1、专题04 三角形一、选择题1（2019山东枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30角的三角板的一条直角边和含45角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是（）A45B60C75D85【答案】C【解析】解：如图，ACD90、F45，CGFDGB45，则D+DGB30+4575，故选：C2（2019山东淄博）如图，在ABC中，AC2，BC4，D为BC边上的一点，且CADB若ADC的面积为a，则ABD的面积为（）A2aBaC3aDa【答案】C【解析】解：CADB，ACDBCA，ACDBCA，即，解得，BCA的面积为4a，ABD的面积为：4aa3a，故选：C3（2019山东青岛）如
2、图，BD是ABC的角平分线，AEBD，垂足为F若ABC35，C50，则CDE的度数为（）A35B40C45D50【答案】A【解析】解：BD是ABC的角平分线，AEBD，ABDEBD，AFBEFB，BFBF，ABFEBF（ASA），AFEF，ABBE，ADDE，ABC35，C50，BAC180ABCC95，ABDEAD（SSS），BEDBAD95，ADE360959535145，CDE180ADE35，故选：A4（2019山东临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DEFE，FCAB，若AB4，CF3，则BD的长是（）A0.5B1C1.5D2【答案】B【解析】解：CFAB，AFCE，ADE
3、F，ADECFE（AAS），ADCF3，AB4，DBABAD431故选：B5（2019山东枣庄）如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置已知ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9若AA1，则AD等于（）A2B3C4D【答案】B【解析】解：SABC16、SAEF9，且AD为BC边的中线，SADESAEF，SABDSABC8，将ABC沿BC边上的中线AD平移得到ABC，AEAB，DAEDAB，则，即，解得AD3或AD（舍），故选：B6（2019山东泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40方向航行至C港，C港在A港北偏东20方向，则A，C两港之间
4、的距离为（）kmA30+30B30+10C10+30D30【答案】B【解析】解：根据题意得，CAB6520，ACB40+2060，AB30，如图，过B作BEAC于E，AEBCEB90，在RtABE中，ABE45，AB30，AEBEAB30km，在RtCBE中，ACB60，CEBE10km，ACAE+CE30+10，A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B7（2019山东聊城）如图，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，
5、下列结论中错误的是（）AAE+AFACBBEO+OFC180COE+OFBCDS四边形AEOFSABC【答案】C【解析】解：连接AO，如图所示ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，OAOC，AOC90，BAOACO45EOA+AOFEOF90，AOF+FOCAOC90，EOAFOCEOAFOC（ASA），EAFC，AE+AFAF+FCAC，选项A正确；B+BEO+EOBFOC+C+OFC180，B+C90，EOB+FOC180EOF90，BEO+OFC180，选项B正确；EOAFOC，SEOASFOC，S四边形AEOFSEOA+SAOFSFOC+SAOFSAOCSABC，选项D正确故选：C
6、8（2019山东淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF如图1，当CDAC时，tan1；如图2，当CDAC时，tan2；如图3，当CDAC时，tan3；依此类推，当CDAC（n为正整数）时，tann 【答案】【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，2n+1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；，2n+1，中的中间一个tann故答案为：9（2019山东滨州）如图，在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD40，连接AC，B
7、D交于点M，连接OM下列结论：ACBD；AMB40；OM平分BOC；MO平分BMC其中正确的个数为（）A4B3C2D1【答案】B【解析】解：AOBCOD40，AOB+AODCOD+AOD，即AOCBOD，AOCBOD（SAS），OCAODB，ACBD，正确；OACOBD，由三角形的外角性质得：AMB+OACAOB+OBD，AMBAOB40，正确；作OGMC于G，OHMB于H，如图所示：则OGCOHD90，OCGODH（AAS），OGOH，MO平分BMC，正确；正确的个数有3个；故选：B二、填空题10（2019山东枣庄）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6
8、m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为 m（精确到0.1m参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33）【答案】9.5【解析】解：过D作DEAB，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53，ADE53，BCDE6m，AEDEtan5361.337.98m，ABAE+BEAE+CD7.98+1.59.48m9.5m，故答案为：9.511（2019山东德州）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得ABO=70，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得CDO=50，那么AC的长度约为 米（sin7
9、00.94，sin500.77，cos700.34，cos500.64）【答案】1.02【解析】解：由题意可得：ABO=70，AB=6m，sin70=0.94，解得：AO=5.64（m），CDO=50，DC=6m，sin50=0.77，解得：CO=4.62（m），则AC=5.64-4.62=1.02（m），答：AC的长度约为1.02米故答案为：1.0212（2019山东临沂）如图，在ABC中，ACB120，BC4，D为AB的中点，DCBC，则ABC的面积是 【答案】8【解析】解：DCBC，BCD90，ACB120，ACD30，延长CD到H使DHCD，D为AB的中点，ADBD，ADHBCD（SA
10、S），AHBC4，HBCD90，ACH30，CHAH4，CD2，ABC的面积2SBCD2428，故答案为：813（2019山东枣庄）把两个同样大小含45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上若AB2，则CD 【答案】【解析】解：如图，过点A作AFBC于F，在RtABC中，B45，BCAB2，BFAFAB，两个同样大小的含45角的三角尺，ADBC2，在RtADF中，根据勾股定理得，DF，CDBF+DFBC+2，故答案为：14（2019山东聊城）如图，在RtABC中，ACB90，B60，DE为ABC的中位
11、线，延长BC至F，使CFBC，连接FE并延长交AB于点M若BCa，则FMB的周长为 【答案】【解析】解：在RtABC中，B60，A30，AB2a，ACaDE是中位线，CEa在RtFEC中，利用勾股定理求出FEa，FEC30AAEM30，EMAMFMB周长BF+FE+EM+BMBF+FE+AM+MBBF+FE+AB故答案为三、解答题15（2019山东淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，ABAD，ACAE，BAEDAC求证：EC【答案】见解析【解析】证明：BAEDACBAE+CAEDAC+CAECABEAD，且ABAD，ACAEABCADE（SAS）CE16（2019山东菏泽）由我国完全自主设
12、计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长【答案】（12040）海里【解析】解：过点C作CDAB于点D，由题意，得：BAD60，BCD45，AC80，在RtADB中，BAD60，tan60，AD，在RtBCD中，BCD45，BDCD，ACAD+CD+BD80，BD12040，BCBC12040，答：BC的距离是（12040）海里17（2019山东聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如
13、图所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45，底端D点的仰角为30，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4（如图所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.40.89，cos63.40.45，tan63.42.00，1.41，1.73）【答案】17米【解析】解：设楼高CE为x米，在RtAEC中，CAE45，AECEx，AB20，BEx20，在RtCEB中，CEBEtan63.42（x20），2（x20）x，解得：x40（米），在RtDAE中，DEAEtan3040，CDCEDE4017（米），答：大
14、楼部分楼体CD的高度约为17米18（2019山东临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工测得CAB30，AB4km，ABD105，求BD的长【答案】2km【解析】解：作BEAD于点E，CAB30，AB4km，ABE60，BE2km，ABD105，EBD45，EDB45，BEDE2km，BD2km，即BD的长是2km19（2019山东潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造如图2所示，改造前的斜坡AB200
15、米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4求斜坡CD的长（结果保留根号）【答案】米【解析】解：AEB90，AB200，坡度为1：，tanABE，ABE30，AEAB100，AC20，CE80，CED90，斜坡CD的坡度为1：4，即，解得，ED320，CD米，答：斜坡CD的长是米20（2019山东青岛）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行在C处测得栈道一端A位于北偏西42方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32方向已知CD120m，BD80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）（参考数据：sin
16、32，cos32，tan32，sin42，cos42，tan42）【答案】134米【解析】解：过C作CEAB于E，DFAB交AB的延长线于F，则CEDF，ABCD，四边形CDFE是矩形，EFCD120，DFCE，在RtBDF中，BDF32，BD80，DFcos32BD8068，BFsin32BD80，BEEFBF，在RtACE中，ACE42，CEDF68，AECEtan4268，ABAE+BE+134m，答：木栈道AB的长度约为134m21（2019山东威海）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图已知汽车货厢高度BG2米，货厢底面距地面的高度BH0.6米，坡面与地面
17、的夹角BAH，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米通过计算判断：当sin，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部【答案】不会触碰到汽车货厢顶部，理由见解析【解析】解：BH0.6米，sin，AB米，AH0.8米，AFFC2米，BF1米，作FJBG于点J，作EKFJ于点K，EFFBAB1米，EKFFJBAHB90，EFKFBJABH，EFKFBJABH，EKFJAH，BJBH，BJ+EK0.6+0.81.42，木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部22（2019山东菏泽）如图，ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BACDAE90（1）如图1，
18、连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BPCD；（2）如图2，把ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC6，AD3，求PDE的面积【答案】（1）见解析；（2）【解析】解：（1）ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BACDAE90ADAE，ABAC，BACEAFEADEAF，即BAEDAC，ABEADC（SAS），ABEACD，ABE+AFBABE+CFP90，CPF90，BPCD；（2）在ABE与ACD中，ABEACD（SAS），ABEACD，BECD，PDBADC，BPDCAB90，EPD90，BC6，AD3
19、，DE3，AB6，BD633，CD，BDPCDA，PD，PBPE，PDE的面积23（2019山东枣庄）在ABC中，BAC90，ABAC，ADBC于点D（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且BMN90，当AMN30，AB2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且EDF90，求证：BEAF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且BMN90，求证：AB+ANAM【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）见解析【解析】（1）解：BAC90，ABAC，ADBC，ADBDDC，ABCACB45，BADCAD45，AB2，ADBDDC，AMN30，BMD180903060，MBD30，BM2DM，由勾股定理得，BM2DM2BD2，即（2DM）2DM2（）2，解得，DM，AMADDM；（2）证明：ADBC，EDF90，BDEADF，BDEADF（ASA）BEAF；（3）证明：过点M作MEBC交AB的延长线于E，AME90，则AEAM，E45，MEMA，AME90，BMN90，BMEAMN，BMEAMN（ASA），BEAN，AB+ANAB+BEAEAM
