1、2018 年天津市河西区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 U2，3，4，5，6，7，集合 A4，5，7，B4 ，6，则A（ UB）（ ）A1 ，2 B2 C2 ，5 D5 ，72 （5 分）若实数 x，y 满足 ，则 z3x +y 的最大值为（ ）A12 B24 C28 D203 （5 分）如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 值为（ ）A3 B3 C2 D24 （5 分）设 xR，则“|x|+|x 2|4”是“x 2x60”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条
2、件5 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，且对于定义域内任意的 x 均满足 f（x+4）f（x ） ，当 x（0，2）时，f （x）2e x（e 为自然对数的底数） ，则 f（ln ）（ ）第 2 页（共 22 页）A8 B8 C4 D46 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P 在双曲线的右支上，若|PF 1| |PF2|2，且双曲线的一条渐近线与直线 x+2y+10 垂直，则双曲线的方程为（ ）A 1 Bx 24y 21 Cx 2 D4x 2y 217 （5 分）已知函数 f（x ） sinx+cosx（ 0）的图象与 x 轴交点的横
3、坐标构成一个公差为 的等差数列，把函数 f（x ）的图象沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数g（x）的图象关于函数 g（x） ，现有如下命题：在 上是增函数；其图象关于点（ ）对称；函数 g（x）是奇函数；当 x 时，函数 g（x）的值域是 2，1其中真命题的个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个8 （5 分）已知函数 f（x ）+2 ，当 x（0，1时，f（x）x 2，若在区间（1，1内，g（x ）f（x） t（x+1）有两个不同的零点，则实数 t 的取值范围是（ ）A B C D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上.9 （5 分）已
4、知 a，bR，i 为虚数单位，若 3+4i ，则 a+b 10 （5 分）已知正实数 x，y 满足 x ，则 的最小值为 11 （5 分）已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的体积为 8，面 A1B1C1D1 在一个半球的底面上，A、B 、C 、D 四个顶点都在此半球的球面上，则此半球的体积为 12 （5 分）设抛物线 C： ， （t 为参数）的焦点为 F，曲线 （s 为参数，第 3 页（共 22 页）k0）与 C 交于点 P，PF x 轴，则 k 13 （5 分）在ABC 中，A60，| |2，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 BC 上， ， ，若 ，则| | 14 （5 分）已知函
5、数 f（x ） 为 R 上的单调函数，且x 0R，使得ax 00，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知A ，b 2a 2 （）求 tanC 的值；（）求 tan（2C ）的值16 （13 分）在对某渔业产品的质量调查中，从甲、乙两地出产的产品中随机抽取 10 件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克） 如表是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量大于等于 15 毫克时为优质品（）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优
6、质品件数/总件数） （）从乙地抽出的上述 10 件产品中，随机抽取 3 件，记抽到的 3 件产品中优质品数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望17 （13 分）如图所示的几何体 ABCDE 中，DA平面EAB，AB ADAE 2BC2，CBDA ，EA AB，M 是 EC 上的点（不与端点重合） ，F 为 AD 上的点， N 为 BE 的中点（）若 M 为 CE 的中点，AF3FD（i）求证：FN平面 MBD；（ii）求点 F 到平面 MBD 的距离（）若平面 MBD 与平面 ABD 所成角（锐角）的余弦值为 ，试确定点 M 在 EC 上的位置第 4 页（共 22 页）18 （13 分）
7、已知各项均为正数的数列a n的前 n 项和为 Sn，当 n2 时，满足（a nS n1 ） 2S nSn1 ，且 a11（）求证：数列S n是等比数列；（）设 bn（log 4 ） Sn，求数列b n的前 n 项和 Tn19 （14 分）已知椭圆 C1 的方程为 （ab0） ，离心率 e ，其一个焦点在抛物线 C2：y 22px （p0）的准线上，且抛物线 C2 与直线 l：xy + 0 相切（）求椭圆 C1 的方程；（）若点 M，N 为椭圆 C1 上的两个不同的点，T 为平面内任意一点，满足： ，直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ，试说明：是否存在两个定点 F1，F 2，使得|TF 1|+
8、|TF2|为定值？若存在，求点 F1，F 2 的坐标；若不存在，则说明理由20 （14 分）已知函数 f（x ）x 3+ax2+bx+1（a0，b R）有极值，且导函数 f（x）的极值点是 f（x ）的零点（）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（）证明：b 23a；（）若 f（x） ，f（x ）这两个函数的所有极值之和不小于 ，求实数 a 的取值范围第 5 页（共 22 页）2018 年天津市河西区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 U2，3，4，5，6，7，集合 A4，5，7，B4 ，6
9、，则A（ UB）（ ）A1 ，2 B2 C2 ，5 D5 ，7【分析】先由补集定义求出 UB，再由交集定义能求出 A（ UB） 【解答】解：全集 U2，3，4，5，6，7，集合 A4，5，7，B4 ，6， UB2，3 ，5，7，A（ UB）5，7 故选：D【点评】本题考查的知识点是集合的交集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题2 （5 分）若实数 x，y 满足 ，则 z3x +y 的最大值为（ ）A12 B24 C28 D20【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合，即可得到结论【解答】解：作出实数 x，y 满足 对应的平面区域如图：由 z3
10、x+y 得 y3x +z，平移直线 y3x +z，由图象可知当直线 y3x +z，经过点 A 时，直线的截距最大，此时 z 最大由 ，解得即 A（5，13） ，此时 zmax35+1328，故选：C第 6 页（共 22 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键3 （5 分）如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 值为（ ）A3 B3 C2 D2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得S0，i1第 7 页（共 22 页）不满足条
11、件 i6，不满足条件 i 是偶数，S1，i2不满足条件 i6，满足条件 i 是偶数，S1，i3不满足条件 i6，不满足条件 i 是偶数，S2，i4不满足条件 i6，满足条件 i 是偶数，S2，i5不满足条件 i6，不满足条件 i 是偶数，S3，i6不满足条件 i6，满足条件 i 是偶数，S3，i7满足条件 i6，退出循环，输出 S 的值为3故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题4 （5 分）设 xR，则“|x|+|x 2|4”是“x 2x60”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
12、【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当 x2 时，由| x|+|x2|4 得 2x24，得 x3，此时 2x3，若 0x2，由|x|+|x 2|4 得 xx24，得24，此时 0x2，若 x0，由|x|+| x2|4 得xx24，得 x1，此时 1x0，综上1x3，由 x2x60 得2x 3 ，即“|x|+|x2|4”是“x 2x60”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键5 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的奇函数
13、，且对于定义域内任意的 x 均满足 f（x+4）f（x ） ，当 x（0，2）时，f （x）2e x（e 为自然对数的底数） ，则 f（ln ）（ ）A8 B8 C4 D4【分析】根据函数的奇偶性与周期性的定义，第 8 页（共 22 页）利用指数与对数函数的运算性质，即可求出结果【解答】解：f（x ）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x+4）f（x） ，4 是 f（x）的周期；又 x（0，2）时， f（x ）2 ex，f（ln ）f（lne 4ln4）f（4ln4）f（ln4）f（ln4）2e ln4248故选：A【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的定义和指数与对数函数的运算问题，是中档题
14、6 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P 在双曲线的右支上，若|PF 1| |PF2|2，且双曲线的一条渐近线与直线 x+2y+10 垂直，则双曲线的方程为（ ）A 1 Bx 24y 21 Cx 2 D4x 2y 21【分析】根据直线垂直得出 2，根据双曲线的定义可得 2a2，从而可求出 a，b 的值，得出双曲线方程【解答】解：双曲线的一条渐近线与直线 x+2y+10 垂直， 2，又|PF 1| |PF2| 2a2，a1，b2，双曲线方程为：x 2 1故选：C第 9 页（共 22 页）【点评】本题考查了双曲线的定义域性质，属于中档题7 （5 分）已知函
15、数 f（x ） sinx+cosx（ 0）的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，把函数 f（x ）的图象沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数g（x）的图象关于函数 g（x） ，现有如下命题：在 上是增函数；其图象关于点（ ）对称；函数 g（x）是奇函数；当 x 时，函数 g（x）的值域是 2，1其中真命题的个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【分析】由 f（x ）的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，得到 ，从而求出 T，进一步得到 ，再由函数图象的平移得到 g（x） ，结合 x 的范围得到g（x）的值域，说明 B 正确利用函数的单调性判断的正
16、误；函数的奇偶性判断的正误；函数的值域判断的正误；【解答】解：由题意可知， ，T，则 2f（x） sinx+cosx2sin（x+ ）2sin（2x + ） ，把函数 f（x）的图象沿 x 轴向左平移 个单位，得 f（x+ ）2sin2（x+ ）+ 2sin（2x + ） 2cos2x即 g（x）2cos2x在 上是增函数；应该是减函数，所以不正确；其图象关于点（ ）对称；正确；函数 g（x）是奇函数；不正确；当 x ， 时，2x ， ，2cos2x 2，1正确；故选：C【点评】本题考查三角函数的图象和性质，三角函数图象的平移，等差数列概念的应用，第 10 页（共 22 页）命题的真假的判断，
17、是基本知识的考查8 （5 分）已知函数 f（x ）+2 ，当 x（0，1时，f（x）x 2，若在区间（1，1内，g（x ）f（x） t（x+1）有两个不同的零点，则实数 t 的取值范围是（ ）A B C D【分析】由 g（x）f（x）t（x +1）0 得 f（x）t （ x+1） ，分别求出函数 f（x）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由题可知函数在 x（1，1 上的解析式为 ，由 g（x）f（ x）t（x +1）0 得 f（x）t （x+1） ，可将函数 f（x）在 x（1， 1）上的大致图象呈现如图：根据 yt（x+1）的几何意义，x 轴位置和图中直线位置为
18、 yt（x+1）表示直线的临界位置，因此直线的斜率 t 的取值范围是 故选：D【点评】本题是最近热点的函数图象辨析问题，是一道较为复杂的难题作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上.9 （5 分）已知 a，bR，i 为虚数单位，若 3+4i ，则 a+b 9 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充第 11 页（共 22 页）要条件计算得答案【解答】解：由 3+4i ，得（3+4i） （a+i）2bi，即 3a4+（3+4a）i2bi ， ，解得 ，a+b9故答案为：9【点
19、评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的充要条件，是基础题10 （5 分）已知正实数 x，y 满足 x ，则 的最小值为 2 【分析】利用 1x+ ， （ ） （x+ ）2 1+ + 2 ，能求出 的最小值【解答】解：正实数 x，y 满足 x ，1x+ ， （ ） （x+ ）21+ + 2 2+222，当且仅当 ，即 y2，x 时，取等号， 的最小值为 2故答案为：2【点评】本题考查代数式的最小值的求法，考查基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题11 （5 分）已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的体积为 8，面 A1B1C1D1 在一个半球的底
20、面上，A、B 、C 、D 四个顶点都在此半球的球面上，则此半球的体积为 4 【分析】设球心为 O，球半径为 R，由题意可得正方体的边长为 2，运用勾股定理可得球的半径，由球的体积公式可得所求值【解答】解：设球心为 O，球半径为 R，第 12 页（共 22 页）正方体 ABCDA 1B1C1D1 的体积为 8，可得正方体的边长为 2，即有 OA1 ，AA 12，可得 R ，则此半球的体积为 V R3 6 4 故答案为：4 【点评】本题考查球的体积的求法，注意运用勾股定理和正方体的体积，考查运算能力，属于基础题12 （5 分）设抛物线 C： ， （t 为参数）的焦点为 F，曲线 （s 为参数，k0
21、）与 C 交于点 P，PF x 轴，则 k 2 【分析】把参数方程化为普通方程，利用抛物线的简单性质求出焦点 F 的坐标，再求出两条曲线的交点 P 的坐标，根据 PFx 轴，求得 k 的值【解答】解：抛物线 C： ， （t 为参数）的焦点为 F，即 y24x，它的焦点为F（1，0） ，曲线 （s 为参数，k0） ，即 y ，它与 C 交于点 P（ ， ） PFx 轴，则 1，k 2，故答案为：2【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程，抛物线的简单性质，求两条曲线的交第 13 页（共 22 页）点坐标，属于基础题13 （5 分）在ABC 中，A60，| |2，点 D 在边 AB 上，点 E
22、在边 BC 上， ， ，若 ，则| | 5 【分析】由题意画出图形，把 用 表示，代入 求解【解答】解：如图，A60，| |2， ， ，由 ，得（ ）（ ） ，即（ ）（ ） ， ， ，解得： 故答案为：5【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题14 （5 分）已知函数 f（x ） 为 R 上的单调函数，且x 0R，使得ax 00，则实数 a 的取值范围是 （e，3 【分析】根据题意，分 2 种情况讨论 f（x ）的单调性，若函数为增函数，则有，若函数为减函数，则有 ，求出 a 的范围，综合可得 f（x）为单调函数时 a 的取值范围；再设 g（x）e xax，利用
23、导数求出其最小值，分析可得 g（x）min0，即 a（1lna）0，解可得 a 的范围，综合即可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ） 为 R 上的单调函数，第 14 页（共 22 页）若函数为增函数，则有 ，解可得 2a3，若函数为减函数，则有 ，无解，则若函数为单调函数，则有 2a3，设 g（x）e xax ，若x 0R，使得 ax 00，则不等式 g（x）e xax0 有解，即函数 g（x）的最小值小于 0，g（x）e xax，则 g（x ） exa，又由 2a3，令 g（x）0，可得 xlna ，分析可得当 xlna 时，g（x）0，函数 f（x ）为减函数，当 xlna 时，g
24、（x）0，函数 f（x ）为增函数，函数 g（x） ming（lna）aalna a（1lna ） ，若 g（x） min0，即 a（1lna）0，必有 ae；综合可得：ea3，则 e 的范围是（e ，3 ；故答案为：（e，3 【点评】本题考查分段函数的单调性，涉及导数分析函数的最值，关键是掌握函数单调性的性质三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知A ，b 2a 2 （）求 tanC 的值；（）求 tan（2C ）的值【分析】 （）由余弦定理，根求出 a，b 与 c
25、 的关系，再根据余弦定理求出 cosC，即可求出 tanC，（）根据二倍角公式和两角差得正切公式计算即可【解答】解：（）A ，由余弦定理可得：a 2b 2+c22bccos ，b 2a 2 bcc 2，第 15 页（共 22 页）又 b2a 2 c2 bcc 2 c2 b c可得 b c，a 2b 2 c2 c2，即 a ccosC C（0， ） ，sinC tanC 2（）tan2C ，tan（2C ） 7【点评】本题考查了余弦定理、同角三角形基本关系式、二倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16 （13 分）在对某渔业产品的质量调查中，从甲、乙两地出产的产品中随机抽取 10 件，
26、测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克） 如表是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量大于等于 15 毫克时为优质品（）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数） （）从乙地抽出的上述 10 件产品中，随机抽取 3 件，记抽到的 3 件产品中优质品数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望【分析】 （I）由已知条件，利用古典概型概率的计算公式，能求出甲、乙两地该产品的优质品率（II） 的取值为 1，2，3分别求出其概率，由此能求出 的分布列和数学期望第 16 页（共 22 页）【解答】解：（I）甲厂抽取的样本中优等品有 7 件，优等品率为 乙厂抽取的样本中优
27、等品有 8 件，优等品率为 （4 分）（II） 的取值为 1，2，3（5 分）（7 分），（9 分）（11 分） 的分布列为 1 2 3P （12 分） 的数学期望为 E1 +2 +3 （13 分）【点评】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用17 （13 分）如图所示的几何体 ABCDE 中，DA平面EAB，AB ADAE 2BC2，CBDA ，EA AB，M 是 EC 上的点（不与端点重合） ，F 为 AD 上的点， N 为 BE 的中点（）若 M 为 CE 的中点，AF3FD（i）求证：FN平面 MBD；（ii）求点 F
28、到平面 MBD 的距离（）若平面 MBD 与平面 ABD 所成角（锐角）的余弦值为 ，试确定点 M 在 EC 上的位置第 17 页（共 22 页）【分析】 （） （i）以 A 为原点，分别以 AE、AB、AD 为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系利用向量法能证明 FN 平面 MBD；（ii）求出平面 MBD 的法向量 （1，2，2） ， （0，0， ） ，利用向量法能求出点 F 到平面 MBD 的距离（）设 M（a，b，c） ， ，0 1，求出 M（2，22 ，1） ，求出平面MBD 的一个法向量和平面 ABD 的法向量，利用平面 MBD 与平面 ABD 所成角（锐角）的余弦值为 ，利用向
29、量法能求出点 M 的位置【解答】证明：（） （i）如图，以 A 为原点，分别以 AE、AB、AD 为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（0，0，0） ，B（0，2，0） ，C （0，2，1） ，D（0，0，2） ，E（2，0，0） ，F（0，0， ） ，N（1，1，0 ） ，M（1，1， ） ，设平面 MBD 的一个法向量 （x，y，z） ，（1，1， ） ， （1，1， ） ，则 ，取 x1，得 （1，2，2） ，（1，1， ） ， 1+2+2 0， ，FN平面 MBD，FN平面 MBD；解：（ii）平面 MBD 的法向量 （1，2，2） ，（0，0， ） ，第 18 页（共 2
30、2 页）则点 F 到平面 MBD 的距离：d （）设 M（a，b，c） ， ，0 1，则（a，b2，c1）（2，2，1） ， ， ，M（2 ，22，1） ，设平面 MBD 的一个法向量 （x，y，z） ，（2，22， +1） ， （2 ，2， 1） ，则 ，取 y1，得 （ ，1，1） ，平面 ABD 的法向量 （1，0，0） ，平面 MBD 与平面 ABD 所成角（锐角）的余弦值为 ， ，解得 或 ，点 M 是 EC 的中点或 EC 上靠近点 C 的四等分点【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查满足条件的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基
31、础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18 （13 分）已知各项均为正数的数列a n的前 n 项和为 Sn，当 n2 时，满足第 19 页（共 22 页）（a nS n1 ） 2S nSn1 ，且 a11（）求证：数列S n是等比数列；（）设 bn（log 4 ） Sn，求数列b n的前 n 项和 Tn【分析】 （I）把 anS nS n 1 代入条件式化简，得出结论；（II）求出 bn，利用错位相减法求和【解答】 （I）证明：a nS nS n1 ， （a nS n1 ） 2S nSn1 ，（S n2S n1 ） 2S nSn1 ，即 Sn25S nSn1 +4Sn1 20，
32、即（S nS n1 ） （S n4S n1 ）0，a n（S n4S n1 ）0，a n0，S n4S n1 ，数列S n是以 1 为首项，以 4 为公比的等比数列（II）解：又（I）可知 Sn4 n1 ，当 n2 时，a nS nS n1 34 n2 b n（log 4 ）S n（ n1）4 n1 T n04 0+14+242+（n1）4 n1 ，4Tn04+14 2+243+（n1）4 n，3T n4+4 2+4n1 （n1）4 n +（ ）4 n，T n +（ ）4 n【点评】本题考查了等比数列的判定，错位相减法数列求和，属于中档题19 （14 分）已知椭圆 C1 的方程为 （ab0）
33、，离心率 e ，其一个焦点在抛物线 C2：y 22px （p0）的准线上，且抛物线 C2 与直线 l：xy + 0 相切（）求椭圆 C1 的方程；（）若点 M，N 为椭圆 C1 上的两个不同的点，T 为平面内任意一点，满足： ，直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ，试说明：是否存在两个定点 F1，F 2，使得|TF 1|+|TF2|为定值？若存在，求点 F1，F 2 的坐标；若不存在，则说明理由第 20 页（共 22 页）【分析】 （I）求出抛物线的准线方程得出椭圆焦点，再根据离心率得出椭圆方程；（II）用 M，N 的坐标表示出 T 的坐标，根据 M，N 在椭圆上，得出 T 点轨迹方程，从而得
34、出结论【解答】解：（I）联立方程组 ，得 y22py+2 p0，抛物线 C2 与直线 l：xy + 0 相切，4p 28 p0，解得 p2 抛物线 C2 的方程为 y24 x，准线方程为 x 椭圆 C1 的一个焦点在抛物线 C2 的准线上，c ，又 e ，a 2b 2+c2，a 212，b 26椭圆 C1 方程为 + 1（II）设 T（x，y） ，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 ，即 x1x2+2y1y20，点 M，N 在椭圆 + 1 上，x 12+2y1212 ，x 22+2y2212 ， 2 ， ，x 2+2y24x 22+4x1x2+x12+2（ 4y22+4y1y2
35、+y12）（x 12+2y12） +4（x 22+2y22）+4（x 1x2+2y1y2）60，点 T（x，y）在椭圆 1 上根据椭圆的定义可知：当 F1，F 2 为椭圆 1 的焦点时，|TF 1|+|TF2|为定值其中 F1（ ，0） ，F 2（ ，0） 第 21 页（共 22 页）【点评】本题考查了椭圆的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题20 （14 分）已知函数 f（x ）x 3+ax2+bx+1（a0，b R）有极值，且导函数 f（x）的极值点是 f（x ）的零点（）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（）证明：b 23a；（）若 f（x） ，f（x ）这两个函数的
36、所有极值之和不小于 ，求实数 a 的取值范围【分析】 （）通过对 f（x ）x 3+ax2+bx+1 求导可知 g（x）f（x）3x 2+2ax+b，进而再求导可知 g（x）6x+2a，通过令 g（x ）0 进而可知 f（x）的极小值点为 x ，从而 f（ ）0，整理可知 b + （a0） ，结合 f（x）x 3+ax2+bx+1（a0，bR）有极值可知 f（x）0 有两个不等的实根，进而可知a3（）通过（1）构造函数 h（a）b 23a + （4a 327）（a 327） ，结合 a3 可知 h（a）0，从而可得结论；（）通过（1）可知 f（x）的极小值为 f（ ） b ，利用韦达定理及完全
37、平方关系可知 yf（x）的两个极值之和为 +2，进而问题转化为解不等式b + +2 ，因式分解即得结论【解答】 （）解：因为 f（x）x 3+ax2+bx+1，所以 g（x）f（x）3x 2+2ax+b，g（x）6x +2a，令 g（x）0，解得 x 由于当 x 时 g（x ）0，g（x ）f（x）单调递增；当 x 时 g（x）0，g（x）f（x）单调递减；所以 f（x）的极小值点为 x ，由于导函数 f（x ）的极值点是原函数 f（x）的零点，所以 f（ ）0，即 + +10，第 22 页（共 22 页）所以 b + （a0） 因为 f（x）x 3+ax2+bx+1（a0，b R）有极值，所
38、以 f（x） 3x2+2ax+b0 有实根，所以 4a212b0，即 a2 + 0，解得 a3，所以 b + （a3） （）证明：由（1）可知 h（a）b 23a + （4a 327）（a 327） ，由于 a3，所以 h（a）0，即 b23a；（）解：由（1）可知 f（ x）的极小值为 f（ ） b ，设 x1，x 2 是 y f（x ）的两个极值点，则 x1+x2 ，x 1x2 ，所以 f（x 1）+f（x 2） + +a（ + ）+ b（x 1+x2）+2（x 1+x2） （x 1+x2） 23x 1x2+a（x 1+x2） 22x 1x2+b（ x1+x2）+2 +2，又因为 f（x） ， f（x ）这两个函数的所有极值之和不小于 ，所以 b + +2 ，因为 a3，所以 2a363a540，所以 2a（a 236）+9（a6）0，所以（a6） （2a 2+12a+9）0，由于 a3 时 2a2+12a+90，所以 a60，解得 a6，所以 a 的取值范围是（3，6【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题
