2020届高三精准培优专练十八 圆锥曲线综合(文) 学生版

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1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点十八 圆锥曲线综合一、弦长问题例1:过双曲线的右焦点作倾斜角为的弦,求:(1)弦的中点到点的距离;(2)弦的长二、定值问题例2:设抛物线的焦点为,抛物线上的点到轴的距离等于(1)求抛物线的方程;(2)已知经过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,证明:为定值三、最值问题例3:已知两定点,为坐标原点,动点满足:直线,的斜率之积为(1)求动点的轨迹的方程;(2)设过点的直线与(1)中曲线交于,两点,求的面积的最大值四、存在性问题例4:已知中心在坐标原点的椭圆经过点,且点为其右焦点(1)求椭圆的方程;(2)是否存在直线与椭圆交于,两点,满足,且原点到

2、直线的距离为?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由对点增分集训一、选择题1已知经过椭圆的右焦点且与轴正方向成的直线与椭圆交于,两点,则( )ABCD或2已知双曲线与直线交于,两点,过原点与线段中点所在直线的斜率为,则的值是( )ABCD3等边三角形的三个顶点都在抛物线上,为坐标原点,则这个三角形的边长为( )ABCD4若过椭圆上一点作圆的两条切线,切点分别为,则的最大值为( )ABCD5已知双曲线,是双曲线上不同于顶点的动点,经过分别作曲线的两条渐近线的平行线,与两条渐近线围成平行四边形,则四边形的面积是( )ABCD6是抛物线上一定点,是上异于的两点,直线,的斜率,满足(为常数,),

3、且直线的斜率存在,则直线过定点( )ABCD二、填空题7已知抛物线:的焦点也是椭圆:的一个焦点,点,分别为曲线,上,则的最小值为 8若椭圆与双曲线在第一象限内有交点,且椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别是,点是椭圆上任意一点,则面积的最大值是_三、解答题9已知椭圆过点,离心率是(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线与椭圆交于、两点,线段的中点为,求直线与坐标轴围成的三角形的面积10已知抛物线的焦点为,为坐标原点,、是抛物线上异于的两点(1)求抛物线的方程;(2)若直线、的斜率之积为,求证:直线过定点11如图,已知,是椭圆与双曲线的公共顶点,且,两曲线离心率之积为为上除顶点外一动点,交椭圆于点

4、,点与点关于轴对称(1)求椭圆的方程;(2)证明:存在实数,使12已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,是椭圆上的动点,当时,的面积为(1)求椭圆的标准方程;(2)若过点的直线交椭圆于,两点,求面积的最大值培优点十八 圆锥曲线综合 答案例1:【答案】(1);(2)【解析】(1)双曲线的右焦点,直线的方程为联立,得设,则,设弦的中点的坐标为,则,所以(2)由(1),知例2:【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)由题意可得,抛物线上点到焦点的距离等于点到直线的距离,由抛物线的定义得,即故抛物线的方程为(2)易知焦点的坐标为,若直线的斜率不存在,即直线方程为,此时令,;若直线的斜率存在,设直

5、线方程为,设,由抛物线的定义知,由,得,根据韦达定理得,所以,综上可得,为定值例3:【答案】(1);(2)【解析】(1)设点的坐标为,则,所以,化简得,所以所求轨迹方程是(2)设直线的方程为,联立曲线的方程得,设,由韦达定理得,所以的面积,设,则,上式当即时取等号,所以的面积的最大值是例4:【答案】(1);(2)见解析【解析】(1)设椭圆的方程为,则左焦点为,在直角三角形中,可求,又,故椭圆的方程为(2)假设存在符合题意的直线,其方程为,由原点到的距离为,得联立方程,得则设,则,则,解得当斜率不存在时,的方程为,易求得综上,不存在符合条件的直线一、选择题1【答案】C【解析】由已知条件可知直线为

6、,由,得,2【答案】B【解析】设,中点坐标,代入双曲线方程中,得到,两式相减得到,结合,且,代入上面式子,得到3【答案】C【解析】抛物线关于轴对称,若正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线上,则,点关于轴对称,直线倾斜角为,斜率为,直线方程为由,得,这个正三角形的边长为4【答案】B【解析】如图,因为椭圆与圆关于轴对称,并且圆的圆心坐标为椭圆右焦点,所以过椭圆上一点作圆的两条切线,要使的最大,则取最小,所以为右端点因为,所以5【答案】B【解析】设,则,设和渐近线平行,和渐近线平行,由,且和渐近线的距离为,由和,求得,可得,四边形的面积是6【答案】C【解析】设,则直线的方程为,整理得

7、,又,化简得,则则直线的方程为,直线过定点二、填空题7【答案】【解析】由点在椭圆上,且,所以,则焦点的坐标为又由抛物线方程得,所以,则,由抛物线定义知等于点到其准线的距离过点作准线的垂线,则垂直与抛物线的交点即为所求点,所以,其最小值为8【答案】【解析】依题意有,设,由余弦定理得,解得故对与椭圆来说,椭圆方程为当为短轴上顶点时,面积取得最大值为三、解答题9【答案】(1);(2)【解析】(1)依题意可知,解得,椭圆的方程为(2)设、,代入椭圆方程得,两式相减得,由中点坐标公式得,可得直线的方程为令,可得;令,可得,则直线与坐标轴围成的三角形面积为10【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)

8、因为抛物线的焦点坐标为,所以,所以,所以抛物线的方程为(2)证明:当直线的斜率不存在时,设,因为直线,的斜率之积为,所以,化简得,所以,此时直线的方程为;当直线的斜率存在时,设其方程为,联立得,化简得,根据根与系数的关系得,因为直线,的斜率之积为,所以,即,即,解得(舍去)或,所以,即,所以,即综上所述,直线过轴上一定点11【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)由题可知,两曲线的离心率之积为,则,解得,所以椭圆的方程为(2)设,直线的斜率为,双曲线方程为,所以,联立,得,所以,即,所以,则,所以,三点共线,即存在实数,使12【答案】(1);(2)【解析】(1)设椭圆的半焦距为,因为椭圆的离心率为,所以在中,由余弦定理,得,得,得,即,所以,所以的面积,所以,即,又,由,解得,所以椭圆的标准方程为(2)设直线的方程为,联立得,得,由,得,根据韦达定理有,由弦长公式,得又点到直线的距离为,所以令,则,所以,当且仅当,即,时取等号,所以面积的最大值为19

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