焦点，点，分别为曲线，上，则的最小值为 【答案】【解析】由点在椭圆上，且，所以，则焦点的坐标为又由抛物线方程得，所以，则，由抛物线定义知等于点到其准线
6、的距离过点作准线的垂线，则垂直与抛物线的交点即为所求点，所以，其最小值为8若椭圆与双曲线在第一象限内有交点，且椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别是，点是椭圆上任意一点，则面积的最大值是_【答案】【解析】依题意有，设，由余弦定理得，解得故对与椭圆来说，椭圆方程为当为短轴上顶点时，面积取得最大值为三、解答题9已知椭圆过点，离心率是（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，求直线与坐标轴围成的三角形的面积【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意可知，解得，椭圆的方程为（2）设、，代入椭圆方程得，两式相减得，由中点坐标公式得，可得直线的方程为令，可得；令，可得，则直线与
7、坐标轴围成的三角形面积为10已知抛物线的焦点为，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点（1）求抛物线的方程；（2）若直线、的斜率之积为，求证：直线过定点【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以，所以抛物线的方程为（2）证明：当直线的斜率不存在时，设，因为直线，的斜率之积为，所以，化简得，所以，此时直线的方程为；当直线的斜率存在时，设其方程为，联立得，化简得，根据根与系数的关系得，因为直线，的斜率之积为，所以，即，即，解得（舍去）或，所以，即，所以，即综上所述，直线过轴上一定点11如图，已知，是椭圆与双曲线的公共顶点，且，两曲线离心率之积为为上除顶点外一动点，
8、交椭圆于点，点与点关于轴对称（1）求椭圆的方程；（2）证明：存在实数，使【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题可知，两曲线的离心率之积为，则，解得，所以椭圆的方程为（2）设，直线的斜率为，双曲线方程为，所以，联立，得，所以，即，所以，则，所以，三点共线，即存在实数，使12已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的动点，当时，的面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以在中，由余弦定理，得，得，得，即，所以，所以的面积，所以，即，又，由，解得，所以椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，联立得，得，由，得，根据韦达定理有，由弦长公式，得又点到直线的距离为，所以令，则，所以，当且仅当，即，时取等号，所以面积的最大值为14
