1、【类型综述】图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错【方法揭秘】由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用类型一，已知“边角边” ，至少一边是动态的，求角的对边如图 1，已知点 A 的
2、坐标为(3, 4)，点 B 是 x轴正半轴上的一个动点，设 OBx，ABy，那么我们在直角三角形 ABH 中用勾股定理，就可以得到 y 关于 x 的函数关系式类型二，图形的翻折已知矩形 OABC 在坐标平面内如图 2 所示，AB5，点 O 沿直线 EF 翻折后，点 O的对应点 D 落在 AB 边上，设 ADx ，OE y，那么在直角三角形 AED 中用勾股定理就可以得到 y 关于 x的函数关系式图 1 图 2【典例分析】例 1 如图 1，在 RtABC 中，BAC90，B60，BC16cm，AD 是斜边 BC 上的高，垂足为D，BE1cm，点 M 从点 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的
3、速度运动，点 N 从点 E 出发，与点 M 同时同方向以相同的速度运动以 MN 为边在 BC 的上方作正方形 MNGH点 M 到达点 D 时停止运动，点 N 到达点 C时停止运动设运动时间为 t（s） （1）当 t 为何值时，点 G 刚好落在线段 AD 上？（2）设正方形 MNGH 与 RtABC 重叠部分的图形的面积为 S当重叠部分的图形是正方形时，求出 S 关于 t 的函数关系式并写出自变量 t 的取值范围；（3）设正方形 MNGH 的边 NG 所在直线与线段 AC 交于点 P，连结 DP，当 t 为何值时，CPD 是等腰三角形？图 1 思路点拨1用含 t 的式子把直线 BC 上的线段长都
4、表示出来2重叠部分的图形是正方形，临界时刻是点 H 落在 AB 上，和点 G 落在 AC 上3等腰三角形 CPD 不存在 DPDC 的情况，因为以 DC 为半径的圆 D 与线段 AC 只有一个交点满分解答（1）如图 2，当点 G 刚好落在线段 AD 上时，DN0而 DNBDBMMN4t13t ，所以 3t0解得 t3图 2 图 3由 AD ，得 解得 所以 4t 43(3)43tt63t63图 4 图 5（3）等腰三角形 CPD 存在两种情况：如图 6，当 PCPD 时，点 P 在 DC 的垂直平分线上，N 是 DC 的中点此时 t369 如图 7，当 CPCD12 时，在 RtCPN 中，由
5、 cos30 ，得 此时 t32CNP6315图 6 图 7考点伸展当点 G 落在 AC 上时，CGAG 的比值是多少呢？如图 5， cot30CNAD例 2 如图 1，曲线 y1 是抛物线的一部分，与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且表达式为（x3） ，曲线 y2 与曲线 y1 关于直线 x3 对称213()y（1）求 A、B 、C 三点的坐标和曲线 y2 的表达式；（2）过点 C 作 CD/x 轴交曲线 y1 于点 D，连结 AD，在曲线 y2 上有一点 M，使得四边形 ACDM 为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形） ， 请求出点
6、 M 的横坐标；（3）设直线 CM 与 轴交于点 N，试问在线段 MN 下方的曲线 y2 上是否存在一点 P，使PMN 的面积最x大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图 1思路点拨1由 A、C、D 的坐标可以得到ACD 是底角为 30的等腰三角形，于是可知直线 MN（直线 CN）与 y轴的夹角为 302过点 P 作 x 轴的垂线交 MN 于 E，那么PMN 分割为有公共底边 PE 的两个三角形，这两个三角形的高的和为定值满分解答y2 上因此只存在 MC 垂直平分 AD 的情况学% 科网图 2 图 3如图 2，如图 3，过点 A、M 分别作 x 轴的垂线，与直线 CD 分别交于点
7、 G、H，那么ADG CMH由于 tanADG ，所以ADC30因此 GD3MC设 M ，那么 2310(,+73)xx2103(+7)(xx整理，得 x213x 240解得 所以点 M 的横坐标为 1732设P ，E ，那么2310(,+73)m(,3)mPE 2)( 2183m 23173所以当 时，PE 取得最大值， PMN面积最大此时P m 137(,)2图4 图5考点伸展第（3）题也可以这样思考：如图5，由于MN是 定值，因此点P到MN的距离最大时，PMN的面积也最大过点P作MN的平行线，当这条直线与抛物线y 2只有一个交点时，两条平行线间的距离最大，也就是说方程组 只有一组解，即
8、0解得 23(10)xb， 13x例 3 如图 1，ABC 为等边三角形，边长为 a，点 F 在 BC 边上，DFAB，EFAC，垂足分别为 D、E（1 ）求证：BDFCEF ；（2 ）若 a4，设 BFm，四边形 ADFE 面积为 S，求出 S 与 m 之间的函数关系，并探究当 m 为何值时 S取得最大值；（3 ）已知 A、D、F、E 四点共圆，已知 tanED F ，求此圆的直径（用含 a 的式子表示） 32思路点拨1用割补法求四边形 ADFE 的面积比较简单2当 A、D、F、E 四点共圆时，由于EDFEAF，那么在 ACF 中，两角及夹边就是确定的，可以解这个三角形满分解答在 Rt CE
9、F 中，C60，CF4m，所以 ， 1(4)2CEm3(4)2FE所以 SCEF 12EF23()8在 Rt ECF 中，C60 ，所以 因此 ECx3EFC由 ACEAECa，得 2x xa所以 x 1a所以在 RtEAF 中，EF ，EA ，由勾股定理，得圆的直径 AF 3273a图 2 图 3 图 4考点伸展第（2）题也可以求ADF 与AEF 的面积和由于 ， ，所以 AD ，S ADF 1BDm32F142m3(8)m由于 ， ，所以 AE ，S AEF (4)CE()E2(16)因此 SS ADF S AEF 233(8)(16)m2334m例 4 如图 1，图 2，已知四边形 AB
10、CD 为正方形，在射线 AC 上有一动点 P，作 PEAD（或延长线）于E，作 PFDC（或延长线）于 F，作射线 BP 交 EF 于 G（1）在图 1 中，正方形 ABCD 的边长为 2，四边形 ABFE 的面积为 y，设 AP ，求 y 关于 的函数表达xx式；（2）GBEF 对于图 1，图 2 都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图 2 证明：FGCPFB图 1 图 2思路点拨1四边形 ABFE 可以用大正方形减去两个直角三角形得到2画直线 EP、FP ，把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形满分解答4 2()x2()x21+4图 3 图 4（2）如图 4，因为 tanEFP
11、 ，tanPBN ，且 PENP，PFNB ，所以PEFNPBEFP PBN又因为12，1PBN90，所以2EFP90所以 GBEF（3）如图 5，由于 GBEF ，BCF 90，所以 B、C、G、F 四点共圆所以FCGPBF，CGBCFB 又因为CGFCGB90，BFPCFB 90，所以 CGFBFP所以FGCPFB图 5 图 6 图 7考点伸展如图 6， 由于 tanEFPtanPBN， 所以EFPPBN又因为PBN190，所以EFP 190因此这种情况下，依然有 BGEF第（1）题还有更简便的割补办法：如图 7，连结 EN由于 S 四边形 NBFES ENF S BNF ，()22NFE
12、PMNFESAEN ，所以 yS 四边形 ABFES 四边形 NBFES AEN 214APx 1+4x例 5 已知抛物线 yx 2(2m1) xm 21 经过坐标原点，且当0 时，y 随 x 的增大而减小。（1）求抛物线的解析式，并写出 y 0 时，对应 x 的取值范围；（2）设点 A 是该抛物线上位于 x 轴下方的一个动点，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 D，再作ABx 轴于点 B， DCx 轴 于点 C. 当 BC1 时，直接写出矩形 ABCD 的周长；学& 科网设动点 A 的坐标为(a, b) ，将矩形 ABCD 的周长 L 表示为 a 的函数并写出自变量的取值范围，判断
13、周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点 A 的坐标；如果不存在，请说明理由思路点拨1先用含 a 的式子表示线段 AB、AD 的长，再把 L 表示为 a 的函数关系式2点 A 与点 D 关于抛物线的对称轴对称，根据对称性，点 A 的位置存在两个情况满分解答图 1 图 2 图 3（2）当 BC1 时，矩形 ABCD 的周长为 6。如图 2，抛物线 yx 23x 的对称轴为直线 ，如果点 A 在对称轴的左侧，那么 。3x 32Dax解得 。所以 AD3 2a。Dxa当 xa 时，yx 23xa 23a。所以 AB3aa 2。所以 L矩形 ABCD 的周长2( ABAD )2(3
14、aa 232a) 。213()因此当 时，L 的最 大值为 。此时点 A 的坐标为 。115(,4如图 3，根据对称性，点 A 的坐标也可以是 。5(,)2考点伸展第（2）题的思路是：如图 2，抛物线的对称轴是直线 ，当 BC1 时，点 B 的坐标为(1, 0)，此时32x点 A 的横坐标为 1，可以求得 AB2。第（2）题中，L 随 a 变化的图像如图 4 所示。图 4【变式训练】1如图，在平面直角坐标系 xy中，已知 A， 两点的坐标分别 为 4,0， ,， C,0m是线段A上一点（与 ， 点不重合） ，抛物线 1L:21yaxbc（ a）经过点 A， ，顶点为 D，抛物线 2L:22ya
15、xbc（ 0a）经过点 C， ，顶点为 ， D， 的延长线相交于点 F（1）若 1， m，求抛物线 1， 2的解析式；（2）若 ， FA，求 的值；（3）是否存在这样的实数 a（ 0） ，无论 m取何值，直线 FA与 都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 a的两个不同的值；若不存在，请说明理由【答案】 （1）抛物线 L1的解析式 为 y= ，抛物线 L2的解析式为 y= （2）215x 213+xm=2 （3）存在【解析】来源:学.科.网 Z.X.X.K（3）根据前面的解答，直接写出即可.试题解析：（1）由题意得 21()04bc解得 132bc所以抛物线 L1的解析式为 y= 215x同理，
16、22()04+bc解得 23bc所以抛物线 L2的解析式为 y= 213+x（2）如图，过点 D 作 DGx 轴于点 G，过点 E 作 EHx 轴于点 H由题意得 12064bcm解得 14bcAFBF，DGx 轴，EHx 轴AFB=AGD=EHB=90ADG=ABF=90-BAFADGEBH DGABHE 22(4)+=()m解得 m=2 3（3）存在，例如：a=- ，a=- .（答案不唯一）14考点：二次函数的综合来源:Z#xx#k.Com2(2017 江苏宿迁第 26 题)（本题满分 10 分）如图，在矩形纸片 中，已知 ， ，点 在边 上移动，连接 ，将多边形CDA1C3CDA沿直线
17、折叠，得到多边形 ，点 、 的对应点分别为点 、 （1）当 恰好经过点 时（如图 1） ，求线段 的长；（2）若 分别交边 、 于点 、 ，且 （如图 2） ，求 的面积；FG.5AFG（3）在点 从点 移动到点 的过程中，求点 运动的路径长CDC【答案】(1) ；（2） ；（3） .6CE562DFGSA2【解析】试题解析：学￥科网(1)如图 1，由折叠得， , , , ,90B1ABC=3EC由勾股定理得， ,22 (3)DA所以 ，3C因为 ,所以 ,90AE90OBEC又因 ,所以ODAD又 ，所以B所以 ,即 ，所以 ACE123CE62(2)如图 2-1，连接 AC，因为 BAC=
18、 ，所以BAC=60 ，231BCA(3) 如图 2-2，连接 A ，则 ,C2所以点 的运动路径是以点 A 为圆心，以 AC 为半径的圆弧；当点 E 运动到点 D 时，点 恰好在 CD 的 C延长线上，此时 ,60所以点的运动路径长是 .21833如图 1，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，抛物线 与 轴正半轴交于点 ，O23831yxxA与 轴交于点 ，连接 ，点 分别是 的中点. ，且 始终保持边yBA,MN,ABRtCDEtABOCDE经过点 ，边 经过点 ，边 与 轴交于点 ，边 与 轴交于点 .EDMCDEyHyG（1）填空， 的长是 ， 的度数是 度O（2）如图 2，当 ，连接/
19、DEABHN求证：四边形 是平行四边形；M判断点 是否在抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图 3，当边 经过点 时（此时点 与点 重合） ，过点 作 ，交 延长线上于点 ，COGD/OBAO延长 到点 ，使 ，过点 作 ，在 上取一点 ，使得 （若 在直EDKDNK/IBKIP45K,P线 的同侧） ，连接 ，请直接写出的 长.PP【答案】(1)8，30；（2）详见解析；点 D 在该抛物线的对称轴上，理由详见解析；（3）12 .3【解析】来源:学科网 ZXXK试题分析：（1）根据抛物线的解析式 求得点 A 的坐标为（8，0） ，点 B 的坐标为2831yx（0，线 ，所以点 D 在该抛物线
20、的对称轴上；2x试题解析：(1)8，30；（2）证明： ，/EAB ,OMHA又OM=AM,OH=BH,又BN=AN /HNAM四边形 AMHN 是平行四边形点 D 在该抛物线的对称轴上，理由如下：如图，过点 D 作 DR y 轴于点 R， /HNAONHB=AOB=90， ，/EBDHB=OBA=30，又 RtCDtAOHDG=OBA=30，HDG=DHB=30，HGN=2HDG=60，HNG=90-HGN=90-60=30，HDN=HND，点 D 在该抛物线的对称轴上 .(3)12 .3考点：二次函数综合题.4(2017 山东日照第 22 题)如图所示，在平面直角坐标系中，C 经过坐标原点
21、 O，且与 x 轴，y 轴分别相交于 M（4，0） ，N（0，3）两点已知抛物线开口向上，与C 交于 N，H，P 三点，P 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点 C 且垂直 x 轴于点 D（1）求线段 CD 的长及顶点 P 的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交 x 轴于 A，B 两点，在抛物线上是否存在点 Q，使得 S 四边形 OPMN=8SQAB ，且QABOBN 成立？若存在，请求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) CD= ， P（2，1 ） ；(2) y=x24x+3；(3) 存在满足条件的点 Q，其坐标为（2，1） 3试题解析：（1 ）如图，连接 OC
22、，M （4，0） ，N（0，3） ，OM=4 ，ON=3，MN=5，OC= MN= ，125CD 为抛物线对称轴，OD=MD=2，在 Rt OCD 中，由勾股定理可得 CD= = ，225()OCD3PD=PC CD= =1，523P（2， 1） ；（2 ） 抛物线的顶点为 P（2 ，1） ，设抛物线的函数表达式为 y=a（x2 ） 21，抛物线过 N（0，3） ，学 科网3=a （02） 21，解得 a=1，设 Q 点纵坐标为 y，则 2|y|=1，解得 y=1 或 y=1，1当 y=1 时，则QAB 为钝角三角形，而OBN 为直角三角形，不合题意，舍去，当 y=1 时，可知 P 点即为所求
23、的 Q 点，D 为 AB 的中点，AD=BD=QD，QAB 为等腰直角三角形，ON=OB=3，OBN 为等腰直角三角形，QAB OBN，综上可知存在满足条件的点 Q，其坐标为（2 ，1） 考点：二次函数综合题5(2017 山东滨州第 24 题)（本小题满分 14 分）如图，直线 ykxb（k、b 为常数）分别与 x 轴、y 轴交于点 A(4，0) 、B(0，3)，抛物线yx 22x 1 与 y 轴交于点 C（1）求直线 ykxb 的解析式；（2）若点 P(x，y) 是抛物线 yx 22x 1 上的任意一点，设点 P 到直线 AB 的距离为 d，求 d 关于x 的函数解析式，并求 d 取最小值时
24、点 P 的坐标； （3）若点 E 在抛物线 yx 22x1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB 上移动，求 CEEF 的最小值 来源:Z#xx#k.Com【答案 】(1) y 34x3；（2）P( 58， 1964)；（3） 145【解析】试题解析：解：（1）ykxb 经过 A(4，0) 、B (0，3), 403kb，解得 k 3，b3 y 4x3（2）过点 P 作 PHAB 于点 H，过点 H 作 x 轴的平行线 MN，分别过点 A、P 作 MN 的垂线段，垂足分别为 M、N整理得： 2485dx，所以当 x 58，即 P( ， 1964)（3）作点 C 关于直线 x1 的对称点 C，过
25、点 C作 CFAB 于 F过点 F 作 JKx 轴，分别过点A、C 作 AJJK 于点 J，C KJK 于点 K则 C(2，1)设 F(m， 34m3)CF AB，AFJCFK90，CKJK，CC FK90CAFJ，JK90，AFJ FCK AF，34422m，解得 m 825或 4（不符合题意）F( 825， 1)，C (2，1) ， FC 145CEEF 的最小值 CE 6 （2017 湖南长沙第 26 题）如图，抛物线 21648(0)ymx与 x 轴交于 A,B 两点(点 B 在点A 左侧） ，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 OD、BD、AC、
26、AD，延长AD 交 y 轴于点 E。（1）若 O为等腰直角三角形，求 的值；（2）若对任意 0m， ,两点总关于原点对称，求点 D的坐标（用含 m的式子表示） ；（3）当点 D运动到某一位置时，恰好使得 OAB，且点 为线段 AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点 ),(0yxP总有 503124610ymn成立，求实数 n的最小值【答案】 （1）m= （2）点 D 的坐标为（8，-16m） （3）4196【解析】来源:Zxxk.Com物线解析式求出 m= ，得到抛物线的解析式为 ，最后根据 P 为抛物线上任意一363(4)126yx点，从而必有 ，然后根据二次函数的最值问题可求解. 08ym
27、= ，令 t=-4 m -12 -50=-2 -12 -50362030y2030y由题意可知只要 n+ 即可16t最 大 值由于 t=-2 -12 -50=-2（ +3 ） 2+420y300y3又由于 8 =-2（ +3 ） 2+4= t最 大 值 3103n+ ，解得 n 的最小值为 16096即点 D 的坐标为（8，-16m）学 %科$网（3）当ODB=OAD 时，又因为 DOB= AOD，所以可得 ODB OAD ，则OD2=OAOB=x1x2=48，解得 OD=4 ，3由于点 D 为 RtOAE 的斜边 AE 的中点，所以 AE=8 3又因为 OA=12，所以 OE=4 ，OAE=
28、30 从而求得点 D 的坐标为（6， -2 ）3将点 D 的坐标代入抛物线解析式，得 m= 6所以抛物线的解析式为 3(4)12yx因为 P 为抛物线上任意一点，从而必有 083ym= ，令 t=-4 m -12 -50=-2 -12 -503620y3020y30来源:学科网考点：二次函数的综合7(2017 河南第 23 题)如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线23yxc(3,0)AyB经过点 ， .243yxbcAB（1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为 x 轴上一个动点，过点 M 垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于点 P、N，点 在线段
29、 上运动，若以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，求点 的坐标；OABPNAPM点 在 轴上自由运动，若三个点 ， ， 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外） ，则称 ， ， 三点为“共谐点”.请直接写出使得 ， ， 三点成为“共谐点”的 的值.PNNm【答案 】 （1）B（0，2） ， ；（2）点 M 的坐标为（ ，0）或 M（ ，0） ；24103yx1852m=-1 或 m= 或 m= .41【解析】试题解析：（1）直线 与 轴交于点 ，23yxc(3,0)A ，解得 c=20B（0，2） ，抛物线 经过点 ，243yxbc(3,0)A ，b= 201抛物线的解析式为 ；23y
30、x（2） 轴，M （m，0） ，N( )Nx2410,3m有（1）知直线 AB 的解析式为 ，OA=3，OB=2yx在APM 中和BPN 中，APM= BPN, AMP=90，若使APM 中和BPN 相似，则必须NBP=90或BNP =90，分两种情况讨论如下：（I）当NBP=90时，过点 N 作 NC 轴于点 C，y则NBC+BNC=90，NC=m，BC= 2241041033mmM（ ，0） ；52综上，点 M 的坐标为（ ，0）或 M（ ，0） ；1852m=-1 或 m= 或 m= .42考点：二次函数综合题.8 （2017 湖南株洲第 26 题）已知二次函数 y=x2+bx+c+1，
31、当 b=1 时，求这个二次函数的对称轴的方程； 若 c= b22b，问：b 为何值时，二次函数的图象与 x 轴相切？14若二次函数的图象与 x 轴交于点 A（x 1，0） ，B （x 2，0） ，且 x1x 2，与 y 轴的正半轴交于点M，以 AB 为直径的半圆恰好过点 M，二次函数的对称轴 l 与 x 轴、直线 BM、直线 AM 分别交于点 D、E、F，且满足 ，求二次函数的表达式3DEF【答案】.二次函数的对称轴的方程为 x= ； .b 为 2+ 或 2 时，二次函数的图象12与 x 轴相切；. 二次函数的表达式为 y=x2+ x+1学%科网3【解析】4x1，由 x1x2=（c+1）= 1
32、，得出方程组 ，解方程组求出 b 的值即可124x试题解析：二次函数 y=x2+bx+c+1 的对称轴为 x= ，当 b=1 时， = ，b21当 b=1 时，求这个二次函数的对称轴的方程为 x= 12二次函数 y=x2+bx+c+1 的顶点坐标为（ ， ） ，b4()cb二次函数的图象与 x 轴相切且 c= b22b， ，解得：b=2+ 或 b=2 ，224(1)0cb2b 为 2+ 或 2 时，二次函数的图象与 x 轴相切AD=BD，DF=4DE，DFOM，BDEBOM，AOMADF， ，DE= ，DF= ， 4，OB=4OA，即 x2=4x1，,DEBOMAFDBOADBOx 1x2=（c +1）=1， ，解得： ，b= +2= ，124x12x123二次函数的表达式为 y=x2+ x+13考点：二次函数综合题；二次函数的 性质
