专题1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象-20届高中数学同步讲义人教版(必修4)

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1、第一章 三角函数1.5 函数的图象一、对函数的图象的影响1对函数的图象的影响(其中0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向 (当0时)平行移动个单位长度而得到的.2对函数的图象的影响函数(其中0)的图象,可以看作是把函数的图象上所有点的横坐标伸长(当01时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.3对函数的图象的影响函数(其中A0)的图象,可以看作是把函数的图象上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A0,0)的方法:(1)先平移后伸缩:(2)先伸缩后平移:二、函数(其中)中各量的物理意义物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与函数中的常数有关:A:它表示做简谐运动的物体离开平

2、衡位置的最大距离,称为 (amplitude of vibration).T:,它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间,称为 (period).f:,它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数,称为 (frequency).:称为 (phase).学-科网:x=0时的相位,称为 (initial phase).简记图象变换名称及步骤(1)函数ysin x到ysin(x)的图象变换称为相位变换;(2)函数ysin x到ysin x的图象变换称为周期变换;(3)函数ysin x到yAsin x的图象变换称为振幅变换(4)函数ysin x到yAsin(x)的图象的变换途径为相位变换周期

3、变化振幅变换或周期变换相位变化振幅变换K知识参考答案:一、1右 左2缩短 3A二、振幅 周期 频率 相位 初相K重点函数图象的变换以及由图象确定函数解析式K难点函数的性质的应用K易错不能正确理解三角函数图象的变换规律致错1函数图象的变换函数图象的平移变换解题策略:(1)对函数,或y=Acos(x)的图象,无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|个单位,都是相应的解析式中的x变为x|,而不是x变为x|.(2)注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.(3)确定函数的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量,确

4、定出的值. (4)由的图象得到的图象,可采用逆向思维,将原变换反过来逆推得到.【例1】要得到函数ysin的图象,只需将函数ysin 4x的图象A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【答案】B【解析】因为ysin(4x)sin4(x),所以要得到ysin4(x)的图象,只需将函数ysin 4x的图象向右平移个单位故选B【例2】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是A BC D【答案】C【解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度,得的图象,再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得故选

5、C【名师点睛】三角函数图象的平移变换要注意平移方向与的符号之间的对应,横坐标的变化与的关系,此类问题很容易混淆规律导致错误.2由函数图象确定函数解析式结合图象及性质求解析式y=Asin(x)B(A0,0)的方法:(1)求A,B,已知函数的最大值M和最小值m,则.(2)求,已知函数的周期T,则.(3)求,常用方法有:【例3】如图是函数yAsin(x)A0,0,|的图象的一部分,求此函数的解析式【解析】(逐一定参法)由图象知A3,T,2,y3sin(2x)点在函数图象上,03sin,2k,得k(kZ)|0,0)的部分图象如图所示,则f(0)的值是_【答案】【解析】由图可知:A,所以T,2.又函数图

6、象经过点(,0),所以2,则,故函数的解析式为f(x)sin(2x),所以f(0)sin.【名师点睛】根据函数图象确定函数解析式,关键是准确把握解析式中的各个参数在图象中的特征体现.确定一般采用函数图象上的最值点的坐标来处理,也可用五点作图法中的五点来解决,这样避免产生增解.3函数的性质的应用函数(A0,0)的性质:(1)奇偶性:时,函数为奇函数;时,函数为偶函数. (2)周期性:存在周期性,其最小正周期为T= .(3)单调性:根据y=sint和t=的单调性来研究,由得单调增区间;由得单调减区间. (4)对称性:对称轴与正弦曲线、余弦曲线一样,函数yAsin(x)和yAcos(x)的图象的对称

7、轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴函数yAsin(x)对称轴方程的求法:令sin(x)1,得xk(kZ),则x(kZ),所以函数yAsin(x)的图象的对称轴方程为x(kZ)函数yAcos(x)对称轴方程的求法:令cos(x)1,得xk(kZ),则x(kZ),所以函数yAcos(x)的图象的对称轴方程为x(kZ)对称中心与正弦曲线、余弦曲线一样,函数yAsin(x)和yAcos(x)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点函数yAsin(x)对称中心的求法:令sin(x)0,得xk(kZ),则x(kZ),所以函数yAsin(x)的图象关于点(kZ)成中心对称函数yAcos(x)对称中心的求法:令c

8、os(x)0,得xk(kZ),则x(kZ),所以函数yAcos(x)的图象关于点(kZ)成中心对称【例5】已知函数f(x)sin(x)(0,|0,0)是R上的偶函数,其图象关于点M(,0)对称,且在区间0,上是单调函数,求和的值【解析】由f(x)是偶函数,得f(x)f(x),即函数f(x)的图象关于y轴对称,当x0时f(x)取得最值,即sin1或1.依题设0,解得.由f(x)的图象关于点M对称,可知sin()0,解得,kZ.又f(x)在0,上是单调函数,T,即,2.又0,当k1时,;当k2时,2.故,2或.【名师点睛】此类题目是函数yAsin(x)的性质的综合应用,往往涉及单调性、奇偶性、对称

9、性、最值等求解时要充分结合函数的性质,把性质转化为参数的方程或不等式4不能正确理解三角函数图象变换规律【例7】为得到函数ycos(2x)的图象,只需将函数ysin2x的图象A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位【错解】选Bycos(2x)sin(2x)sin2(x),因此向右平移个长度单位,故选B【错因分析】没有注意到变换方向导致了错解,目标是ycos(2x)的图象【答案】A【试题解析】ycos(2x)sin(2x)sin(2x)sin2(x),因此将函数ysin2x的图象向左平移个长度单位即可故选A1要得到y=sin2x的图象,只需将y=cos2x的

10、图象A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位2将函数y=2sin(x+)(0)的图象向右移个单位后,所得图象关于y轴对称,则的最小值为A2B1CD3已知函数f(x)=sin(2x+)(0,|0,00,0,|0,0,|)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式及f(x)图象的对称轴方程;(2)把函数y=f(x)图象上点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求关于x的方程g(x)=m(0m0,0)的图象两相邻对称轴之间的距离是,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得函数g(x)为奇函数(1)求f(x)

11、的解析式;(2)求f(x)的对称轴及单调增区间;(3)若对任意x0,f 2(x)(2+m)f(x)+2+m0恒成立,求实数m的取值范围25(2018新课标)若f(x)=cosxsinx在0,a是减函数,则a的最大值是ABCD26(2017新课标)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),则下面结论正确的是A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长

12、度,得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C227(2016新课标)已知函数为的零点,为图象的对称轴,且在单调,则的最大值为A11 B9 C7 D528(2016新课标)将函数y=2sin (2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为Ay=2sin(2x+) By=2sin(2x+) Cy=2sin(2x) Dy=2sin(2x)29(2016新课标)函数yAsin(x)的部分图象如图所示,则Ay2sin(2x)By2sin(2x)Cy2sin(x)Dy2sin(x)30(2016新课标)若将函数y=2sin 2x的图

13、象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为Ax=(kZ) Bx=(kZ) Cx=(kZ) Dx=(kZ)31(2018江苏)已知函数y=sin(2x+)(0),若f(x)f()对任意的实数x都成立,则的最小值为_123451011121314152627282930BBBCABCAACBDBDAB1【答案】B【解析】y=cos2x=sin(2x+)=sin2(x+)所以将函数y=cos2x的图象向右平移个单位,可得函数y=sin2(x)+=sin2x的图象,故选B2【答案】B【解析】将函数y=2sin(x+)(0)的图象向右移个单位后,可得y=2sin(x+)的图象,再根据所得图象关于y轴对

14、称,+=k+,kZ,即=,当k=1时,取得最小值为1,故选B4【答案】C【解析】f(0)1,2sin1,sin,又|,又2,2,f(x)2sin(2x)5【答案】A【解析】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象,再向左平移个长度单位,得到的图象.将选项代入验证可知A选项符合.6【答案】【解析】由题意可知,函数f(x)的最小周期T2()2,1,f(x)sin(x)又x是函数f(x)的图象的一条对称轴,k,kZ,k,kZ.0,.7【解析】(1)振幅A3,周期T,初相.(2)先将函数ysinx的图象向左平移个单位,得到ysin(x)的图象;再将所得图象上所有点的横坐标缩

15、短到原来的倍(纵坐标不变),得到ysin(3x)的图象;最后将所得图象上所有点的纵坐标扩大到原来的3倍(横坐标不变),即可得到f(x)3sin(3x)的图象8【解析】由一个周期内的图象上有一个最高点(,3)和一个最低点(,5),得A(ymaxymin)(35)4,b(ymaxymin)(35)1,即T.由T,得2.y4sin(2x)1.2+2k,kZ,又|0,0)的图象可看作把yAsin(x)(其中A0,0)的图象向上(b0)或向下(b0)平移|b|个长度单位得到的由图象可知,取最大值与最小值时相应的x值之差的绝对值只是半个周期,由此可得出A、b,进而再求、.9【解析】(1)f(x)的最小正周

16、期为.(x0,y0)是最大值点,令2x2k,kZ,结合图象得x0,y03.(2)因为x,所以2x,0于是,当2x0,即x时,f(x)取得最大值0;当2x,即x时,f(x)取得最小值3.10【答案】B【解析】由题可知,正弦型为,其中,A代表振幅,用来控制函数的横坐标变化,用来控制函数的左右移动,本题是先平移再伸缩,先向左平移个单位长度,得到的图象,再把横坐标缩短为原来的倍,得到,故选B【名师点睛】(1)进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数;(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是

17、先周期变换变换只是相对于其中的自变量而言的,如果的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向 11【答案】C【解析】根据函数的图象,设可得,再根据五点法作图可得 故可以把函数的图象先向左平移个单位长度,得到的图象,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即可得到函数的图象,故选C12【答案】A【解析】依题意得,当时,x,所以,即函数g(x)的值域是【名师点睛】对于三角函数图象变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,需要重点记住;另外,在进行图象变换时,提倡先平移后伸缩,而先伸缩后平移在考试中也经常出现,无论平移还是伸缩变换,总是对变量而言.13【答

18、案】A【解析】由于是上的偶函数,且,故,由图象关于点对称,则,即,所以,又因为在区间上是单调函数,且,所以,故,故选A【方法点睛】本题主要通过求三角函数的解析式考查三角函数的性质,属于中档题.利用三角函数性质求解析式的方法:(1)利用最值求出;(2)利用周期公式求出;(3)利用特殊点或对称性求出.在求解每一个参数时,一定根据题设条件,考虑参数的范围,这样才能保证解析式的唯一性. 14【答案】C【解析】将的图象向左平移个单位长度得到的图象,故B错;在区间上有增有减,故D错;图象关于点对称,故A错误,C正确,故选C15【答案】B【解析】由图象可知,所以,当()时,因为值域里有,所以,选B【名师点睛

19、】本题学生容易经验性的认为,但此时在内无解,所以.已知函数的图象求解析式:(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求,一般用最高点或最低点求.16【答案】【解析】由函数,的最大值是,得;又其图象经过点,或,;或,又,.故答案为17【解析】(1)由已知得当时,取得最小值,此时,即,故取最小值时的集合为(2)当时,所以,从而,即的值域为(3)即求函数的单调递减区间令,解得,故的单调增区间为18【解析】(1)00200根据表格可得 再根据五点法作图可得,故解析式为.(2)令,所以函数的单调递增区间为,.(3)因为,所以,所以. 所以当,即时,在区间上的最小值为. 当,即时,在

20、区间上的最大值为.【名师点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式,并研究函数的性质,属于基础题(1)由函数的最值求出,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式(2)利用正弦函数的单调性,求得函数的单调递增区间(3)利用正弦函数的定义域、值域,求得函数在区间上的最大值和最小值.(2)由(1)可得,由,得,的单调递增区间为,的取值范围为. 【名师点睛】本题考查了函数的基本性质的综合应用问题,解答中涉及正弦型函数的单调性、周期和对称性的综合应用,试题有一定的综合性,属于中档试题,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理、运算能力.其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键.(1)由

21、已知可得,进而求解值,再根据的图象关于对称,求解的值,即可求得函数的解析式;(2)由(1)可得,利用三角函数的图象与性质,即可求解的单调递增区间以及时的取值范围. 学-科网21【解析】(1)由2xk,得函数的对称轴方程是x,kZ.所以函数的图象离y轴距离最近的那条对称轴方程为x.(2)将函数y2cos的图象向右平移个单位长度后,得到函数图象的解析式是y2cos.因为y2cos的图象关于原点对称,所以2k.所以,kZ.所以的最小正值是22【解析】(1)依题意,A,T44,T4,0,.ysin.曲线上的最高点为,sin1.2k,kZ.,.ysin.(2)令2kx2k,kZ,4kx4k,kZ.函数f

22、(x)的单调递增区间为4k,4k(kZ)令2kx2k,kZ,4kx4k,kZ.函数f(x)的单调递减区间为4k,4k(kZ)23【解析】(1)由图象知,周期T=()=,=2点(,0)在函数图象上,Asin(2+)=0,即sin()=0,又,从而=又点(0,1)在函数图象上,1=Asin,A=2故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+)令2x+=k+,kZ,解得x=+,kZ即为函数f(x)图象的对称轴方程(2)依题意,得g(x)=2sin(x+),g(x)=2sin(x+)的周期T=2,g(x)=2sin(x+)在x,内有2个周期令x+=k(kZ),则x=+k(kZ),即函数g(x)=

23、2sin(x+)的对称轴为x=+k(kZ)又x,则x+0,4,且0m2,所以g(x)=m,(0m2)在x内有4个实根,不妨从小到大依次设为xi(i=1,2,3,4),则,关于x的方程g(x)=m(0m2)在x时,所有的实数根之和为x1+x2+x3+x4=24【解析】(1)由可得=2,则f(x)=sin(2x+)+b,又为奇函数,且0,则,故(2)结合(1)的结论可得对称轴满足,据此可得对称轴方程为,函数的增区间满足,故增区间为(3)因为,所以,而f 2(x)(2+m)f(x)+2+m0恒成立,整理可得,由,得,故,即m取值范围是25【答案】C【解析】f(x)=cosxsinx=(sinxcos

24、x)=sin(x),由+2kx+2k,kZ,得+2kx+2k,kZ,取k=0,得f(x)的一个减区间为,由f(x)在0,a是减函数,得a则a的最大值是故选C26【答案】D【解析】因为函数名不同,所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名,则,则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为,再将曲线向左平移个单位长度得到,故选D【名师点睛】对于三角函数图象变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,需要重点记住;另外,在进行图象变换时,提倡先平移后伸缩,而先伸缩后平移在考试中也经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量而言.【名师点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题

25、目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论:的单调区间长度是最小正周期的一半;若的图象关于直线对称,则或.28【答案】D【解析】函数的周期为,将函数的图象向右平移个周期即个单位,所得图象对应的函数为,故选D.【名师点睛】函数图象的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”;二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.29【答案】A【解析】由题图知,最小正周期,所以,所以.因为图象过点,所以,所以,所以,令,得,所以,故选A.【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是:先根据函数图象的最高点、最低点确定A,h的值,由函数的周期确定的值,再根据函数图象上的一个特殊点确定值30【答案】B【解析】由题意,将函数的图象向左平移个单位长度得函数的图象,则平移后函数图象的对称轴为,即,故选B.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加或减多少值,而不是依赖于x加或减多少值31【答案】D【解析】由图象可知,解得,所以,令,解得,故函数的单调减区间为(,),故选D31【答案】【解析】y=sin(2x+)()的图象关于直线x=对称,2+=k+,kZ,即=k,0),若f(x)f()对任意的实数x都成立,可得:,kZ,解得=,kZ,0,则的最小值为:故答案为:

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