2019年山东省中考数学真题分类汇编 专题03 函数 (解析版)

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1、专题03 函数一、选择题1(2019山东临沂)下列关于一次函数ykx+b(k0,b0)的说法,错误的是()A图象经过第一、二、四象限 By随x的增大而减小C图象与y轴交于点(0,b) D当x时,y0【答案】D【解析】解:ykx+b(k0,b0),图象经过第一、二、四象限,A正确;k0,y随x的增大而减小,B正确;令x0时,yb,图象与y轴的交点为(0,b),C正确;令y0时,x,当x时,y0;D不正确;故选:D2(2019山东枣庄)如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不包括端点),过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8,则该直线的函数表达

2、式是()Ayx+4Byx+4Cyx+8Dyx+8【答案】A【解析】解:如图,过P点分别作PDx轴,PEy轴,垂足分别为D、E,设P点坐标为(x,y),P点在第一象限,PDy,PEx,矩形PDOE的周长为8,2(x+y)8,x+y4,即该直线的函数表达式是yx+4,故选:A3(2019山东聊城)某快递公司每天上午9:0010:00为集中揽件和派件时段,甲仓库用来搅收快件,乙仓库用来派发快件,该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示,那么当两仓库快递件数相同时,此刻的时间为()A9:15 B9:20 C9:25 D9:30【答案】B【解析】解:设甲仓库的快件数量y

3、(件)与时间x(分)之间的函数关系式为:y1k1x+40,根据题意得60k1+40400,解得k16,y16x+40;设乙仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数关系式为:y2k2x+240,根据题意得60k2+2400,解得k24,y24x+240,联立,解得,此刻的时间为9:20故选:B4(2019山东枣庄)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,ABC90,CAx轴,点C在函数(x0)的图象上,若AB1,则k的值为()A1BCD2【答案】A【解析】解:等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,ABC90,CAx轴,AB

4、1,BACBAO45,OAOB,AC,点C的坐标为(,),点C在函数(x0)的图象上,k1,故选:A5(2019山东青岛)已知反比例函数y的图象如图所示,则二次函数yax22x和一次函数ybx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是()ABCD【答案】C【解析】解:当x0时,yax22x0,即抛物线yax22x经过原点,故A错误;反比例函数y的图象在第一、三象限,ab0,即a、b同号,当a0时,抛物线yax22x的对称轴x0,对称轴在y轴左边,故D错误;当a0时,b0,直线ybx+a经过第一、二、三象限,故B错误,C正确故选:C6(2019山东德州)若函数与y=ax2+bx+c的图象如图所示,则

5、函数y=kx+b的大致图象为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】解:根据反比例函数的图象位于二、四象限知k0,根据二次函数的图象确知a0,b0,函数y=kx+b的大致图象经过二、三、四象限,故选:C7(2019山东济宁)将抛物线yx26x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是( )Ay(x4)26By(x1)23Cy(x2)22Dy(x4)22【答案】D【解析】解:yx26x+5(x3)24,即抛物线的顶点坐标为(3,4),把点(3,4)向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到点的坐标为(4,2),所以平移后得到的抛物线解析式为y(x4)22

6、故选:D8(2019山东济宁)如图,点A的坐标是(2,0),点B的坐标是(0,6),C为OB的中点,将ABC绕点B逆时针旋转90后得到ABC若反比例函数y的图象恰好经过AB的中点D,则k的值是( )A9B12C15D18【答案】C【解析】解:如图,作AHy轴于HAOBAHBABA90,ABO+ABH90,ABO+BAO90,BAOABH,BABA,AOBBHA(AAS),OABH,OBAH,点A的坐标是(2,0),点B的坐标是(0,6),OA2,OB6,BHOA2,AHOB6,OH4,A(6,4),BDAD,D(3,5),反比例函数y的图象经过点D,k15故选:C9(2019山东临沂)从地面竖

7、直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示下列结论:小球在空中经过的路程是40m;小球抛出3秒后,速度越来越快;小球抛出3秒时速度为0;小球的高度h30m时,t1.5s其中正确的是()ABCD【答案】D【解析】解:由图象知小球在空中达到的最大高度是40m;故错误;小球抛出3秒后,速度越来越快;故正确;小球抛出3秒时达到最高点即速度为0;故正确;设函数解析式为:ha(t3)2+40,把O(0,0)代入得0a(03)2+40,解得a,函数解析式为h(t3)2+40,把h30代入解析式得,30(t3)2+40,解得:t4.5或t1.5,小球的高度h3

8、0m时,t1.5s或4.5s,故错误;故选:D10(2019山东滨州)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上,反比例函数(x0)的图象经过对角线OB的中点D和顶点C若菱形OABC的面积为12,则k的值为()A6B5C4D3【答案】C【解析】解:设点A的坐标为(a,0),点C的坐标为(c,),则,点D的坐标为(),解得,k4,故选:C11(2019山东德州)在下列函数图象上任取不同两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),一定能使0成立的是()A.(x0)B.(x0)C. (x0)D. (x0)【答案】D【解析】解:A、k=30,y随x的增大而增大,即当x1x2时,必有

9、y1y2当x0时,0,故A选项不符合;B、对称轴为直线x=1,当0x1时y随x的增大而增大,当x1时y随x的增大而减小,当0x1时:当x1x2时,必有y1y2此时0,故B选项不符合;C、当x0时,y随x的增大而增大,即当x1x2时,必有y1y2此时0,故C选项不符合;D、对称轴为直线x=2,当x0时y随x的增大而减小,即当x1x2时,必有y1y2此时0,故D选项符合;故选:D12(2019山东聊城)如图,在RtABO中,OBA90,A(4,4),点C在边AB上,且,点D为OB的中点,点P为边OA上的动点,当点P在OA上移动时,使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为()A(2,2)B(,)C(,

10、)D(3,3)【答案】C【解析】解:在RtABO中,OBA90,A(4,4),ABOB4,AOB45,点D为OB的中点,BC3,ODBD2,D(0,2),C(4,3),作D关于直线OA的对称点E,连接EC交OA于P,则此时,四边形PDBC周长最小,E(0,2),直线OA 的解析式为yx,设直线EC的解析式为ykx+b,解得:,直线EC的解析式为yx+2,解得,P(,),故选:C13(2019山东潍坊)抛物线yx2+bx+3的对称轴为直线x1若关于x的一元二次方程x2+bx+3t0(t为实数)在1x4的范围内有实数根,则t的取值范围是()A2t11Bt2C6t11D2t6【答案】D【解析】解:y

11、x2+bx+3的对称轴为直线x1,b2,yx22x+3,一元二次方程x2+bx+3t0的实数根可以看做yx22x+3与函数yt的有交点,方程在1x4的范围内有实数根,当x1时,y6;当x4时,y11;函数yx22x+3在x1时有最小值2;2t6;故选:D二、填空题14(2019山东潍坊)当直线y(22k)x+k3经过第二、三、四象限时,则k的取值范围是 【答案】1k3 【解析】解:y(22k)x+k3经过第二、三、四象限,22k0,k30,k1,k3,1k3;故答案为1k315(2019山东泰安)若二次函数yx2+bx5的对称轴为直线x2,则关于x的方程x2+bx52x13的解为 【答案】x1

12、2,x24 【解析】解:二次函数yx2+bx5的对称轴为直线x2,得b4,则x2+bx52x13可化为:x24x52x13,解得,x12,x24故意答案为:x12,x2416(2019山东威海)如图,在平面直角坐标系中,点A,B在反比例函数(k0)的图象上运动,且始终保持线段AB4的长度不变M为线段AB的中点,连接OM则线段OM长度的最小值是 (用含k的代数式表示)【答案】【解析】解:如图,当OMAB时,线段OM长度的最小,M为线段AB的中点,OAOB,点A,B在反比例函数(k0)的图象上,点A与点B关于直线yx对称,AB4,可以假设A(m,),则B(m+4,4),4,解得km2+4m,A(m

13、,m+4),B(m+4,m),M(m+2,m+2),OM,OM的最小值为故答案为17(2019山东潍坊)如图,RtAOB中,AOB90,顶点A,B分别在反比例函数(x0)与(x0)的图象上,则tanBAO的值为 【答案】【解析】解:过A作ACx轴,过B作BDx轴于D,则BDOACO90,顶点A,B分别在反比例函数(x0)与(x0)的图象上,SBDO,SAOC,AOB90,BOD+DBOBOD+AOC90,DBOAOC,BDOOCA,tanBAO,故答案为:18(2019山东济宁)如图,抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A(1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+cn的解集是 【答

14、案】x3或x1【解析】解:抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A(1,p),B(3,q)两点,m+np,3m+nq,抛物线yax2+c与直线ymx+n交于P(1,p),Q(3,q)两点,观察函数图象可知:当x3或x1时,直线ymx+n在抛物线yax2+bx+c的下方,不等式ax2+mx+cn的解集为x3或x1故答案为:x3或x119(2019山东潍坊)如图,直线yx+1与抛物线yx24x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当PAB的周长最小时,SPAB 【答案】【解析】解:,解得,或,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5),AB,作点A关于y轴的对称点A,连接AB与y轴的交于

15、P,则此时PAB的周长最小,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5),设直线AB的函数解析式为ykx+b,得,直线AB的函数解析式为y,当x0时,y,即点P的坐标为(0,),将x0代入直线yx+1中,得y1,直线yx+1与y轴的夹角是45,点P到直线AB的距离是:(1)sin45,PAB的面积是:,故答案为:20(2019山东德州)如图,点A1、A3、A5在反比例函数(x0)的图象上,点A2、A4、A6在反比例函数(x0)的图象上,OA1A2=A1A2A3=A2A3A4=60,且OA1=2,则An(n为正整数)的纵坐标为 (用含n的式子表示) 【答案】(-1)n+1【解析】解:如图,过A

16、1作A1D1x轴于D1,OA1=2,OA1A2=60,OA1E是等边三角形,A1(1,),k=,y=和y=,过A2作A2D2x轴于D2,A2EF=A1A2A3=60,A2EF是等边三角形,设A2(x,),则A2D2=,RtEA2D2中,EA2D2=30,ED2=,OD2=2+=x,解得:x1=1-(舍),x2=1+,EF=2(-1)=2-2,A2D2=,即A2的纵坐标为;过A3作A3D3x轴于D3,同理得:A3FG是等边三角形,设A3(x,),则A3D3=,RtFA3D3中,FA3D3=30,FD3=,OD3=,解得:x1=(舍),x2=;GF=,A3D3=,即A3的纵坐标为;An(n为正整数

17、)的纵坐标为:(-1)n+1故答案为:(-1)n+1三、解答题21(2019山东菏泽)如图,平行四边形ABCD中,顶点A的坐标是(0,2),ADx轴,BC交y轴于点E,顶点C的纵坐标是4,平行四边形ABCD的面积是24反比例函数的图象经过点B和D,求:(1)反比例函数的表达式;(2)AB所在直线的函数表达式【答案】(1)y;(2)y3x+2【解析】解:(1)顶点A的坐标是(0,2),顶点C的纵坐标是4,AE6,又平行四边形ABCD的面积是24,ADBC4,则D(4,2)k428,反比例函数解析式为y;(2)由题意知B的纵坐标为4,其横坐标为2,则B(2,4),设AB所在直线解析式为ykx+b,

18、将A(0,2)、B(2,4)代入,得:,解得:k=3,b=2,所以AB所在直线解析式为y3x+222(2019山东济宁)小王骑车从甲地到乙地,小李骑车从乙地到甲地,小王的速度小于小李的速度,两人同时出发,沿同一条公路匀速前进图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系请你根据图象进行探究:(1)小王和小李的速度分别是多少?(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围【答案】(1)小王和小李的速度分别是10km/h、20km/h;(2)y30x30(1x1.5)【解析】解:(1)由图可得,小王的速度为:30310km/h,小李的速度为:

19、(30101)120km/h,答:小王和小李的速度分别是10km/h、20km/h;(2)小李从乙地到甲地用的时间为:30201.5h,当小李到达甲地时,两人之间的距离为:101.515km,点C的坐标为(1.5,15),设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为ykx+b,得,即线段BC所表示的y与x之间的函数解析式是y30x30(1x1.5)23(2019山东德州)下表中给出A,B,C三种手机通话的收费方式收费方式月通话费/元包时通话时间/h超时费/(元/min)A30250.1B50500.1C100不限时(1)设月通话时间为x小时,则方案A,B,C的收费金额y1,y2,y3都是x的函数

20、,请分别求出这三个函数解析式(2)填空:若选择方式A最省钱,则月通话时间x的取值范围为_;若选择方式B最省钱,则月通话时间x的取值范围为_;若选择方式C最省钱,则月通话时间x的取值范围为_;(3)小王、小张今年5月份通话费均为80元,但小王比小张通话时间长,求小王该月的通话时间【答案】(1)y1=,y2=,y3=100(x0);(2)0x,x, x;(3)55小时【解析】解:(1)0.1元/min=6元/h,由题意可得,y1=,y2=,y3=100(x0);(2)作出函数图象如图:结合图象可得:若选择方式A最省钱,则月通话时间x的取值范围为:0x,若选择方式B最省钱,则月通话时间x的取值范围为

21、:x,若选择方式C最省钱,则月通话时间x的取值范围为:x故答案为:0x,x, x(3)小王、小张今年5月份通话费均为80元,但小王比小张通话时间长,结合图象可得:小张选择的是方式A,小王选择的是方式B,将y=80分别代入y2=,可得6x-250=80,解得:x=55,小王该月的通话时间为55小时24(2019山东聊城)如图,点A(,4),B(3,m)是直线AB与反比例函数y(x0)图象的两个交点,ACx轴,垂足为点C,已知D(0,1),连接AD,BD,BC(1)求直线AB的表达式;(2)ABC和ABD的面积分别为S1,S2求S2S1【答案】(1);(2)【解析】解:(1)由点A(,4),B(3

22、,m)在反比例函数y(x0)图象上,得n6,反比例函数的解析式为y(x0)将点B(3,m)代入y(x0)得m2B(3,2),设直线AB的表达式为ykx+b,解得直线AB的表达式为;(2)由点A、B坐标得AC4,点B到AC的距离为3,S143,设AB与y轴的交点为E,可得E(0,6),如图:DE615由点A(,4),B(3,2)知点A,B到DE的距离分别为,3S2SBDESACD535S2S1325(2019山东临沂)汛期到来,山洪暴发下表记录了某水库20h内水位的变化情况,其中x表示时间(单位:h),y表示水位高度(单位:m),当x8(h)时,达到警戒水位,开始开闸放水 x/h02468101

23、214161820y/m141516171814.41210.3987.2(1)在给出的平面直角坐标系中,根据表格中的数据描出相应的点(2)请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式(3)据估计,开闸放水后,水位的这种变化规律还会持续一段时间,预测何时水位达到6m【答案】(1)见解析;(2)开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为:yx+14 (0x8)和 (x8);(3)24h水位达到6m【解析】解:(1)在平面直角坐标系中,根据表格中的数据描出相应的点,如图所示(2)观察图象当0x8时,y与x可能是一次函数关系:设ykx+b,把(0,14),(8,18)代入得,解得:k,

24、b14,y与x的关系式为:yx+14,经验证(2,15),(4,16),(6,17)都满足yx+14,因此放水前y与x的关系式为:yx+14 (0x8);观察图象当x8时,y与x就不是一次函数关系:通过观察数据发现:8181010.41212169188144因此放水后y与x的关系最符合反比例函数,关系式为:(x8)所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为:yx+14 (0x8)和 (x8) (3)当y6时,6,解得:x24,因此预计24h水位达到6m26(2019山东威海)在画二次函数yax2+bx+c(a0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下x10123y甲63236乙写错

25、了常数项,列表如下:x10123y乙212714通过上述信息,解决以下问题:(1)求原二次函数yax2+bx+c(a0)的表达式;(2)对于二次函数yax2+bx+c(a0),当x 时,y的值随x的值增大而增大;(3)若关于x的方程ax2+bx+ck(a0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围【答案】(1)y3x2+2x+3;(2);(3)k【解析】解:(1)由甲同学的错误可知c3,由乙同学提供的数据选x1,y2;x1,y2,有,y3x2+2x+3;(2)y3x2+2x+3的对称轴为直线x,抛物线开口向下,当x时,y的值随x的值增大而增大;故答案为;(3)方程ax2+bx+ck(a0)有两个不

26、相等的实数根,即3x2+2x+3k0有两个不相等的实数根,4+12(3k)0,k27(2019山东威海)(1)阅读理解如图,点A,B在反比例函数y的图象上,连接AB,取线段AB的中点C分别过点A,C,B作x轴的垂线,垂足为E,F,G,CF交反比例函数y的图象于点D点E,F,G的横坐标分别为n1,n,n+1(n1)小红通过观察反比例函数y的图象,并运用几何知识得出结论:AE+BG2CF,CFDF由此得出一个关于,之间数量关系的命题:若n1,则 (2)证明命题小东认为:可以通过“若ab0,则ab”的思路证明上述命题小晴认为:可以通过“若a0,b0,且ab1,则ab”的思路证明上述命题请你选择一种方

27、法证明(1)中的命题【答案】(1)+;(2)见解析【解析】解:(1)AE+BG2CF,CFDF,AE,BG,DF,+故答案为:+(2)方法一:+,n1,n(n1)(n+1)0,+0,+方法二:1,+28(2019山东济宁)阅读下面的材料:如果函数yf(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,(1)若x1x2,都有f(x1)f(x2),则称f(x)是增函数;(2)若x1x2,都有f(x1)f(x2),则称f(x)是减函数例题:证明函数f(x)(x0)是减函数证明:设0x1x2,f(x1)f(x2)0x1x2,x2x10,x1x200即f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)函数f(

28、x)(x0)是减函数根据以上材料,解答下面的问题:已知函数f(x)(x0),f(1)+(1)0,f(2)+(2),(1)计算:f(3) ,f(4) ;(2)猜想:函数f(x)(x0)是 函数(填“增”或“减”);(3)请仿照例题证明你的猜想【答案】(1),;(2)增;(3)见解析【解析】解:(1)f(x)(x0),f(3)3,f(4)4故答案为:,(2)43,f(4)f(3)函数f(x)(x0)是增函数故答案为:增(3)设x1x20,f(x1)f(x2)x1x20,x1x20,x1+x20,f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)函数f(x)(x0)是增函数.29(2019山东泰安)已知一次

29、函数ykx+b的图象与反比例函数的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OBAB,且SOAB(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)若点P为x轴上一点,ABP是等腰三角形,求点P的坐标【答案】(1)y,yx;(2)P(0,0)或(10,0)或(13,0)或(,0)【解析】解:(1)如图1,过点A作ADx轴于D,B(5,0),OB5,SOAB,5AD,AD3,OBAB,AB5,在RtADB中,BD4,ODOB+BD9,A(9,3),将点A坐标代入反比例函数中得,m9327,反比例函数的解析式为y,将点A(9,3),B(5,0)代入直线ykx+b中,k=,b=,直线AB的解析式为yx;(2

30、)由(1)知,AB5,ABP是等腰三角形,当ABPB时,PB5,P(0,0)或(10,0),当ABAP时,如图2,由(1)知,BD4,易知,点P与点B关于AD对称,DPBD4,OP5+4+413,P(13,0),当PBAP时,设P(a,0),A(9,3),B(5,0),AP2(9a)2+9,BP2(5a)2,(9a)2+9(5a)2a,P(,0),即:满足条件的点P的坐标为(0,0)或(10,0)或(13,0)或(,0) 30(2019山东青岛)某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示(1)求该商品每天的

31、销售量y与销售单价x之间的函数关系式;(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?【答案】(1)y2x+160;(2)故销售单价定为50元时,该超市每天的利润最大,最大利润1200元;(3)20【解析】解:(1)设y与销售单价x之间的函数关系式为:ykx+b,将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式得:,解得:,故函数的表达式为:y2x+160;(2)由题意得:w(x30)(2x+160)2(x55)2+12

32、50,20,故当x55时,w随x的增大而增大,而30x50,当x50时,w由最大值,此时,w1200,故销售单价定为50元时,该超市每天的利润最大,最大利润1200元;(3)由题意得:(x30)(2x+160)800,解得:x70,每天的销售量y2x+16020,每天的销售量最少应为20件31(2019山东潍坊)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫,帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场与去年相比,今年这种水果的产量增加了1000千克,每千克的平均批发价比去年降低了1元,批发销售总额比去年增加了20%(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元,求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元?(2)某水果店

33、从果农处直接批发,专营这种水果调查发现,若每千克的平均销售价为41元,则每天可售出300千克;若每千克的平均销售价每降低3元,每天可多卖出180千克,设水果店一天的利润为w元,当每千克的平均销售价为多少元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是多少?(利润计算时,其它费用忽略不计)【答案】(1)这种水果今年每千克的平均批发价是24元;(2)每千克的平均销售价为35元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是7260元【解析】解:(1)由题意,设这种水果今年每千克的平均批发价是x元,则去年的批发价为(x+1)元,今年的批发销售总额为10(120%)12万元整理得x219x1200解得x24或x5(不合

34、题意,舍去)故这种水果今年每千克的平均批发价是24元(2)设每千克的平均售价为m元,依题意,由(1)知平均批发价为24元,则有:w(m24)(180+300)60m2+4200m66240整理得w60(m35)2+7260a600,抛物线开口向下,当m35元时,w取最大值即每千克的平均销售价为35元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是7260元32(2019山东滨州)如图,抛物线与y轴交于点A,与x轴交于点B,C,将直线AB绕点A逆时针旋转90,所得直线与x轴交于点D(1)求直线AD的函数解析式;(2)如图,若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时,求点P的坐标和最

35、大距离;当点P到直线AD的距离为时,求sinPAD的值【答案】(1)yx+4;(2)点P的坐标是(6,),最大距离是;以求得sinPAD的值【解析】解:(1)当x0时,y4,则点A的坐标为(0,4),当y0时,解得,x14,x28,则点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(8,0),OAOB4,OBAOAB45,将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线AD,BAD90,OAD45,ODA45,OAOD,点D的坐标为(4,0),设直线AD的函数解析式为ykx+b,得,即直线AD的函数解析式为yx+4;(2)作PNx轴交直线AD于点N,如右图所示,设点P的坐标为(t,),则点N的坐标为(t,t+4),

36、PN()(t+4),PNx轴,PNy轴,OADPNH45,作PHAD于点H,则PHN90,PH,当t6时,PH取得最大值,此时点P的坐标为(6,),即当点P到直线AD的距离最大时,点P的坐标是(6,),最大距离是;当点P到直线AD的距离为时,如右图所示,则,解得,t12,t210,则P1的坐标为(2,),P2的坐标为(10,),当P1的坐标为(2,),则P1A,sinP1AD;当P2的坐标为(10,),则P2A,sinP2AD;由上可得,sinPAD的值是或 33(2019山东菏泽)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点

37、P作PDx轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x1(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在第二象限内,且PEOD,求PBE的面积(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1)yx2+x2;(2);(3)存在,M(,)【解析】解:(1)点A的坐标是(2,0),抛物线的对称轴是直线x1,则点B(4,0),则设函数的表达式为:ya(x2)(x+4)a(x2+2x8),即:8a2,解得:a,故抛物线的表达式为:yx2+x2;(2)将点B、C的坐标代入一次函数表达式:ym

38、x+n并解得:直线BC的表达式为:yx2,则tanABC,则sinABC,设点D(x,0),则点P(x,x2+x2),点E(x,x2),PEOD,PE(x2+x2x+2)(x),解得:x0或5(舍去x0),即点D(5,0)SPBEPEBD(x2+x2x+2)(4x);(3)由题意得:BDM是以BD为腰的等腰三角形,只存在:BDBM的情况,即BD1BM,则yMBMsinABC1,则xM,故点M(,)34(2019山东聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A(2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴

39、正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P,D,E(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC,AP,当直线l运动时,求使得PEA和AOC相似的点P的坐标;(3)作PFBC,垂足为F,当直线l运动时,求RtPFD面积的最大值【答案】(1 yx2+2x+8;(2)点P();(3)【解析】解:(1)将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得:,解得:a= -1,b=2,c=8,故抛物线的表达式为:yx2+2x+8;(2)点A(2,0)、C(0,8),OA2,OC8,lx轴,PEAAOC90,PAECAO,只有当PEAAOC时,PEAAOC,此时,即:,AE4PE,设点P的纵坐标为k,则PEk,AE4k,OE4k2,将点P坐标(4k2,k)代入二次函数表达式并解得:k0或(舍去0),则点P();(3)在RtPFD中,PFDCOB90,ly轴,PDFCOB,RtPFDRtBOC,SPDFSBOC,而SBOCOBOC48=16,BC,SPDFSBOCPD2,即当PD取得最大值时,SPDF最大,将B、C坐标代入一次函数表达式并解得:直线BC的表达式为:y2x+8,设点P(m,m2+2m+8),则点D(m,2m+8),则PDm2+2m+8+2m8(m2)2+4,当m2时,PD的最大值为4,故当PD4时,SPDFPD235

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