1、2018 年北京市民大附中高考数学三模试卷（理科）一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1 （5 分）设集合 Ax| 0，B x|x2，则 AB（ ）A （2，3） B （2，3 C1 ，+） D1 ，2）2 （5 分） “a0”是“函数 f（x ）x 3+ax 在区间（0，+）上是增函数”的（ ）A必要而不充分条件 B充分而不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）复数 z 满足：（zi） （2i ）5；则 （ ）A22i B2+2i C22i D2+2i4 （5 分）如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为
2、 3，每次输入的 a 值均为 4，输出 s 的值为 160，则输入 n 的值为（ ）A2 B3 C4 D55 （5 分）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边落到直线y2x 上，则 cos2（ ）A B C D6 （5 分）在ABC 中， ，P 是直线 BN 上的一点，若 m + ，则实数 m第 2 页（共 23 页）的值为（ ）A2 B1 C D7 （5 分）已知 x，y 满足 （k 为常数） ，若 zx 2y 最大值为 8，则 k（ ）A3 B4 C3 D8 （5 分）过直线 l：y 2x+a 上的点作圆 C：x 2+y21 的切线，若在直线 l 上存在一点M，使得过点
3、 M 的圆 C 的切线 MP，MQ（P，Q 为切点）满足PMQ90，则 a 的取值范围是（ ）A10，10 B ， C （，1010，+） D （， ，+）二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分请将答案直接填在卷对应题号后的横线上）9 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 x2+y21，曲线 C2 的参数方程为（t 为参数） 以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线 C1 与 C2 的交点的极坐标为 10 （5 分）已知等差数列a n中，公差 d0，a 12，a 1，a 2，a 4 是等比数列b n的前三项，则等差数列a n的公
4、差 d ，等比数列b n的前 n 项 Sn 11 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面中有 个直角三角形，侧面中所有直角三角形的面积是 12 （5 分）已知 a2 xdx，函数 f（x ）Asin（x+） （A0，0，| ）的部分图象如图所示，则函数 f（x + ）+ a 图象的对称中心可以是 第 3 页（共 23 页）13 （5 分）某单位安排甲乙丙等 5 人从星期一到星期五值班，每人值班 1 天，每天值班 1人，其中甲不值周一，乙不值周二，且甲和丙在相邻的两天值班，则不同的安排方案有 种（用数学作答） 14 （5 分）设函数 f（x ） （1）若 a0，则 f（x ）的最大值
5、是 （2）若 f（x）有最大值，则 a 的取值范围是 三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，）15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 acos（BC）acos（ B+C）2 bsinCcosA（）求角 A（）若ABC 的周长为 8，外接圆半径为 ，求ABC 的面积16 （13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售量（单位：台） ，并根据这 10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“
6、星级卖场” （1）求在这 10 个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（2）从乙型号的 10 个销售数据中任取两个数据，记其中大于等于 30 的数据有 X 个，求 X 的分布列和数学期望 E（X）（3）若 a1，记乙型号电视机销售量的方差为 s2，根据茎叶图推断 b 为何值时，s 2 达到最小值（只需写出结论）第 4 页（共 23 页）17 （14 分）在三棱柱 ABC ABC 中，AA 5，AB4，ABAC3，ACBC ，cosAAC（1）求证：面 ACCA面 ABC（2）求二面角 CAAB 的余弦值；（3）若 E，F 分别为棱 AB ，BC 上的点， ， ，且EF面 AC CA，求
7、的最大值18 （13 分）如图，已知椭圆 C： 1（ab0）的上顶点为 A（0，1） ，离心率为 （I）求椭圆 C 的方程；（II）若过点 A 作圆 M：（x+1） 2+y2r 2（圆 M 在椭圆 C 内）的两条切线分别与椭圆C 相交于 B，D 两点（B，D 不同于点 A） ，当 r 变化时，试问直线 BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由第 5 页（共 23 页）19 （14 分）已知函数 f（x ）e x（x1） （xR） （）求函数 f（x ）在 x1 处的切线方程；（）讨论函数 g（x）f（x）m（x 1） 2 零点的个数20 （13 分）已知曲线 C：xy1，过
8、C 上一点 A1（x 1，y 1）作斜率 k1 的直线，交曲线 C 于另一点 A2（x 2，y 2） ，再过 A2（x 2，y 2）作斜率为 k2 的直线，交曲线 C 于另一点A3（x 3，y 3） ，过 An（x n，y n）作斜率为 kn 的直线，交曲线 C 于另一点An+1（x n+1，y n+1），其中 x11，（1）求 xn+1 与 xn 的关系式；（2）判断 xn 与 2 的大小关系，并证明你的结论；（3）求证：|x 12|+|x 22|+ +|xn2|2第 6 页（共 23 页）2018 年北京市民大附中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 8 小题，
9、每小题 5 分，共 40 分）1 （5 分）设集合 Ax| 0，B x|x2，则 AB（ ）A （2，3） B （2，3 C1 ，+） D1 ，2）【分析】解不等式化简集合 A，根据交集的定义写出 AB【解答】解：集合 Ax| 0 x|1x3，B x|x2，则 ABx|2x 3（2，3） 故选：A【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2 （5 分） “a0”是“函数 f（x ）x 3+ax 在区间（0，+）上是增函数”的（ ）A必要而不充分条件 B充分而不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】求出导数，由题意求出 a 的范围，利用充要条件的判断方法，判断即可【解答】解
10、：函数 f（x ）x 3+ax 在区间（0，+）上是增函数，所以 f（x）3x 2+a0，所以 a0，显然，a0 则有函数 f（x ）x 3+ax 在区间（0，+）上是增函数，函数 f（x）x 3+ax在区间（0，+）上是增函数，a 可以为 0，所以“a0”是“函数 f（x）x 3+ax 在区间（0，+）上是增函数”的充分而不必要条件故选：B【点评】此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，导数的应用，是一道基础题3 （5 分）复数 z 满足：（zi） （2i ）5；则 （ ）A22i B2+2i C22i D2+2i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：（zi）
11、 （2 i）5；zi+ i + 2+2i ，则 22i第 7 页（共 23 页）故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4 （5 分）如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为 3，每次输入的 a 值均为 4，输出 s 的值为 160，则输入 n 的值为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的 s，k 的值，由题意可得4n3，即可得解输入 n 的值【解答】解：模拟程序的运行，可得x3，k0，s0，a4s4，k 1不满足条件 kn，执行循环体，a4，s16，k2不满足条
12、件 kn，执行循环体，a4，s52，k3不满足条件 kn，执行循环体，a4，s160，k4由题意，此时应该满足条件 kn，退出循环，输出 s 的值为 160，可得：4n3，所以输入 n 的值为 3故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟第 8 页（共 23 页）循环的方法解答，属于基础题5 （5 分）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边落到直线y2x 上，则 cos2（ ）A B C D【分析】利用任意角的三角函数的定义求得 tan的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2 的值【解答】解：角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正
13、半轴重合，终边落到直线y2x 上，tan2，则 cos2 ，故选：A【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题6 （5 分）在ABC 中， ，P 是直线 BN 上的一点，若 m + ，则实数 m的值为（ ）A2 B1 C D【分析】根据向量的加减运算法则，通过 ，把 用 和 表示出来，可得m 的值【解答】解： m + m +2 ，又B，P ，N 三点共线，m+21 ，m1故选：B【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用7 （5 分）已知 x，y 满足 （k 为常数） ，若 zx 2y 最大值为 8，则 k（ ）
14、A3 B4 C3 D第 9 页（共 23 页）【分析】由目标函数 zx2y 的最大值为 8，画出满足条件的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数 k 的方程组，消参后即可得到 k 的取值【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图：由 ，解得 A（ ， ） ，将 zx 2y 转化为：y x ，显然直线过 A（ ， ）时，z 最大，z 的最大值是： 8，解得：k ，故选：D【点评】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组） ，代入另一条直线方程，消去 x
15、，y 后，即可求出参数的值8 （5 分）过直线 l：y 2x+a 上的点作圆 C：x 2+y21 的切线，若在直线 l 上存在一点M，使得过点 M 的圆 C 的切线 MP，MQ（P，Q 为切点）满足PMQ90，则 a 的取值范围是（ ）A10，10 B ， C （，1010，+） D （， ，+）【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为 C（0，0）到直线 l 的距离小于或等于 ，再由点到直线的距离公式得到关于 a 的不等式求解【解答】解：圆 C：x 2+y21，圆心为：（0，0） ，半径为 1，第 10 页（共 23 页）在直线 l 上存在一点 M，使得过 M 的圆 C 的切线 MP，M
16、Q（P ，Q 为切点）满足PMQ90，在直线 l 上存在一点 M，使得 M 到 C（0，0）的距离等于 ，只需 C（0，0）到直线 l：y2x+a 的距离小于或等于 ，故 ，解得 a ，故选：B【点评】本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于是解决问题的关键，属中档题二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分请将答案直接填在卷对应题号后的横线上）9 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 x2+y21，曲线 C2 的参数方程为（t 为参数） 以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线 C1 与 C2 的交点的极坐
17、标为 （1， ） 【分析】曲线 C2 的参数方程消去参数，得曲线 C2 的普通方程为 x+y 0，联立，得 x ，y ，由此能求出曲线 C1 与 C2 的交点的极坐标【解答】解：曲线 C1 的方程为 x2+y21，曲线 C2 的参数方程为 （t 为参数） 曲线 C2 的普通方程为 x+y 0，联立 ，得 x ，y ， 1， ，曲线 C1 与 C2 的交点的极坐标为（1， ） 故答案为：（1， ） 【点评】本题考查两个曲线的交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题10 （5 分）已知等差数列a n中，公差 d0，a 12，a
18、 1，a 2，a 4 是等比数列b n的前三项，第 11 页（共 23 页）则等差数列a n的公差 d 2 ，等比数列b n的前 n 项 Sn 2 n+12 【分析】由已知列式求出等差数列的公差，进一步得到等比数列的公比，代入等比数列的前 n 项和公式求等比数列b n的前 n 项 Sn【解答】解：由 a12，a 1，a 2，a 4 是等比数列b n的前三项，得 ，即（2+d） 22（2+3d） ，解得 d2a 2a 1+d4，则数列b n是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， 故答案为：2；2 n+12【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质及前 n 项和，是中档题11 （
19、5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面中有 3 个直角三角形，侧面中所有直角三角形的面积是 4+ 【分析】利用三视图画出直观图，判断直角三角形的个数，求出面积即可【解答】解：四棱锥的直观图如图所示：SABCD，是正方体的一部分，其中SAB，SAD ，SBC 是直角三角形；共有 3 个正方体的棱长为 2，所以 3 个直角三角形的面积和为：4+ 故答案为：3；4+ 第 12 页（共 23 页）【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状12 （5 分）已知 a2 xdx，函数 f（x ）Asin（x+） （A0，0，| ）的部分图象如图所示，则函数
20、 f（x + ）+ a 图象的对称中心可以是 （ ，1） ，k 【分析】根据条件先求出函数的解析式，结合函数的对称性进行求解即可【解答】解：由图象值 A2，周期 T4（ ）4 ，即 ，则 2，则 f（x）2sin（2x +） ，f（ ）2sin（2 +）2，sin（ +）1，即 +2k+ ，则 2k + ，| ，当 k0 时， ，则 f（x）2sin（2x + ） ，a2 xdx2 x2 1，则 yf（x+ ）+ af（x + ）+12sin2（x+ ）+ +12sin（2x+ ）+1，由 2x+ k 得 x ，kZ，即函数的对称中心为（ ，1） ，kZ，第 13 页（共 23 页）故答案为：
21、（ ，1） ，kZ【点评】本题主要考查三角函数解析式以及三角函数的对称性的求解，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键13 （5 分）某单位安排甲乙丙等 5 人从星期一到星期五值班，每人值班 1 天，每天值班 1人，其中甲不值周一，乙不值周二，且甲和丙在相邻的两天值班，则不同的安排方案有 34 种（用数学作答） 【分析】根据题意，由于甲和丙在相邻的两天值班，据此分 4 种情况讨论：，甲和丙安排在周一二值班，甲和丙安排在周二三值班，甲和丙安排在周三四值班，甲和丙安排在周四五值班，分别求出每一种的安排方法数目，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，甲和丙在相邻的两天值班，则分 4 种情况讨
22、论：，甲和丙安排在周一二值班，由于甲不值周一，则只有甲值周二，丙值周一这 1 种情况，将剩余的 3 人全排列，安排在剩下的 3 天值班，有 A336 种情况，此时有 166 种安排方法；，甲和丙安排在周二三值班，则甲丙的安排方法有 A222 种，将剩余的 3 人全排列，安排在剩下的 3 天值班，有 A336 种情况，此时有 2612 种安排方法；，甲和丙安排在周三四值班，则甲丙的安排方法有 A222 种，乙不值周二，则乙有 2 种情况，将剩余的 2 人全排列，安排在剩下的 2 天值班，有 A222 种情况，此时有 2228 种情况，甲和丙安排在周四五值班，则甲丙的安排方法有 A222 种，乙不
23、值周二，则乙有 2 种情况，将剩余的 2 人全排列，安排在剩下的 2 天值班，有 A222 种情况，此时有 2228 种情况，则一共有 6+12+8+834 种；故答案为：34【点评】本题考查分类计数原理，分类讨论要做到“不重不漏” 分类后再分别对每一第 14 页（共 23 页）类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数14 （5 分）设函数 f（x ） （1）若 a0，则 f（x ）的最大值是 2 （2）若 f（x）有最大值，则 a 的取值范围是 a1 【分析】 （1）a0 时，讨论 f（x ）的图象与性质，求出 f（x）的最大值；（2）利用导数研究 f（x ）的单调性，求出 f（x）
24、有最大值时 a 的取值范围【解答】解：函数 f（x ） （1）a0 时，f（x ） ，则 f（x） ，当 0x1 时，f（x）0，此时函数为增函数，当 x1 时，f （x）0，此时函数为减函数，当 x0 时，f（ x）0；x1 时，f（ x）取得最大值为 2；（2）f（x） ，令 f（x）0 ，则 x1，若 f（x）有最大值，则 ，或 ，解得：a1 或 a；a 的取值范围是 a1故答案为：（1）2， （2）a1【点评】本题考查了分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，）15
25、 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 acos（BC）第 15 页（共 23 页）acos（B +C）2 bsinCcosA（）求角 A（）若ABC 的周长为 8，外接圆半径为 ，求ABC 的面积【分析】 （）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求 tanA 的值，结合 A的范围即可得解 A 的值（）由已知根据正弦定理可求 a，由已知可得 b2+c2+2bc25，由余弦定理进而可得bc 的值，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）acos（BC）acos（B+C）2 bsinCcosA，a（cosB cosC+
26、sinBsinCcos BcosC+sinBsinC）2 bsinCcosA，2asinBsinC 2 bsinCcosA，由正弦定理可得：sinAsinBsinC sinBsinCcosA，sinB0，sinC0，sinA cosA，tanA ，由 A（0，） ，可得：A （）ABC 的周长为 8，外接圆半径为 ，根据正弦定理 2R 得， 2 ，解得 a3，b+c5，平方可得 b2+c2+2bc25，又由余弦定理可得：9b 2+c2bc，9b 2+c2bc 253bc ，解得： bc ，S ABC bcsinA 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌
27、握定理及公式是解本题的关键，属于中档题16 （13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售量（单位：台） ，并根据这 10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场” 第 16 页（共 23 页）（1）求在这 10 个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（2）从乙型号的 10 个销售数据中任取两个数据，记其中大于等于 30 的数据有 X 个，求 X 的分布列和数学期望 E（X）（3）若 a1，记乙型号电视机销售量的方差为 s2，根据茎叶图推断 b 为何值时，s 2 达
28、到最小值（只需写出结论）【分析】 （1）根据茎叶图，利用平均数的计算公式可得得甲组数据的平均数，即可得出由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数（2）X 的可能取值为 0，1，2利用超几何分布列的计算公式及其性质即可得出（3）当 b0 时，s 2 达到最小值达到最小值【解答】解：（1）根据茎叶图，得甲组数据的平均数为24，由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为 5（2）X 的可能取值为 0，1，2乙型电视机销售数据中有 5 个数据大于等于 30P（X0） ，P（X1） ，P （X2） 所以 X 的分布列为X 0 1 2PX 的数学期望 E（X ）0 +1 +2 1（3）当 b0 时
29、，s 2 达到最小值达到最小值【点评】本题考查了茎叶图的性质、超几何分布列的性质、随机变量的数学期望与方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第 17 页（共 23 页）17 （14 分）在三棱柱 ABC ABC 中，AA 5，AB4，ABAC3，ACBC ，cosAAC（1）求证：面 ACCA面 ABC（2）求二面角 CAAB 的余弦值；（3）若 E，F 分别为棱 AB ，BC 上的点， ， ，且EF面 AC CA，求 的最大值【分析】 （1）求出 AC4 推导出 ACAC，AC面 ABC，由此能证明面ACCA面 ABC（2）推导出 ABAB ，AB AC，从而 AB面 ABC，过点 B
30、作 AC 的平行线建立坐标系，利用向量法能求出二面角 CAA B 的余弦值（3）推导出 （3 + ，3 ，3） ， （3，0， ） ，由 EF面ACCA，得 ，由此能求出 的最大值【解答】证明：（1）在三棱柱 ABC ABC 中，AA5，AB4，ABAC3，ACBC ，cosAAC ，AC 4，在AAC 中，AA 2AC 2+AC 2，ACAC，ACBC，ACBCC， AC 面 ABC，AC面 ACCA，面 AC CA 面 ABC 解：（2）AA5，AB 4，AB 3，ABAB，AC面 ABC，AB AC，又ACAB A，AB面 ABC，第 18 页（共 23 页）如图过点 B 作 AC 的平
31、行线建立坐标系，ACBC，AB4，AC3， BC ，C（ ） ，A（ ，3，0） ，A （0，0，3） ，B（ ，3，3） ，设面 AAC 的法向量为 （x，y，z） ，（ ） ， （0，3，0） ， ，令 z7，得 （3，0， ） ，设面 AAB 的法向量为 （x ，y，z） ，（ ，3，3） ， （ ，3，0） ， ，令 y ，得 （3， ，0） ，设所求二面角为 ，则|cos | ，而 ，二面角 CAAB 的余弦值 cos （3） ， ，设 E（x 1，y 1，z 1） ，F（x 2，y 2，z 2） ， ，E（ ） ，F（3 ，0，0） ， （3 + ，3，3） ， （3，0， ） ，
32、由 EF面 A CCA，得 ，3（ ）3 0，+ 1，而 ， （0，1） ，（ ） 2 ， 的最大值为 ，此时 第 19 页（共 23 页）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两数值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18 （13 分）如图，已知椭圆 C： 1（ab0）的上顶点为 A（0，1） ，离心率为 （I）求椭圆 C 的方程；（II）若过点 A 作圆 M：（x+1） 2+y2r 2（圆 M 在椭圆 C 内）的两条切线分别与椭圆C 相交于 B，D 两点（B，D 不同于点 A） ，当 r 变
33、化时，试问直线 BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由第 20 页（共 23 页）【分析】 （）利用已知条件求出 a，b 即可求解椭圆 C 的方程（）设切线方程为 ykx+1，则有（1r 2）k 22k+1 r20，设两条切线分别的斜率分别为 k1，k 2，于是 k1，k 2 是方程（1r 2）k 22k+1r 20 的两实根，故 k1k21设直线 BD 的方程为 ymx +t，由 得（1+2m 2）x 2+4tmx+2t220，又 ，即（mx 1+t1） （mx 2+t1）x 1x2（m 21）x 1x2+m（t1） （x 1+x2）+（t 1） 20，求得 t，推出直线
34、 BD 过定点【解答】解：（）e ，由题设知 故所求椭圆 C 的方程是 （）：设切线方程为 ykx+1，则有，化简得 ，即（1r 2）k22k+1r 20设两条切线分别的斜率分别为 k1，k 2，于是 k1，k 2 是方程（1r 2）k 22k+1r 20 的两实根，故 k1k21设直线 BD 的方程为 ymx +t，由 得（1+2m 2）x 2+4tmx+2t220， ， ，又 ，即（mx 1+t1） （mx 2+t1）x 1x2第 21 页（共 23 页）（m 21）x 1x2+m（t1） （ x1+x2）+（t1） 20， +（t1） 20，t3直线 BD 过定点（0，3）【点评】本题考
35、查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线恒过定点问题，考查转化思想以及计算能力19 （14 分）已知函数 f（x ）e x（x1） （xR） （）求函数 f（x ）在 x1 处的切线方程；（）讨论函数 g（x）f（x）m（x 1） 2 零点的个数【分析】 （）f（x ）xe x，可得 f（1）e，切点为（1，0） ，利用点斜式即可得出（） 函数 g（x ）f（x）m （x1） 2 零点的个数即是方程 f（x）m （x1）20 根的个数，等价于两个函数 h（x） 与函数 ym 图象交点的个数加1h（x） ，利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：（）f（x ）xe x
36、，f （1）e，切点为（1，0） ，则切线方程为 y0e （x 1 ） ，即 exye0（） 函数 g（x ）f（x）m （x1） 2 零点的个数即是方程 f（x）m （x1）20 根的个数，等价于两个函数 h（x） 与函数 ym 图象交点的个数加 1h（x） ，当 x（， 1）时，h（x）0，h（x）在（，1）上单调递减；当 x（1，2）时， h（x）0，h（x）在（1，2）上单调递减；当 x（2，+）时，h（x）0，h（x）在（2，+）上单调递增，h（x）在（1，+）上有最小值为 h（2）e 2其图象为：当 m（，0）或 me 2 时，函数 h（x） 与函数 ym 图象交点的个数为 1；当
37、 m0，e 2）时，函数 h（x） 与函数 ym 图象交点的个数为 0；第 22 页（共 23 页）当 m（e 2，+）时，曲函数 h（x） 与函数 ym 图象交点的个数为 2综上所述，当 m（e 2，+）时，时，函数 g（x）有三个零点；当 m（，0）或 me 2 时时，函数 g（x）有两个零点；当 m0，e 2）时时，函数 g（x）有一个零点【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、函数零点、分类讨论方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20 （13 分）已知曲线 C：xy1，过 C 上一点 A1（x 1，y 1）作斜率 k1 的直线，交曲线 C 于另一点 A2（x
38、 2，y 2） ，再过 A2（x 2，y 2）作斜率为 k2 的直线，交曲线 C 于另一点A3（x 3，y 3） ，过 An（x n，y n）作斜率为 kn 的直线，交曲线 C 于另一点An+1（x n+1，y n+1），其中 x11，（1）求 xn+1 与 xn 的关系式；（2）判断 xn 与 2 的大小关系，并证明你的结论；（3）求证：|x 12|+|x 22|+ +|xn2|2【分析】 （1）过 An（x n，y n）斜率为 的直线为 yy n （xx n） ，An+1 在直线上，化简即可求 xn+1 与 xn 的关系式；（2）利用（1）的结论，分当 n 为奇数时，判断 xn2；当 n
39、为偶数时，判断 xn2，然后推理证明的结论；（3）利用 ，再利用放缩法，推出|x n2| ，再证明|x1 2|+|x22|+|x n2| 2第 23 页（共 23 页）【解答】解：（1）由已知过 An（x n，y n）斜率为 的直线为 yy n（xx n） ，直线交曲线 C 于另一点 An+1（x n+1，y n+1）所以 yn+1y n （x n+1x n） （2 分）即 （x n+1x n） ，x n+1x n0，所以 （4 分）（2）解：当 n 为奇数时，x n2；当 n 为偶数时，x n2（5 分）因为 ， （6 分）注意到 xn0，所以 xn2 与 xn1 2 异号由于 x112，所以 x22，以此类推，当 n2k1（k N*）时，x n 2；当 n2k（kN *）时，x n2（ 8 分）（3）由于 xn0， ，所以 xn1（n1，2，3， ） （9 分）所以 （10 分）所以|x n2| （12 分）所以|x 12|+|x 2+2|+|xn2| （14 分）【点评】本题考查直线的斜率，不等式的证明，考查分析问题解决问题的能力，是中档题
