1、【类型综述】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证
2、假设是否正确【方法揭秘】解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：如图 1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式如图 2，图 3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法图 1 图 2 图 3计算面积长用到的策略还有：如图 4，同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等如图 5，同底三角形的面积比等于高的比如图 6，同高三角形的面积比等于底的比图 4 图 5 图 6【典例分析】例 1 如图，抛物线 yax 2bx c（a0）与 x 轴交于 A(1, 0)，B(4, 0)两点，与 y 轴交于
3、点 C(0, 2)点 M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上过点 M 作 x 轴的平行线交 y轴于点 Q，交抛物线于另一点 E，直线 BM 交 y 轴于点 F（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当 SMFQ S MEB 13 时，求点 M 的坐标思路点拨1设交点式求抛物线的解析式比较简便2把MFQ 和MEB 的底边分别看作 MQ 和 ME，分别求两个三角形高的比，底边的比（用含 m 的式子表示） ，于是得到关于 m 的方程3方程有两个解，慎重取舍解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个方程，得到两个符合条件的解满分解答（1）因为抛物线与 x 轴交
4、于 A(1, 0)，B(4, 0)两点，设 ya(x1)(x4) 代入点 C(0, 2)，得 24a解得 所以12223135()4()8yx顶点坐标为 35()28，考点伸展第（2）题 SMFQ S MEB 13，何需点 M 一定要在抛物线上？从上面的解题过程可以看到，MFQ 与MEB 的高的比 与 n 无关，两条底边的比=4FQmN也与 n 无关=32MQmE如图 3，因此只要点 E 与点 M 关于直线 x 对称，点 M 在直线的左侧，且点 M 不在坐标轴上，就32存在 SMFQ S MEB 13，点 M 的横坐标为 1（如图 3）或12（如图 4） 图 3 图 4例 2 如图，已知抛物线
5、 （b、c 是常数，且 c0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点21yxB 的左侧） ，与 y 轴的负半轴交于点 C，点 A 的坐标为( 1,0) （1）b_，点 B 的横坐标为_（上述结果均用含 c 的代数式表示） ；（2）连结 BC，过点 A 作直线 AE/BC，与抛物线交于点 E点 D 是 x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、 E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点，连结 PB、PC设PBC 的面积为S求 S 的取值范围；若PBC 的面积 S 为正整数，则这样的PBC 共有_个思路点拨1用 c 表示 b 以
6、后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现 OB2OC2当 C、D、E 三点共线时，EHACOB，EHDCOD 3求PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在 BC 上方或下方4求得了 S 的取值范围，然后罗列 P 从 A 经过 C 运动到 B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数注意排除点 A、C、B 三个时刻的值满分解答（3）当 P 在 BC 下方时，过点 P 作 x 轴的垂线交 BC 于 F直线 BC 的解析式为 12y考点伸展点 P 沿抛物线从 A 经过 C 到达 B 的过程中，PBC 的面积为整数，依次为（5） ，4，3，2，1， （0） ，1，2，3，4，3，2，1， （0）
7、 当 P 在 BC 下方，S4 时，点 P 在 BC 的中点的正下方，F 是 BC 的中点学科#网例 3 如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 yax 2bx3 交于 A、B 两点，点 A 在 x12yx轴上，点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点（不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C，作 PDAB 于点 D（1）求 a、b 及 sinACP 的值；（2）设点 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；连结 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的 m 的值，使
8、这两个三角形的面积比为 910？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由思路点拨1第（1）题由于 CP/y 轴，把 ACP 转化为它的同位角2第（2）题中，PDPCsinACP，第（1）题已经做好了铺垫3PCD 与PCB 是同底边 PC 的两个三角形，面积比等于对应高 DN 与 BM 的比4两个三角形的面积比为 910，要分两种情况讨论满分解答（1）设直线 与 y 轴交于点 E，那么 A(2,0) ，B(4,3) ，E(0,1)12yx在 Rt AEO 中，OA2，OE1，所以 所以 525sinO因为 PC/EO，所以ACP AEO因此 siCP将 A(2,0) 、B(4,3)分别代
9、入 yax 2bx3，得 4230,16.ab解得 ， 12ab考点伸展第（3）题的思路是：PCD 与PCB 是同底边 PC 的两个三角形，面积比等于对应高 DN 与 BM 的比而 ，2511coscos(4)(2)45DNPDACPmmBM4m当 SPCD S PCB 910 时， 解得 19(2)4()0当 SPCD S PCB 109 时， 解得 15329例 4 如图，已 知 二 次 函 数 的 图 象 过 点 O(0,0)、 A(4， 0)、 B( )， M 是 OA 的 中 点 2,（1）求此二次函数的解析式；（2）设 P 是 抛 物 线 上 的 一 点 ， 过 P 作 x 轴 的
10、 平 行 线 与 抛 物 线 交 于 另 一 点 Q， 要 使 四 边 形 PQAM 是 菱 形 ，求 点 P 的 坐 标 ；（3）将抛物线在 轴下方的部分沿 轴向上翻折，得曲线 OBA（B为 B 关于 x 轴的对称点） ，在原抛x物线 x 轴的上方 部 分 取 一 点 C， 连 结 CM， CM 与 翻 折 后 的 曲 线 OBA 交 于 点 D， 若 CDA 的 面 积 是 MDA 面积 的 2 倍 ， 这 样 的 点 C 是 否 存 在 ？ 若 存 在 求 出 点 C 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 思路点拨1设交点式或顶点式求抛物线的解析式都比较简便2先确定四边
11、形 PQAM 是平行四边形，再验证它是菱形3把 CDA 与 MDA 的 面 积 比 ， 转 化 为 MCA 与 MDA 的 面 积 比 ，进而转化为点 C 与点 D 的纵坐标的比满分解答（3）如图 3，作 CEx 轴于 E，作 DFx 轴于 F我们把面积进行两次转换：如 果 CDA 的 面 积 是 MDA 面 积 的 2 倍 ， 那 么 MCA 的 面 积 是 MDA 面 积 的 3 倍 而 MCA 与 MDA 是 同 底 三 角 形 ， 所 以 高 的 比 CE DF 3 1， 即 yCy D31因此 MEMF31设 MFm ，那么 ME3m原抛物线的解析式为 ，所以翻折后的抛物线的解析式为
12、 3(4)yx (4)x所以 D ，C (2,()2(2,()234)3根 据 yCy D31，列方程 3()4)(mm整 理 ， 得 3m2 4 解 得 所 以 232所以点 C 的坐标为 （ 如 图 3） ， 或 （ 如 图 4） 8(3,)83(,)图 2 图 3 图 4考点伸展第 （ 1） 题 可 以 设 抛 物 线 的 顶 点 式 ：由 点 O(0,0), A(4， 0)， B( )的 坐 标 ， 可 知 点 B 是 抛 物 线 的 顶 点 432,可 设 ， 代 入 点 O(0,0)， 得 2yax3a例 5 如图，直线 l 经过点 A(1，0)，且与双曲线 (x0) 交于点 B(
13、2，1)过点 (p1)作my ,1)Px 轴的平行线分别交曲线 (x0) 和 (x0)于 M、N 两点my（1）求 m 的值及直线 l 的解析式；（2）若点 P 在直线 y2 上，求证：PMB PNA ；（3）是否存在实数 p，使得 SAMN 4S AMP ？若存在，请求出所有满足条件的 p 的值；若不存在，请说明理由思路点拨1第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中2第（3）题把 SAMN 4S AMP 转化为 MN4MP，按照点 M 与线段 NP 的位置关系分两种情况讨论满分解答由 P(3，2) 、N( 1，2)、A(1，0) 三点的位置关系，可知PNA 为等腰直角三角形所以PMB PN
14、A图 2 图 3 图 4考点伸展在本题情景下，AMN 能否成为直角三角形？情形一，如图 5，AMN90，此时点 M 的坐标为（1，2） ，点 P 的坐标为（3，2） 情形二，如图 6，MAN90，此时斜边 MN 上的中线等于斜边的一半不存在ANM90的情况图 5 图 6例 6 如图 1，在ABC 中，C90，A C3，BC4，CD 是斜边 AB 上的高，点 E 在斜边 AB 上，过点 E 作直线与ABC 的直角边相交于点 F，设 AEx，AEF 的面积为 y（1）求线段 AD 的长；（2）若 EFAB，当点 E 在斜边 AB 上移动时，求 y 与 x 的函数关系式（写出自变量 x 的取值范围）
15、 ；当 x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值（3）若点 F 在直角边 AC 上（点 F 与 A、C 不重合） ，点 E 在斜边 AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将 ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线 EF，求出 x 的值；若不存在直线 EF，请说明理由图 1 备用图思路点拨1第（1）题求得的 AD 的长，就是第（ 2）题分类讨论 x 的临界点2第（2）题要按照点 F 的位置分两种情况讨论学科#网3第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断 满分解答图 2 图 3 图 4(3)ABC 的周长等于 12，面积等于 6先假设 EF 平分AB
16、C 的周长，那么 AEx，AF6x ，x 的变化范围为 3x 5因此解方程 ，得 1142sin()()225AEFSAx2(6)1362因为 在 3x5 范围内（如图 4） ，因此存在直线 EF 将ABC 的周长和面积同时平分 162x考点伸展如果把第（3）题的条件“点 F 在直角边 AC 上”改为“点 F 在直角边 BC 上” ，那么就不存在直线 EF将ABC 的周长和面积同时平分先假设 EF 平分ABC 的周长，那么 AEx，BE5x ，BFx 1因此 2113sin()(45)220BEFSB解方程 整理，得 此方程无实数根3(45)30x24【变式训练】1.(2017 山东滨州第 1
17、2 题)在平面直角坐标系内，直线 AB 垂直于 x 轴于点 C（点 C 在原点的右侧），并分别与直线 yx 和双曲线 y 1x相交于点 A、B，且 ACBC4，则OAB 的面积为（ ）A2 33 或 2 3 B 21 或 1C2 3 D 1【答案】A.2.（2017 江苏苏州第 10 题）如图，在菱形 中， ， ， 是 的中点过点 作CDA60D8AFF，垂足为 将 沿点 到点 的方向平移，得到 设 、 分别是 、FDAF的中点，当点 与点 重合时，四边形 的面积为 A B C. D28324323328【答案】A. 7382SL K H故答案选 A.考点：平行四边形的面积，三角函数.3. （
18、2017 青海西宁第 10 题）如图，在正方形 中， ，动点 自 点出发沿 方向以ABCD3cmMAB每秒 的速度运动，同时动点 自 点出发沿折线 以每秒 的速度运动，到达 点时运1cmN2动同时停止，设 的面积为 ，运动时间为 （秒） ，则下列图象中能大致反映 与 之间的AM2ycmxyx函数关系的是（ ）A B C. D【答案】A当 1.5x3 时，如图 2，此时 N 在 BC 上，DC+CN=2x，BN=62x，S AMN=y= AMBN= x（62x）=x 2+3x，故选 A12考点：动点问题的函数图象学科#网4.(2017 福建第 25 题)已知直线 mxy2与抛物线 2yaxb有一
19、个公共点 (1,0)M，且 ab（）求抛物线顶点 Q的坐标（用含 a的代数式表示）；（）说明直线与抛物线有两个交点；（）直线与抛物线的另一个交点记为 N（）若 21a，求线段 M长度的取值范围；（）求 QN面积的最小值【答案】（）抛物线顶点 Q 的坐标为（- 12，- 94a）；（）理由见解析；（） （i）5 MN7 5.（ii）QMN 面积的最小值为 279.（）由 y=2x-2、y=ax 2+ax-2a，可得点 N（ 2a-2， 4-6）.（i）根据勾股定理得，MN 2=20（ 13） 2，再由-1a- 12，可得-2 1a -1，从而可得 132a 274 ,所以 8S-540，所以 8
20、S-540，5.（2017 山东青岛第 24 题） （本小题满分 12 分） 已知：RtEFP 和矩形 ABCD 如图摆放（点 P 与点 B 重合） ，点 F，B（P） ，C 在同一条直线上，ABEF6cm，BCFP8cm，EFP90。如图，EFP 从图的位置出发，沿 BC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；EP 与 AB 交于点 G同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为 1cm/s。过 Q 作QMBD，垂足为 H，交 AD 于 M，连接 AF，PQ，当点 Q 停止运动时，EFP 也停止运动设运动时间为t（s） （0t6） ，解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PQBD
21、？（2）设五边形 AFPQM 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 8:9:ABCDAFPQMS矩 形五 边 形 ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点 M 在 PG 的垂直平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由【答案】 （1）t= ；（2） （3）t=2，9:8（4）t= 4721578yt3217试题解析：（1）若 PQBD，则CPQCBD，可得 ，即 ，解得 t= ；CPQBD86t247（2）由MQD+CDB=CBD+CDB=90，可得MQD=C
22、BD，又MDQ=C=90，MDQCBD ， MDQCB即 68t解得 MD= （6-t） ，34所以 AEFCPQMDABDySSA梯 形= 1122B= 368(8)(6)4ttt即 2157yt（3）假使存在 t，使 8:9:ABCDAFPQMS矩 形五 边 形则 5498ABCD矩 形Sy，即 5421782t整理得 0362t，解得 （ 舍 去 ） 6,1答：当 t=2， :9:ABCDAFPQMS矩 形五 边 形考点：1、矩形，2、相似三角形，3、二次函数，4、运动型6. (2017 四川泸州第 25 题)如图，已知二次函数 )0(2acbxy的图象经过)2,0(,),(CBA三点.
23、（1）求该二次函数的解析式；（2）点 D是该二次函数图象上的一点，且满足 CAODB( 是坐标原点)，求点 D的坐标；（3）点 P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接 P分别交 yB,轴与点 ,FE若CEFB,的面积分别为 ,21S求 21的最大值.【答案】 （1） ；（2）满足条件的点 有： ；（3）当 时，32xy D),23(1)18,5(35t2S有最大值，最大值为： .65试题解析：（1）由题意得：设抛物线的解析式为： ；)4(1xay因为抛物线图像过点 ,)20(C解得,24a1所以抛物线的解析式为： )4(12xy即： 32xy(2)设 直线与 轴的交点为BDy),0(t
24、M8,24;2tanta;,CAOB即 ：当 时，直线 解析式为：tBD82xy23,04,231812 yxxy解 得 ：联 立所以，点 ),(D当 时，直线 解析式为：8tB8xy15,04,231212xy解 得 ：联 立所以，点 )8,5(D综上：满足条件的点 有： ),3(1)8,5(2D7. （2017 江苏苏州第 28 题） （本题满分 10 分）如图，二次函数 的图像与 轴交于 、2yxbcxA两点，与 轴交于点 ， 点 在函数图像上， 轴，且 ，直线 是抛物线的yCDCD/ l对称轴， 是抛物线的顶点（1）求 、 的值；bc（2）如图，连接 ，线段 上的点 关于直线 的对称点
25、 恰好在线段 上，求点 的坐标；CFlFF（3）如图，动点 在线段 上，过点 作 轴的垂线分别与 交于点 ，与抛物线交于点 试xC问：抛物线上是否存在点 ，使得 与 的面积相等，且线段 的长度最小？如果存在，求QAQ出点 的坐标；如果不存在，说明理由Q【答案】 （1） ， ；（2）点 的坐标为 ；（3）点 的坐标为 和b3.cF0,2Q15,2435,.24（2）设点 的坐标为 对称轴为直线 点 关于直线 的对称点 的坐标为 .F0,.m1,lx： FlF2,m直线 经过点 利用待定系数法可得直线 的表达式为 .BE31,4EBE6yx因为点 在 上， 即点 的坐标为FBE26,mF0,2.（
26、3）存在点 满足题意.设点 坐标为 ，则 QP0n 213,3.PAnBPMnNn作 垂足为 ,RPN,R21,3,2QNAMS QR A1.点 在直线 的左侧时， 点的坐标为 点的坐标为 点的坐标为2,4,R24在 中， 时， 取最小值 .此时 点的2,3.nt 21,nN坐标为 15,.4考点：二次函数的综合运用. 学科#网8. (2017 浙江金华第 24 题)如图 1，在平面直角坐标系中，四边形 各顶点的坐标分别为OABC，动点 与 同时从 点出发，运动时间为 秒，点 沿 方向)0,4(35,9(,3()0, CBAOPQtPOC以 单位长度/秒的速度向点 运动，点 沿折线 运动，在
27、上运动的速度分1 -A，别为（单位长度/秒）.当 中的一点到达 点时，两点同时停止运动.253， P， C（1）求 所在直线的函数表达式；AB（2）如图 2，当点 在 上运动时，求 的面积 关于 的函数表达式及 的最大值；QABCPQStS（3）在 ， 的运动过程中，若线段 的垂直平分线经过四边形 的顶点，求相应的 值.P OABCt【答案】(1) y= x+2 ;(2) ,当 t=53 21335(4)2)143(26)24Stttt时，S 有最大值；最大值为 ;(3) t 的值为 .837580,37试题解析：（1）解：把 A（3，3 ） ，B（9，5 ）代入 y=kx+b,得 ;9kb解
28、得： ;32by= x+2 ;3（2）解：在PQC 中，PC=14-t,PC 边上的高线长为 ;32t 21335(4)2)14(6)4Stttt当 t=5 时，S 有最大值；最大值为 .8（3）解： a.当 0t2 时，线段 PQ 的中垂线经过点 C（如图 1） ；可得方程 2223()(14)()ttt解得： （舍去） ，此时 t= .127,0t74b.当 2t6 时，线段 PQ 的中垂线经过点 A（如图 2）可得方程 ,222(3)()3()tt解得： （舍去） ，此时 ；125757,tt3572tc.当 6t10 时，9. （2017 湖北孝感第 24 题）在平面直角坐标系 中，规
29、定：抛物线 的伴随直线为xoy2yaxhk.例如：抛物线 的伴随直线为 ，即 yaxhk213yx213yx21.yx（1）在上面规定下，抛物线 的顶点为 .伴随直线为 ；抛物线4与其伴随直线的交点坐标为 和 ；24yx（2）如图，顶点在第一象限的抛物线 与其伴随直线相交于点 (点 在点 的右21ymx,AB侧)与 轴交于点 x,.CD若 求 的值；90,AB如果点 是直线 上方抛物线的一个动点， 的面积记为 ，当 取得最大值 时，Pxy PBCS274求 的值.m【答案】 （1） （1，4）；y=x3；（0，3）；（1，4）；（2）m= ；m=22试题解析：（1）y=（x+1） 24，顶点坐
30、标为（1，4），由伴随直线的定义可得其伴随直线为 y=（x+1）4，即 y=x3，联立抛物线与伴随直线的解析式可得 ，解得 或 ，2143yx03xy14xy其交点坐标为（0，3）和（1，4），故答案为：（1，4）；y=x3；（0，3）；（1，4）；设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，B（2，3m），C（1，0）， ，解得 ，230kbmkb直线 BC 解析式为 y=mxm，过 P 作 x 轴的垂线交 BC 于点 Q，如图，点 P 的横坐标为 x，考点：二次函数的综合应用. 学科#网10. （2017 内蒙古呼和浩特第 25 题）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，xOy2yax
31、bcyC其顶点记为 ，自变量 和 对应的函数值相等若点 在直线 ： 上，点M1x5Ml16在抛物线上(3,4)（1）求该抛物线的解析式；（2）设 对称轴右侧 轴上方的图象上任一点为 ，在 轴上有一点 ，试比较2yaxbcxPx7(,0)2A锐角 与 的大小（不必证明） ，并写出相应的 点横坐标 的取值范围；PCOA（3）直线 与抛物线另一点记为 ， 为线段 上一动点（点 不与 重合） 设 点坐标为 ，lBQMQMQ(,)tn过 作 轴于点 ，将以点 ， ， ， 为顶点的四边形的面积 表示为 的函数，标出自变QHxHOCSt量 的取值范围，并求出 可能取得的最大值tS【答案】 （1）抛物线的解析
32、式为 y=4x216x+8；（2）当 x= 时，PCO=ACO，当 2+ x 时，247247PCOACO，当 x4 时，PCOACO；（3）祥见解析.27【解析】试题分析：（1）根据已知条件得到抛物线的对称轴为 x=2设抛物线的解析式为 y=a（x2） 28将（3，4）代入得抛物线的解析式为 y=4（x2） 28，即可得到结论；（2）由题意得：C（0，8） ，M（2，8） ，如图，当PCO=ACO 时，过 P 作 PHy 轴于 H，设 CP 的延长线交 x 轴于 D，则ACD 是等腰三角形，于是得到 OD=OA= ，根据相似三角形的性质得到 x= ，过 C72247作 CEx 轴交抛物线与
33、E，则 CE=4，设抛物线与 x 轴交于 F，B，则 B（2+ ，0） ，于是得到结论；2（3）解方程组得到 D（1，28 得到 Q（t，12t+16） （1t2） ，当1t0 时，当 0t 43时，当 t2 时，求得二次函数的解析式即可得到结论4设抛物线与 x 轴交于 F，B，则 B（2+ ，0） ，y=ax 2+bx+c 对称轴右侧 x 轴上方的图象上任一点为 P，2当 x= 时，PCO=ACO，247当 2+ x 时，PCOACO，2当 x4 时，PCOACO；7（3）解方程组 ，解得： ，D（1，28） ，2168yx128xyQ 为线段 BM 上一动点（点 Q 不与 M 重合） ，Q（t，12t+16） （1t2） ，当1t0 时，S= （t） （12t+168）+8（t）=6t 212t=6（t1） 26，121t0，当 t=-1 时，S 最大 =18；当 0t 时，S= t8+ t（12t+16）=6t 2+12t=6（t1） 2+6，43120t ，当 t=1 时，S 最大 =6；当 t2 时，S= t8+ （12t16）=6t 24t=6（t ） 2 ，431213 t2，此时 S=16 为最大值考点：二次函数综合题
