1、2019 年天津市河西区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设全集 UnN|1n10，A1，2，3，5，8，B1，3，5，7，9 ，则（ UA）B（ ）A6 ，9 B6 ，7，9 C7 ，9 D7 ，9，102 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z2xy 的最小值等于（ ）A B2 C D23 （5 分）如图所示，程序框图的输出结果是（ ）A5 B6 C7 D84 （5 分）设a n是公比为 q 的等比数列，则“q1”是 “an为递增数列”的（ ）A充分而不必要条件 B必
2、要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）设 a（ ） 0.5，b（ ） 0.4，c （log 34） ，则（ ）Aabc Bacb Ccab Dc ba6 （5 分）已知函数 f（x ）sin（2x+ ） ，其中 为实数，若 f（x）|f （ ）|对 xR 恒成立，且 f（ ）f（） ，则 f（x）的单调递增区间是（ ）第 2 页（共 23 页）Ak ，k+ （kZ） B k，k+ （kZ）Ck+ ，k + （k Z） Dk ，k （kZ ）7 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）与双曲线 1（a0，b0）有相同的焦点 F，点， A 是两曲
3、线的一个交点，若直线 AF 的斜率为 ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D8 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，| |2，| |4， ABC60，E ，F 分别是BC，CD 的中点，DE 与 AF 交于 H，则 的值（ ）A12 B16 C D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）设 z1i（i 是虚数单位） ，则 + 10 （5 分）三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥 DABE 的体积为 V1， PABC 的体积为 V2，则
4、 11 （5 分） （3x 2 ） 5 的展开式中 x3 的系数为 （用数字作答）12 （5 分） （坐标系与参数方程选做题）已知曲线 C 的参数方程为 （t 为参数） ，C 在点（1，1）处的切线为 l，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 l 的极坐标方程为 13 （5 分）若 log4（3a+4b） log2 ，则 a+b 的最小值是 14 （5 分）已知函数 f（x ）满足，f（x） ，其中 k0，若函数yf（f（x ） ）+1 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是 &
5、nbsp; 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对边的边长分别是 a，b，c（1）若 c2， 且ABC 的面积等于 ，求 cos（A+B）和 a，b 的值；第 3 页（共 23 页）（2）若 B 是钝角，且 ，求 sinC 的值16 （13 分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为 ，乙，丙做对的概率分别为 m，n（mn） ，且三位学生是否做对相互独立记 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为： 0 1 2 3P a b（1）求至少有一位学生做对该题的概率；（2）求
6、 m，n 的值；（3）求 的数学期望17 （13 分）如图，平面 PAD平面 ABCD，PA PD ，四边形 ABCD 为平行四边形，ABC 45，AB AC2，M 为线段 AD 的中点，点 N 满足 2 （）求证：直线 PB平面 MNC；（）求证：平面 MNC平面 PAD；（）若平面 PAB平面 PCD，求直线 BP 与平面 PCD 所成角的正弦值18 （13 分）数列a n是等比数列，公比大于 0，前 n 项和 Sn（n N*） ，b n是等差数列，已知 a1 ， +4，a 3 ，a 4 （）求数列a n，b n的通项公式 an，b n；（）设S n的前 n 项和为 Tn（nN *）（i）
7、求 Tn；（ii）证明： 19 （14 分）设椭圆 + 1（a ）的右焦点为 F，右顶点为 A，已知第 4 页（共 23 页）|OA|OF|1，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程及离心率 e 的值；（2）设过点 A 的直线 l椭圆交于点 B（B 不在 x 轴上） ，垂直于 l 的直线与 l 交于点M，与 y 轴交于点 H，若 BFHF ，且MOAMAO，求直线 l 的斜率的取值范围20 （14 分）已知函数 f（x ）lnx+ax，在点（t，f （t） ）处的切线方程为 y3x1（1）求 a 的值；（2）已知 k2，当 x1 时，f （x）k（1 ）+2x1 恒成立，求实数
8、的取值范围；（3）对于在 （0，1）中的任意一个常数 b，是否存在正数 x0，使得 e +x 1，请说明理由第 5 页（共 23 页）2019 年天津市河西区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设全集 UnN|1n10，A1，2，3，5，8，B1，3，5，7，9 ，则（ UA）B（ ）A6 ，9 B6 ，7，9 C7 ，9 D7 ，9，10【分析】求出全集的元素，结合交集，补集的定义进行计算即可【解答】解：UnN|1n101，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则 UA4，6 ，7，9，10，则（
9、UA）B7，9，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合补集，交集的定义是解决本题的关键2 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z2xy 的最小值等于（ ）A B2 C D2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【解答】解：由变量 x，y 满足约束条件 作出可行域如图，由图可知，最优解为 A，联立 ，解得 A（1， ） z2x y 的最小值为 2（1） 故选：A第 6 页（共 23 页）【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题3 （5 分）如图所示，程序框图的输出结果是（ ）A5
10、B6 C7 D8【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：k0 时，S100 是，S2 01，k1，k1 时，S100 是，S1+2 13，k2，k2 时，S100 是，S3+2 27，k3，k3 时，S100 是，S7+2 315，k4，k4 时，S100 是，S15+2 431，k5，k5 时，S100 是，S31+2 563，k6，k6 时，S100 是，S63+2 6127，k7，当 k7 时，S100 不满足，输出 k7，第 7 页（共 23 页）故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键4 （5 分）设a n是公比为 q 的等比数列，则“
11、q1”是 “an为递增数列”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：等比数列1，2，4，满足公比 q21，但a n不是递增数列，充分性不成立若 an1 为递增数列，但 q 1 不成立，即必要性不成立，故“q1”是“a n为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键5 （5 分）设 a（ ） 0.5，b（ ） 0.4，c （log 34） ，则（ ）
12、Aabc Bacb Ccab Dc ba【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a（ ） 0.5（0，1） ，b（ ） 0.41，c （log 34）0，cab故选：C【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6 （5 分）已知函数 f（x ）sin（2x+ ） ，其中 为实数，若 f（x）|f （ ）|对 xR 恒成立，且 f（ ）f（） ，则 f（x）的单调递增区间是（ ）Ak ，k+ （kZ） B k，k+ （kZ）Ck+ ，k + （k Z） Dk ，k （kZ ）第 8 页（共 23 页）【分析】由题意求得 的值，利用正弦
13、函数的性质，求得 f（x）的单调递增区间【解答】解：若 f（x ）|f（ ）|对 xR 恒成立，则 f（ ）为函数的函数的最大值或最小值，即 2 +k + ，kZ，则 k + ，kZ，又 f（ ）f（） ，sin（ +）sin sin （2+）sin，sin0令 k1，此时 ，满足条件 sin0，令 2x 2k ，2k + ，kZ，解得：xk+ ，k+ （kZ） 则 f（x）的单调递增区间是 k+ ，k+ （kZ） 故选：C【点评】本题考查的知识点是函数 yAsin （ x+）的图象变换、三角函数的单调性，属于基础题7 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）与双曲线 1（a0，b0）有相同的
14、焦点 F，点， A 是两曲线的一个交点，若直线 AF 的斜率为 ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【分析】求得抛物线的焦点和方程，设 A（m ，n） ，且 m0，n0，运用直线的斜率公式和抛物线方程，解得 A 的坐标，代入双曲线方程，结合离心率公式，计算可得所求值【解答】解：抛物线 y22px（p0）与双曲线 1（a0，b0）有相同的焦点 F，可设 c ，即有抛物线方程为 y24cx，设 A（m，n） ，且 m0，n0，第 9 页（共 23 页）由 AF 的斜率为 ，可得 ，n 24mc，解得 m3c，n 212c 2，代入双曲线方程可得 1，由 e ，即 9e2 1，即 9
15、e422e 2+10，可得 e2 ，解得 e 故选：B【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题8 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，| |2，| |4， ABC60，E ，F 分别是BC，CD 的中点，DE 与 AF 交于 H，则 的值（ ）A12 B16 C D【分析】过点 F 作 BC 的平行线交 DE 于 G，计算出 GF AD，求出 和 的向量，利用向量数量积的定义和公式计算 即可【解答】解：过点 F 作 BC 的平行线交 DE 于 G，则 G 是 DE 的中点，且 GF EC BCGF AD，则AHD GHF
16、从而 FH AH， ， + + ，则 ，第 10 页（共 23 页） + ，则 （ ）（ ） 2 2 ，故选：C【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件求出 和 的表达式是解决本题的关键二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）设 z1i（i 是虚数单位） ，则 + 2+2 i 【分析】把复数 z 代入 + ，然后直接利用复数代数形式的除法运算化简求值【解答】解：z1i， + 故答案为：2+2i【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题10 （5 分）三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥 DABE 的体积为 V1
17、， PABC 的体积为 V2，则 【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比【解答】解：如图，三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，三棱锥 DABE 的体积为 V1，P ABC 的体积为 V2，A 到底面 PBC 的距离不变，底面 BDE 底面积是 PBC 面积的 ，第 11 页（共 23 页） 故答案为： 【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题11 （5 分） （3x 2 ） 5 的展开式中 x3 的系数为 270 （用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 3，求出 r
18、 的值，即可求得 x3的系数【解答】解：（3x 2 ） 5 的展开式的通项公式为 Tr+1 35r （1） r，令 10 3，求得 r2，故展开式中 x3 的系数为 33270，故答案为：270【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题12 （5 分） （坐标系与参数方程选做题）已知曲线 C 的参数方程为 （t 为参数） ，C 在点（1，1）处的切线为 l，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 l 的极坐标方程为 cos+sin20（填 或 也得满分） 【分析】先求出曲线 C 的普通方程，再利用直线与圆相切求出切线的方
19、程，最后利用第 12 页（共 23 页）xcos，ysin 代换求得其极坐标方程即可【解答】解：由 （t 为参数） ，两式平方后相加得 x2+y22，（4 分）曲线 C 是以（0，0）为圆心，半径等于 的圆C 在点（1，1）处的切线 l 的方程为 x+y2，令 xcos ，ysin ，代入 x+y2，并整理得 cos+sin20，即 或，则 l 的极坐标方程为 cos+sin20（填 或也得满分） （10 分）故答案为：cos +sin20（填 或 也得满分） 【点评】本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化普通方程化为极坐标方程关键是利用公式 xcos，ysin 13 （5 分）
20、若 log4（3a+4b） log2 ，则 a+b 的最小值是 7+4 【分析】log 4（3a+4b）log 2 ，可得 3a+4bab，a， b0. 0，解得a4于是 a+ba+ +7，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：log 4（3a+4b ）log 2 ， ， ，3a+4bab，a，b0 0，解得 a4a+ba+ +77+ ，当且仅当 a4+2 时取等号a+b 的最小值是 7+4 故答案为：7+4 第 13 页（共 23 页）【点评】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题14 （5 分）已知函数 f（x ）满足，f（x）
21、 ，其中 k0，若函数yf（f（x ） ）+1 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是 ，+） 【分析】函数 yf f（x）+1 的零点个数，即为方程 ff（x）1 的解的个数，结合函数 f（x） ，求解方程可得答案【解答】解：当 k0 时，函数 f（x） 的图象如下图所示：此时若函数 yf f（x）+10，则 ff（x） 1，则 f（x） ，只有一解，不合题意，当 0k 时，函数 f（x） 的图象如下图所示：第 14 页（共 23 页）此时若函数 yf f（x）+10，则 ff（x） 1，则 f（x） ，或 kf（x）+k1，只有三解，不合题意，当 k 时，函数 f（x） 的图
22、象如下图所示：此时若函数 yf f（x）+10，则 ff（x） 1，则 f（x） ，或 kf（x）+k1，有四解，满足题意，故满足条件的实数 k 的取值范围是 ，+） ，故答案为： ，+）【点评】本题考查的知识点是函数零点的判定，其中将函数的零点问题转化为方程根的个数问题，是解答的关键三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对边的边长分别是 a，b，c（1）若 c2， 且ABC 的面积等于 ，求 cos（A+B）和 a，b 的值；第 15 页（共 23 页）（2）若 B 是钝角，且 ，求 sinC
23、的值【分析】 （1）根据三角形内角和，算出 A+BC ，即可得到 cos（A+B）根据余弦定理，结合题中数据列式，化简得 a2+b2ab4，由正弦定理关于三角形面积的公式算出 ab4，两式联解即可得到 ab2；（2）根据 B 是钝角和 ，利用同角三角函数关系算出 cosB ；由算出 ，从而得 sin（A+B）sin AcosB+cosAsinB ，结合三角形内角和与诱导公式即可算出 sinC 的值【解答】解（1）A+B+C ， ，A+BC由此可得： （2 分）根据余弦定理，得 c2a 2+b22abcosC，a 2+b2ab4， （4 分）又ABC 的面积等于 ，即 ， ab ，解之得 ab4
24、 （5 分）联立方程组 ，解之得 a2，b2 （7 分）（2）B 是钝角，且 （8 分）（9 分）因此，sinC sin （A +B）sin（A+B）sinAcosB +cosAsinB （12 分）【点评】本题给出三角形的一边和其对角，在已知三角形的面积情况下求其它两边的长，着重考查了三角函数的诱导公式、同角三角三角函数的基本关系、正弦定理的面积公式和利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题第 16 页（共 23 页）16 （13 分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为 ，乙，丙做对的概率分别为 m，n（mn
25、） ，且三位学生是否做对相互独立记 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为： 0 1 2 3P a b（1）求至少有一位学生做对该题的概率；（2）求 m，n 的值；（3）求 的数学期望【分析】 （1）利用“至少有一位学生做对该题”事件的对立事件的概率即可得出；（2）利用 P（0）与 P（3）的概率即可得出 m，n；（3）利用（2）及 与 bP（2）1P（0）P（1）P（3）即可得出 a，b【解答】解：设“甲做对”为事件 A， “乙做对”为事件 B， “丙做对”为事件 C，由题意知， （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是 （2）由题意
26、知 ，整理得 mn ， 由 mn，解得 ， （3）由题意知 ，bP（2）1P（0）P（1）P（3） ， 的数学期望为 E 【点评】本小题主要考查相互独立事件的概率、利用对立事件的概率求概率的方法、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意第 17 页（共 23 页）识17 （13 分）如图，平面 PAD平面 ABCD，PA PD ，四边形 ABCD 为平行四边形，ABC 45，AB AC2，M 为线段 AD 的中点，点 N 满足 2 （）求证：直线 PB平面 MNC；（）求证：平面 MNC平面 PAD；（）若平面 PAB平面 PCD，求直线 BP
27、与平面 PCD 所成角的正弦值【分析】 （I）连接 BD 交 CM 于 O，连接 ON，根据三角形相似可得 ，故ONPB，于是 PB平面 MCN；（II）根据 ACAB CD 可得 CMAD，故而 CM平面 PAD，于是平面 MNC平面PAD；（III）设 PMa，建立空间坐标系，求出平面 PAB 和平面 PCD 的法向量，令法向量垂直计算 a，再计算 与平面 PCD 的法向量的夹角得出结论【解答】 （I）证明：连接 BD 交 CM 于 O，连接 ON，OMD OCB， ， ， 2 ， ， ，ONPB，又 ON平面 MNC，PB平面 MNC，PB平面 MNC（II）证明：ABAC，ABCD，A
28、CCD，又 M 是 AD 的中点，CMAD，第 18 页（共 23 页）又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，CM平面 PAD，又 CM平面 MNC，平面 MNC平面 PAD（III）解： ABAC，ABC45，ABAC，以 A 为原点，以 AB，AC 和平面过 A 点的垂线为坐标轴建立空间坐标系 Axyz，设 PMa，则 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C （0，2，0） ，D（2，2，0） ，M（1，1，0） ，P（1，1，a） （2，0，0） ， （1，1，a） ， （2，0，0） ， （1，1，a） ，设平面 PAB 的法向量为 （x 1，y 1，z 1
29、） ，则 ，即 ，令 z11 可得 （0，a，1） ，设平面 PCD 的法向量为 （x 2，y 2，z 2） ，则 ，即 ，令 z1 可得 （0，a，1） 平面 PAB平面 PCD， 0，即 1a 20，故 a1 （3，1，1） ， （0，1，1） ，cos 直线 BP 与平面 PCD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题第 19 页（共 23 页）18 （13 分）数列a n是等比数列，公比大于 0，前 n 项和 Sn（n N*） ，b n是等差数列，已知 a1 ， +4，a 3 ，a 4 （）求数列a n，b n的通项公式 a
30、n，b n；（）设S n的前 n 项和为 Tn（nN *）（i）求 Tn；（ii）证明： 【分析】 （I）设等比数列a n的公比 q0， ， 20，解得q可得 an设等差数列b n的公差为 d，由a3 ，a 4 利用通项公式可得 bn（） （i）利用求和公式可得 Sn1 可得S n的前 n 项和为 Tnn1+ （ii）由（i）可得： 利用裂项求和方法即可得出【解答】解：（I）设等比数列 an的公比 q0， ， 20，解得 q a n 设等差数列b n的公差为 d，a 3 ，a 4 2b 1+8d8，3b 1+16d16，解得 b10，d1，b nn1第 20 页（共 23 页）（） （i）S
31、n 1Sn的前 n 项和为 Tnn n n1+ （ii）证明： + + 【点评】本题考查了等差数列等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19 （14 分）设椭圆 + 1（a ）的右焦点为 F，右顶点为 A，已知|OA|OF| 1，其中 O 为原点， e 为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程及离心率 e 的值；（2）设过点 A 的直线 l椭圆交于点 B（B 不在 x 轴上） ，垂直于 l 的直线与 l 交于点M，与 y 轴交于点 H，若 BFHF ，且MOAMAO，求直线 l 的斜率的取值范围【分析】 （1）根据椭圆的定义和几何性质可得 a 1，解得求出 a
32、 的值即可（2）由已知设直线 l 的方程为 yk（x2） ， （k0） ，联立直线方程和椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 B 的坐标，再写出 MH 所在直线方程，求出 H 的坐标，由 BFHF ，得 （1x 1，y 1）（1，y H）0，整理得到M 的坐标与 k 的关系，由MOAMAO ，得到 x01，转化为关于 k 的不等式求得 k的范围【解答】解：（1）椭圆 + 1（a ）的右焦点为 F，右顶点为A，| OA| OF|1，ac1，第 21 页（共 23 页）即 a 1，解得 a2，c1，e ，椭圆的方程为 + 1，（2）由已知设直线 l 的方程为 yk（x2）
33、 ， （k0） ，设 B（x 1，y 1） ，M（x 0，k （x 02） ） ，MOAMAO ，x 01，再设 H（0，y H） ，联立 ，得（3+4k 2）x 216k 2x+16k2120（16k 2） 24（3+4k 2） （16k 212）1440由根与系数的关系得 2x1 ，x 1 ，y 1k （x 12） ，MH 所在直线方程为 yk（x 02） （x x 0） ，令 x0，得 yH（k+ ）x 0+2k，BFHF ， （1x 1，y 1）（1，y H）0，即 1x 1+y1yH1 （k+ ）x 0+2k，整理得：x 0 1，即 8k23k 或 k第 22 页（共 23 页）【点
34、评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题20 （14 分）已知函数 f（x ）lnx+ax，在点（t，f （t） ）处的切线方程为 y3x1（1）求 a 的值；（2）已知 k2，当 x1 时，f （x）k（1 ）+2x1 恒成立，求实数的取值范围；（3）对于在 （0，1）中的任意一个常数 b，是否存在正数 x0，使得 e +x 1，请说明理由【分析】 （1）求出 f（x ）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得 a 的值；（2）求出 f（x ）lnx +x，要证原不等式成立，即证 xlnx+xk（x
35、3）0，可令g（x）xlnx +xk（x3） ，求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数 b，假设存在正数 x0，使得 +x021运用转化思想可令 H（x）（x+1）e x + x21，求出导数判断单调性，可得最小值，即可得到结论【解答】解：（1）函数 f（x）lnx+ax 的导数为 f（x） +a，在点（t，f（t） ）处切线方程为 y3x1，可得 f（t） +a，函数的切线方程为 y（lnt+at ）（ +a） （x t） ，即 y（ +a）x+lnt 1， ，解得 a2；（2）证明：由（1）可得 f（ x）lnx+2x，f（x）k（1 ）+2x1，
36、lnxk（1 ）1即为 xlnx+xk （x3）0，可令 g（x）xlnx+x k（x3） ，g（x）2+lnxk ，由 x1，可得 lnx0，2k 0，第 23 页（共 23 页）即有 g（x）0，g（x ）在（1，+）递增，可得 g（x）g（1）1+2k0， k2故 k 的取值范围为 ，2；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数 b，假设存在正数 x0，使得： + x021由 ef（x0+1）3x02 + x02e ln（x0+1）x 0+ x02（x 0+1）e x0 + x021 成立，从而存在正数 x0，使得上式成立，只需上式的最小值小于 0 即可令 H（x）（x+1）e x + x
37、21，H （x ）e x （ x+1）e x +bxx（be x ） ，令 H（x）0，解得 xlnb，令 H（x）0，解得 0xlnb ，则 xlnb 为函数 H（x ）的极小值点，即为最小值点故 H（x）的最小值为 H（ lnb）（lnb+1）e lnb+ ln2b1 ln2bblnb+b1，再令 G（x） ln2xxlnx+ x1， （0x1） ，G（x） （ln 2x+2lnx）（1+lnx）+1ln 2x0，则 G（x）在（0，1）递增，可得 G（x ）G（1）0，则 H（lnb）0故存在正数 x0lnb，使得 + x021【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用分析法和构造函数法，求得导数判断单调性，考查存在性问题的解法，注意运用转化思想和构造函数，求出导数，运用单调性，属于难题
