1、2019 年北京市民大附中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）1 （3 分）已知集合 A1 ，0，1，2，3 ，B1，1，则 AB（ ）A1 ，2 B0 ，1，2 C0 ，2，3 D0 ，1，2，32 （3 分）复数 的虚部是（ ）A3 B2 C2i D3i3 （3 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A25 B24 C23 D224 （3 分）某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为 8，则该几何体侧面积的最大值为（ ）A B2 C4 D165 （3 分）已知 ，则 （ ）A B
2、C D6 （3 分）已知等差数列a n中，a 3+a5a 4+7，a 1019，则数列 ancosn的前 2018 项和为（ ）A1008 B1009 C2017 D20187 （3 分）已知点 P 为圆 C：（ x1） 2+（y2） 24 上一点，A（0，6） ，B（4，0） ，则| + |的最大值为（ ）A +2 B +4 C2 +4 D2 +28 （3 分）已知 F1，F 2 分别是椭圆 C： + 1 的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点 P，使得 PF 1F2 的面积为 ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ）A （ ， ） B （ ，1） C （ ，1） D （ ，1）二、填空题（
3、本大题共 6 小题，共 30.0 分）9 （3 分）已知函数 f（x ） ，若 f（1） +f（1）1，则 a 10 （3 分）在平面直角坐标系中，若 x，y 满足约束条件 ，则 z3x+2y 的最大值为 11 （3 分）在面积为 S 的三角形 ABC 的边 AB 上任意取一点 P，则三角形 PBC 的面积大于 的概率为 12 （3 分）正项数列a n满足 a11，a 22，又 是以 为公比的等比数列，则使得不等式 成立的最小整数 n 为 13 （3 分）已知抛物线 C：x 22py（p0）的焦点为 F，O 为坐标原点，点 M（4， ） ，N（1， ） ，射线 MO，NO 分别交抛物线 C 于
4、异于点 O 的点 A，B，若 A，B，F 三点共线，则 p 的值为 14 （3 分）在ABC 中，D 是 AB 的中点，ACD 与CBD 互为余角，AD2，AC3，则 sinA 的值为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15已知数列a n是等差数列，b n是等比数列，a 11，b 12，a 2+b27，a 3+b313（1）求a n和b n的通项公式；（2）若 ，求数列c n的前 2n 项和 S2n16在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c满足 2acosC+bcosC+ccosB0（）求角 C 的大小；（）若 a2，ABC 的面积为 ，求 c 的大小17某
5、公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式：方式一：周一到周五每天培训 1 小时，周日测试方式二：周六一天培训 4 小时，周日测试公司有多个班组，每个班组 60 人，现任选两组（记为甲组、乙组）先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：第一周 第二周 第三周 第四周甲组 20 25 10 5乙组 8 16 20 16（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到 0.1） ，并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求这 2 人中至少有 1 人来
6、自甲组的概率18在平行四边形 ABCD 中，AB3，BC2，过 A 点作 CD 的垂线，交 CD 的延长线于点E， 连结 EB，交 AD 于点 F，如图 1，将ADE 沿 AD 折起，使得点 E 到达点P 的位置，如图 2（1）证明：平面 BFP平面 BCP；（2）若 G 为 PB 的中点，H 为 CD 的中点，且平面 ADP平面 ABCD，求三棱锥GBCD 的体积19已知函数 ，其中 tR（1）函数 f（x ）的图象能否与 x 轴相切？若能，求出实数 t，若不能，请说明理由；（2）讨论函数 f（x ）的单调性20已知抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一
7、点，过点 A的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有|FA| |FD|，当点 A 的横坐标为3 时，ADF 为正三角形（）求 C 的方程；（）若直线 l1l，且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E，试问直线 AE 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由2019 年北京市民大附中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）1 （3 分）已知集合 A1 ，0，1，2，3 ，B1，1，则 AB（ ）A1 ，2 B0 ，1，2 C0 ，2，3 D0 ，1，2，3【分析】进行补集的运算即可【解答】解：A1，0
8、， 1，2，3 ，B1，1 ； AB0，2 ，3故选：C【点评】考查列举法的定义，以及补集的运算2 （3 分）复数 的虚部是（ ）A3 B2 C2i D3i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： ，复数 的虚部是 2故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （3 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A25 B24 C23 D22【分析】首先把三视图进行复原，进一步求出几何体的表面积【解答】解：根据三视图，该几何体是，边长为 2 的正方体，在右前方切去一个边长为1 的正方体
9、，则：表面积没有变化故：S62224故选：B【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用4 （3 分）某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为 8，则该几何体侧面积的最大值为（ ）A B2 C4 D16【分析】由三视图知该几何体为圆锥，设出底面圆半径和母线长，利用基本不等式求出圆锥侧面积的最大值【解答】解：由三视图知，该几何体为圆锥，设底面圆的半径为 r，母线的长为 l，则 2r+2l8，即 r+l4；圆锥的侧面积为 S 侧 ， （当且仅当 rl 时“”成立） ；圆锥的侧面积最大值为 4故选：C【点评】本题考查了圆锥的三视图与应用问题，是基础题5 （3 分）已知 ，则 （ ）A B C
10、D【分析】由题意利用两角和差的正切公式求得 tan的值，再利用两角和差的正切公式求得要求式子的值【解答】解：已知 ，tan 2 ，则 2，故选：D【点评】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于基础题6 （3 分）已知等差数列a n中，a 3+a5a 4+7，a 1019，则数列 ancosn的前 2018 项和为（ ）A1008 B1009 C2017 D2018【分析】首先利用等差数列的项求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【解答】解等差数列a n中，a 3+a5a 4+7，a 1019，则：2a 4a 47，所以：a 47，整理得：a n2n1，则：数列设 bna ncos
11、n，则：b 11，b 23，b 35，b 47，S2018（1+3）+ （5+7 ） +（4033+4035） ，21009，2018故选：D【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型7 （3 分）已知点 P 为圆 C：（ x1） 2+（y2） 24 上一点，A（0，6） ，B（4，0） ，则| + |的最大值为（ ）A +2 B +4 C2 +4 D2 +2【分析】根据题意，设 P（x，y ） ，求出向量 + 的坐标，据此可得| + |2（2x 4） 2+（2y+6） 24 （x2） 2+（y+3） 2，即| + |
12、2，设 t ，分析 t 的几何意义，结合点与圆的位置关系分析可得答案【解答】解：根据题意，设 P（x，y ） ，则 （x， 6y ） ， （4x，y） ，则 + （42x，62y） ，则| + |2（2x 4） 2+（ 2y+6） 24 （x2） 2+（y+3 ） 2，即| + |2，设 t ，其几何意义为点 P 到点（2，3）的距离，设 M（2，3） ；点 P 为圆 C：（x 1） 2+（y2） 24 上一点，且|MC| ，t 的最大值为|MC|+ r+2，则| + |的最大值为 2 +4；故选：C【点评】本题考查圆的方程的应用，涉及向量模的计算，关键是分析| + 的几何意义，属于基础题8
13、（3 分）已知 F1，F 2 分别是椭圆 C： + 1 的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点 P，使得 PF 1F2 的面积为 ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ）A （ ， ） B （ ，1） C （ ，1） D （ ，1）【分析】求出椭圆的焦距，求出椭圆的短半轴的长，利用已知条件列出不等式求出 m 的范围，然后求解离心率的范围【解答】解：F 1，F 2 分别是椭圆 C： + 1 的上下两个焦点，可得 2c2 ，短半轴的长： ，椭圆上存在四个不同点 P，使得PF 1F2 的面积为 ，可得 2 ，可得 m24m+30，解得 m（1，3） ，则椭圆 C 的离心率为：e （ ， ） 故选：A
14、【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）9 （3 分）已知函数 f（x ） ，若 f（1） +f（1）1，则 a 【分析】推导出 f（1）+f（1）2 1 +a1，由此能求出 a 的值【解答】解：函数 f（x ） ，f（1）+ f（1）1，f（1）+f（1）2 1 +a 1，解得 a 故答案为： 【点评】本题考查实数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10 （3 分）在平面直角坐标系中，若 x，y 满足约束条件 ，则 z3x+2y 的最大值为 8 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，
15、进行求最值即可【解答】解：作出 x，y 满足约束条件 对于的平面区域如图：由 z3x+2y，则 y x+平移直线 y x+ ，由图象可知当直线 y x+ ，经过点 A 时，直线 y x+ 的截距最大，此时 z 最大，由，解得 A（2，1） ，此时 zmax32+218，故答案为：8【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键11 （3 分）在面积为 S 的三角形 ABC 的边 AB 上任意取一点 P，则三角形 PBC 的面积大于 的概率为 【分析】首先分析题目求在面积为 S 的ABC 的边 AB 上任取一点 P，则PBC 的面积大于 的概率，可借助于画
16、图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么再根据几何关系求解出它们的比例即可【解答】解：记事件 A PBC 的面积大于 的概率，基本事件空间是线段 AB 的长度， （如图）因为 SPBC ，则有 BCPE BCAD；化简记得到： ，因为 PE 平行 AD 则由三角形的相似性 ；所以，事件 A 的几何度量为线段 AP 的长度，因为 AP AB，所以 P（A ） 故PBC 的面积大于 的概率的概率为 ；故答案为： 【点评】解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，并且熟练记忆有关的概率公式12 （3 分）正项数列a n满足 a11，a 22，又
17、 是以 为公比的等比数列，则使得不等式 成立的最小整数 n 为 6 【分析】本题可先根据已知条件算出数列 的通项公式，再得出 关于 n 的表达式，再观察不等式 ，联系数列 的特点可从不等式的第二项开始运用均值不等式进行合并、整理、化简，得到关于 n 的最简算式，再与 2019 分析比较得到 n 的最小取值【解答】解：由题意，可知： ， 是以 为首项，以 为公比的等比数列 1+1+2（ ）1+2（ ）1+2 （4 1+42+4n）1+1+ 1+即 整理，得： 而 452 101024，4 62 124096经过比较，可得知：n6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列求通项公式，等比数列求前
18、n 项和，以及均值不等式的应用，最后分析比较得出指数函数的求值问题，本题是一个比较综合性的试题，属较难的中档题13 （3 分）已知抛物线 C：x 22py（p0）的焦点为 F，O 为坐标原点，点 M（4， ） ，N（1， ） ，射线 MO，NO 分别交抛物线 C 于异于点 O 的点 A，B，若 A，B，F 三点共线，则 p 的值为 2 【分析】由题意求出 OM、ON 所在直线方程，与抛物线方程联立，求出 A，B 的坐标，由向量共线列式求得 p 的值【解答】解：抛物线 C：x 22py（p0）的焦点为 F（0， ） ，点 M（4， ） ，N（1， ） ，则射线 MO 的方程为 y x，NO 的方
19、程为 y x，由 ，解得点 A（ ， ） ；由 ，解得 B（p 2， ） ； （ ， ） ，（p 2， ） ，又 A，B，F 三点共线， +p2 0，解得 p2，p 的值为 2故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系应用问题，是中档题14 （3 分）在ABC 中，D 是 AB 的中点，ACD 与CBD 互为余角，AD2，AC3，则 sinA 的值为 【分析】首先利用余弦定理和正弦定理求出 CD 的长，进一步利用三角函数关系式的恒等变换求出结果【解答】解：如图所示：在ADC 中，设ACD，则：CBD ，利用余弦定理： 在ADC 中，利用正弦定理： ，故： ，所以：
20、 ，解得：cosA ，在ACD 中，利用余弦定理： ，所以： ，整理得：CD 49CD 2+200解得： 当 CD2 时，cosA 所以：sinACD 时，cosA ，所以：sinA 故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15已知数列a n是等差数列，b n是等比数列，a 11，b 12，a 2+b27，a 3+b313（1）求a n和b n的通项公式；（2）若 ，求数列c n的前 2n 项和 S2n【分析】 （1）直接利用已知条件求出数列的通项公式（2）利用（1）的通项公式，直接利用分组法求出
21、数列的和【解答】解：（1）数列a n是等差数列，b n是等比数列，设公差为 d，公比为 q由于：a 11，b 12，a 2+b27，a 3+b313则： ，解得：q2，d2故：a na 1+2（n1）2n1（2）由于： ，则： 故： +（4n3）+2 2n， + ， 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用利用分组法求出数列的和16在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c满足 2acosC+bcosC+ccosB0（）求角 C 的大小；（）若 a2，ABC 的面积为 ，求 c 的大小【分析】 （I）根据正弦定理将边化角，化简即可得出 cosC；（II）根据面积计
22、算 b，再利用余弦定理即可得出 c 的值【解答】解：（I）在ABC 中，2acosC+bcosC+ccosB 0，由正弦定理可得：2sinAcosC+sin BcosC+sinCcosB0，2sinAcosC+sin （B +C）0，又ABC 中，sin（B+C）sinA0cos C ，0CC ，（II）由 S absinC ，a2，C 得 b1，由余弦定理得 c24+1221（ ）7，c 【点评】本题考查了正、余弦定理解三角形，属于中档题17某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式：方式一：周一到周五每天培训 1 小时，周日测试方式二：周六一天培训 4 小时，周日测试公司有多个班组，每个班
23、组 60 人，现任选两组（记为甲组、乙组）先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：第一周 第二周 第三周 第四周甲组 20 25 10 5乙组 8 16 20 16（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到 0.1） ，并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求这 2 人中至少有 1 人来自甲组的概率【分析】 （1）分别求出甲乙两组员工受训的平均时间，据此可判断培训方式一比方式二效率更高（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法
24、抽取 6 人，则这 6 人中来自甲组的人数为 2，来自乙组的人数为 4，记来自甲组的 2 人为：a、b；来自乙组的 4 人为：c、d、e、f，则从这 6 人中随机抽取 2 人，利用列举法能求出这 2 人中至少有 1 人来自甲组的概率【解答】解：（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为 t1、t 2，则 （小时）（2 分）（小时）（4 分）据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为 10 小时和 10.9 小时，因 1010.9，据此可判断培训方式一比方式二效率更高（6 分）（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 6 人，则这 6 人中来自甲组的人数为：，（7 分）
25、来自乙组的人数为：，（8 分）记来自甲组的 2 人为：a、b；来自乙组的 4 人为：c、d、e、f，则从这 6 人中随机抽取 2 人的不同方法数有：（a，b） ， （a，c） ， （a，d） ， （a，e） ， （a，f ） ， （b，c） ， （b，d） ， （b，e） ， （b，f） ，（c，d） ， （c，e ） ， （c，f） ， （d，e ） ， （d，f） ， （e，f ） ，共 15 种，（10 分）其中至少有 1 人来自甲组的有：（a，b） ， （a，c） ， （a，d） ， （a，e） ， （a，f） ， （b，c） ，（b，d） ， （b，e） ， （b，f） ，共 9 种
26、，故这 2 人中至少有 1 人来自甲组的概率 （12 分）【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查古典概型、列举法、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18在平行四边形 ABCD 中，AB3，BC2，过 A 点作 CD 的垂线，交 CD 的延长线于点E， 连结 EB，交 AD 于点 F，如图 1，将ADE 沿 AD 折起，使得点 E 到达点P 的位置，如图 2（1）证明：平面 BFP平面 BCP；（2）若 G 为 PB 的中点，H 为 CD 的中点，且平面 ADP平面 ABCD，求三棱锥GBCD 的体积【分析】 （1）证明 BEAD PFAD，BFAD 推出 PFBC，BFBC，得到
27、 BC平面 BFP，然后证明平面 BFP平面 BCP（2）解法一：证明 PF平面 ABCD取 BF 的中点为 O，连结 GO，得到 GO平面ABCD然后求解棱锥的高解法二：证明 PF平面 ABCD三棱锥 GBCH 的高等于 说明BCH 的面积是四边形 ABCD 的面积的 ，通过 ，求解三棱锥GBCH 的体积【解答】 （1）证明：如题图 1，在 RtBAE 中，AB3， ，所以AEB60在 Rt AED 中，AD2，所以DAE30所以 BEAD 如题图 2，PFAD ，BFAD又因为 ADBC，所以PFBC，BF BC，PFBFF，所以 BC平面 BFP，又因为 BC平面 BCP，所以平面 BF
28、P平面 BCP（2）解法一：因为平面 ADP平面 ABCD，平面 ADP平面 ABCDAD，PF平面 ADP，PFAD，所以 PF平面 ABCD取 BF 的中点为 O，连结 GO，则 GOPF，所以 GO平面 ABCD即 GO 为三棱锥 GBCH 的高且 因为，三棱锥 GBCH 的体积为解法二：因为平面 ADP平面 ABCD，平面 ADP平面 ABCDAD ，PF平面 ADP，所以 PF平面 ABCD因为 G 为 PB 的中点所以三棱锥 GBCH 的高等于 因为 H 为 CD 的中点，所以BCH 的面积是四边形 ABCD 的面积的 ，从而三棱锥 GBCH 的体积是四棱锥 PABCD 的体积的
29、面 ，所以三棱锥 GBCH 的体积为 【点评】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力19已知函数 ，其中 tR（1）函数 f（x ）的图象能否与 x 轴相切？若能，求出实数 t，若不能，请说明理由；（2）讨论函数 f（x ）的单调性【分析】 （1）根据题意，求出函数的导数，假设函数 f（x）的图象与 x 轴相切于点（x 0，0） ，结合函数导数的几何意义可得 ，即 ，分析可得方程无解，即可得结论；（2）根据题意，求出函数的解析式，对 t 的值分情况讨论，分析函数的单调性，综合即可得答案【解答】解：（1）根据题意，函数 ，则 f（
30、x）xe xtxx（e xt） 假设函数 f（x）的图象与 x 轴相切于点（x 0，0） ，则有 ，即 显然 x00，将 代入方程 中，得 显然此方程无解故无论 t 取何值，函数 f（x）的图象都不能与 x 轴相切（2）由于 f（x ）xe xtxx（e xt） ，当 t0 时，e xt0，当 x0 时，f （x）0，f（x ）递增，当 x0 时，f （x）0，f（ x）递减；当 t0 时，由 f（x）0 得 x0 或 xlnt，当 0 t1 时，lnt0，当 x0 时，f （x）0，f（ x）递增，当 lntx0 时，f（x）0，f（x ）递减，当 xlnt，f（ x）0，f（x ）递增；当
31、 t 1 时，f（x）0，f（x ）递增；当 t 1 时，lnt0，当 xlnt 时，f（x）0，f（x ）递增，当 0xlnt 时，f（x）0，f（x ）递减，当 x0 时，f （x）0，f（ x）递增综上，当 t0 时，f（x）在（，0）上是减函数，在（ 0，+）上是增函数；当 0t1 时，f（x）在（，lnt） ， （0，+）上是增函数，在（lnt ，0）上是减函数；当 t1 时，f（x）在（，+）上是增函数；当 t1 时，f（x）在（，0） ， （lnt，+）上是增函数，在（0，lnt ）上是减函数【点评】本题考查函数的导数与单调性的关系，设函数的切线的方程，关键是掌握导数的几何意义2
32、0已知抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有|FA| |FD|，当点 A 的横坐标为3 时，ADF 为正三角形（）求 C 的方程；（）若直线 l1l，且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E，试问直线 AE 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由【分析】 （I）根据等边三角形的性质可知 A 点横坐标为 FD 的中点横坐标，列出方程解出 p（II）根据|FA|FD|列出方程得出 A，D 横坐标的关系，从而得出 l 的斜率，设 l1 方程，与抛物线方程联立，由判别
33、式0 得出 l 的截距与 A 点坐标的关系，求出 E 点坐标，得出 AE 方程，根据方程特点判断定点坐标【解答】解：（I）抛物线的焦点 F（ ，0） ，设 D（t ，0） ，则 FD 的中点为（ ，0） |FA| |FD|，3+ | t |，解得 t3+ p 或 t3（舍） ， ，解得 p2抛物线方程为 y24x （II）由（I）知 F（1，0） ，设 A（x 0，y 0） ，D （x D，0） ，|FA| |FD|，则|x D1|x 0+1，由 xD0 得 xDx 0+2，即 D（x 0+2，0） 直线 l 的斜率为 kAD l 1l ，故直线 l1 的斜率为 设直线 l1 的方程为 y x+b，联立方程组 ，消元得：y 2+ y 0，直线 l1 与抛物线相切， ，b 设 E（x E，y E） ，则 yE ，x E ，当 y024 时，k AE ，直线 AE 的方程为 yy 0 （xx 0） ，y 024x 0，直线 AE 方程为 y 直线 AE 经过点（1，0） 当 y024 时，直线 AE 方程为 x1，经过点（1，0） 综上，直线 AE 过定点 F（1，0） 【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，属于中档题
