1、第 1 页，共 14 页2019 年全国高考数学模拟试卷（理科） （3 月份） （全国I 卷）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 ， ，则 =|=|,=|=, =( )A. B. C. D. 0,1 1 0 【答案】C【解析】解： ， ；=(,0=0,+)=0故选：C可解出 M，N，然后进行交集的运算即可考查描述法、区间的定义，以及交集的运算2. 设 ，则 在复平面上对应的点在 =2+1+1 ( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】解：由 ，得 =2+1+1=2+ (1+)2(1)(1+)=2+22=2+ =2则 在
2、复平面上对应的点的坐标为 ，在第四象限 (2,1)故选：D利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，可得 ，再求出 在复平面上对应的点的坐 标，则答案可求本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3. 如图 1 是某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 x 的图象 由于目前本条线路亏损，.公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图 2、3 所示 你能根据图象判断下.列说法错误的是 ( )图 2 的建议为减少运营成本 图 2 的建议可能是提高票价 图 3 的建议为减少运营成本 图 3 的建议可能是提高票价 A. B. C. D. 第 2 页，共 14 页【答案】D【
3、解析】解：根据题意和图 知，两直线平行即票价不变，(2)直线向上平移说明当乘客量为 0 时，收入是 0 但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图 看出，当乘客量为 0 时，支出不变，(3)但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得 正确， 错误 故选：D根据题意知图象反应了收支差额 y 与乘客量 x 的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当 的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明=0本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想4. 定义：若 q
4、为非零常数 ，则称 为“差等比数列”，已知+2+1+1=(, ) 在“差等比数列” 中， ， ， ，则 的值是 1=1 2=2 3=4 20192018 ( )A. B. C. D. 22019 22018 22017 22016【答案】C【解析】解：在“差等比数列” 中， ， ， ， 1=1 2=2 3=4可得 ， ，3221=2 21=1即有数列 为首项为 1，公比为 2 的等比数列，+1可得 ，+1=21则 的值为 20192018 22017故选：C由题意可得 ， ，即有数列 为首项为 1，公比为 2 的等比数3221=2 21=1 +1列，由等比数列的通项公式，即可得到所求值本题考查
5、数列的新定义的理解和运用，考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题5. 如图所示，函数 的图象在点 P 处的切线方程是=()，则 和 的值分别为 =13+6 (5)(5) ( )A. B. C. D. 133,13 13,133 133,173 13,173【答案】A第 3 页，共 14 页【解析】解：根据图象可知：P 是切点， 是切点的横坐标，=5可得 ，(5)=135+6=113，(5)=13故选：A根据图象可知：P 是切点， 是切点的横坐标，可得 和 ，可得答案；=5 (5)(5)=本题考查了导数的几何和切点的应用 属于基础题.6. 己知一个三棱锥的三视图如图所示，其
6、中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积 ()A. 3B. 23C. 43D. 12【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以：该几何体的球心为 O，=(2)2+12=3=4(3)2=12故选：D首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型7. 的外心为 O， ， ，则 等于 =3 =4 ( )A. B. C. 3 D. 32 52 72【答案】D第 4 页，共 14 页【解析】解：取 AB，AC 的中点 E，F，则 =()=22
7、=2|2|=2|2|=2|22|2，=2222(32)2=72故选：D取 AB，AC 的中点 E，F，则 =()=2|22|2=72本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题8. 将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的函数图象，则下列=32 =()说法正确的是 ( )A. 是奇函数=()B. 的周期是=() C. 的图象关于直线 对称=() =2D. 的图象关于 对称=() (2,0)【答案】D【解析】解：将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的函数图象，=32 =()则 ，其图象关于 对称，()=(+32)= (2,0)故选：D由三角函数图象的平移得： ，由三角函数图象的性质
8、得：()=(+32)=的图象关于 对称，得解() (2,0)本题考查了三角函数图象的平移及函数图象的性质，属简单题9. 勒洛三角形是由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名 作法：以等边三角形每.个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形 在勒洛三.角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为 ( )第 5 页，共 14 页A. B. C. D. 2332(3) 32(3) 32(+3) 2332(+3)【答案】B【解析】解：如图，设 ，以 B 为圆心的扇形的面积为 ，=2226 =23的面积为 ，123222=3勒洛三角形的
9、面积为 3 个扇形面积减去 2 个正三角形的面积，即为 ，23323=223故勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为 ，3223= 32(3)故选：B设正三角形 ABC 的边长为 a，先求出 ， ，即可求出 ，根据几扇形 勒洛三角形何概型的概率公式计算即可本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出相对应的面积，属于基础题10. 已知函数 ，若 ，且()=,(10)|2019|,(0) 0)，且 ，0) ()=()=()=()即可求解本题考查指数函数，对数函数的做法，考查运算能力，属于基础题11. 已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 与双曲线的一条12 222=1(0) 1渐近线
10、平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点 P，若点 P 在以线段 为直径12的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 ( )A. B. (1,2) (3,+)C. D. (1,3)(2,+) (2,+)【答案】D【解析】解：设 ，双曲线 的渐近线方程为 ，1(,0) 222=1(0) =过点 与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为 ，1 =(+)联立渐近线方程 ，可得交点 ，= (12,2)点 P 在以线段 为直径的圆外，可得12，(12)2+(2)22即有 ，23可得双曲线的离心率 ，但 ，=1+22 1即 2故选：D设出左焦点坐标和双曲线的渐近线方程，联立直线方程可得交点 P 的坐标，代入解不等式，结
11、合离心率公式，即可得到所求范围2+22本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的渐近线方程，以及点与圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题12. 如图直线 平面 ，垂足为 O，正四面体 ABCD 的 棱长为 2，C 在平面 内， 是直线 l 上的动点，则当 O 到 AD 的距离为最大时，正四面体在平面 上的射影面积为 ( )A. 1+22B. 4+22C. 2+22D. 4【答案】A第 7 页，共 14 页【解析】解：由题意，直线 BC 与动点 O 的空间关系：点 O 是以 BC 为直径的球面上的点，所以 O 到 AD 的距离为四面体上以 BC 为直径的球面上的点到 AD 的距离，最大距离
12、为 AD 到球心的距离 即 BC 与 AD 的公垂线 半径 ( )+ =2+1再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，此时我们注意到 AD 垂直平面 OBC，且平行平面 ，故其投影是以 AD 为底，O 到 AD 的距离投影，即 为 (2+1)45=12+22高的等腰三角形，其面积 =122(12+22)=12+22故选：A确定直线 BC 与动点 O 的空间关系，得到最大距离为 AD 到球心的距离 半径，再考+虑取得最大距离时四面体的投影情况，即可求得结论本题考查点、线、面间的距离计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）13. 如图，线段 CD
13、 是某铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在 CD 所在水平面上的山体外取点 A、B，在四边形 ABCD 中，测得 米，=50， ，=45=75 =30=75试求 B、D 之间的距离及 B、C 之间的距离；(1)求应开凿的隧道 CD 的长(2)【答案】解： 在 ABD 中， ， ， ，(1) =75 =45 =120又 ， ， 为为等腰三角形，=30 =30 =50由余弦定理可得 ，2=502+50225050120=5023=503.中， ， ，=45 =+=30+75=105，由正弦定理可得 =3050300=450=1050=502.=25(6+2)在 中， ， ， ，(2)=75 =502
14、=503根据余弦定理可得 =2+22=25(6+2)【解析】 根据题设及所给的图形，可先解出 AD 的长度，利用余弦定理求得 BD 的(1)值， 中，利用正弦定理求得 BC 的值，在 中，利用余弦定理求得 DC 的长度(2)本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题14. 已知斜三棱柱 的底面是等腰直角三角形，111，点 在底面上的射影 D 落在 BC 上=90 1求证： 平面 ；(1) 11若 ，且 ，求二面角 的(2)11 1=60 11第 8 页，共 14 页余弦值【答案】 证明： 平面 ABC， 平面 ABC，(1) 1 ，1又 ， ，1=平面 ； 11解：连接
15、， 平面 ， 平面(2) 1 111，11，1， ， 平面 C.111=1 1平面 ， ，1 1 11四边形 为菱形 11， 于 D， 为 BC 的中点1=60 1 在底面 ABC 上的射影是 BC 的中点，1平面 ABC，以 D 为坐标原点，过 D 平行于 CA 得直线为 x 轴，BC 所在直线1为 y 轴， 所在直线为 z 轴，1建立如图所示空间直角坐标系设 ，由题意可知，=1=1， ， ， (0,12,0)(0,12,0)1(0,0,32) (1,12,0)设 y， ，由 ，得1(,)=11=(0,1,0)1(0,1,32).设平面 的法向量为 ，11=(1,1,1)由 ，得 ；1=11
16、=011=12+32=0 1=(3, 3,1)设平面 的法向量为 112=(2,2,1)由 ，得 21=2+22+32=021=222+32=0 2=(32,0,1)=12|1|2|=57由图可知，二面角 为钝二面角，11二面角 的余弦值为 11 57第 9 页，共 14 页【解析】 由 平面 ABC， 平面 ABC，可得 ，又 ，(1)1 1 ，则 平面 ；1= 11连接 ，由 平面 ， 平面 ，可得 ，又 ，(2) 1 111 11 1 11，可得 平面 ，进一步求得四边形 为菱形，求出1= 1 1 11平面 ABC，以 D 为坐标原点，过 D 平行于 CA 得直线为 x 轴，BC 所在直
17、线为 y1轴， 所在直线为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 分别求出平面 的法向量1 . 1和平面 的法向量得答案11本题考查直线与平面垂直的判定，考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题15. 已知椭圆 C： 的离心率为 ，左右顶点分别为 A，B，Q 为椭22+22=1(0) 22圆 C 上一点， 面积的最大值为 22求椭圆 C 的方程；(1)当点 Q 不为椭圆 C 的顶点时，设直线 AQ 与 y 轴交于点 P，过原点 O 作直线(2)AQ 的平行线 OM 且与椭圆 C 交于点 M，问是否存在常数 使得成立？若存在，求出常数 ；若不存在，说明理由|=|2 【答案】解
18、： 由题意得， ， ，(1) =22 22=2当 Q 为椭圆的上顶点时， 的面积取得最大值且为 ，122=32解得， ， ， ，=2 =2 =2所以椭圆方程为： 分24+22=1(4)依题意可得直线 AQ 的斜率存在，设直线 AQ： ，则(2) =(+2) (0,2)联立 ，并整理得： =(+2)2+22=4 (1+22)2+82+824=0， 分=6424(22+1)(824)=160 (6)则 ， ，2=82422+1 =24222+1， ，|=1+2|(2)|=41+21+22 |=21+2分|=8(1+2)1+22(8)直线 AQ 的平行线 OM，直线 OM： ； =联立 消去 y 得
19、： ；=2+22=4 (1+22)24=0分|2=(1+2)2=(1+2) 41+22=4(1+2)1+22(10)， 8(1+2)1+22=4(1+2)1+22 =2故存在常数 ，使得 成立 分=2 |=|2 (12)第 10 页，共 14 页【解析】 运用椭圆的离心率公式和 a，b，c 的关系，以及椭圆上点到 x 轴距离的最(1)大值，计算即可得到 a，b 的值，进而得到椭圆方程；设直线 AQ： ，直线 OM： ，联立椭圆方程，利用韦达定理、弦(2) =(+2) =长公式，由此求出存在常数 使得 成立 |=|2本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断，考查计算能力，注意椭
20、圆弦长公式的合理运用 属于中档题.16. 自 2018 年河北省进行高考改革后，高中生的生涯规划教育显得特别重要 某市组.织全体教师举行了一次“生涯规划知识竟赛” 为了解本次竟赛的成绩情况，从中.抽取了 50 人的成绩 得分均为整数，满分 100 分 进行统计，这 50 人考试成绩全( )部介于 60 分到 100 分之间，将考试成绩按如下方式分成 8 组，第一组 ，第60,65二组 第八组 ，得到的频率分布直方图如图65,70)95,100若从考试成绩属于第 6 组和第 8 组的所有人中随机抽取 2 人，设他们的成绩为(1)x，y，求满足 的事件的概率；|5为了奖励教师，该市决定给测试成绩在
21、 内的教师发放奖金，其中测试(2) 90,100成绩在 内的教师可获得奖金 5000 元，测试成绩在 内的教师可获得90,95 95,100奖金 10000 元，现在对这 50 人成绩在 内的教师中随机抽取 3 人进行回访，90,100求此 3 人获得奖金的总和 单位：元 的分布列和数学期望( )【答案】解： 由频率分布直方图知第 6 组的频率为 ，(1) 0.0165=0.08第 8 组的频率为 ；0.0085=0.04所以第 6 组有 4 人，第 8 组有 2 人，从这 6 人中随机抽取 2 人，有 种情况，26=15其中明显 的 2 人必须来自同一组，共有 种情况；|5 24+22=7所
22、以求满足 的事件的概率为 ；|5 =715由频率分布直方图知，第 7 组的频率为(2)；1(0.0082+0.0162+0.042+0.06)5=0.06所以第 7 组共有 3 人，由 知第 8 组有 2 人，(1)从这 5 人中随机抽取 3 人，此 3 人获得奖金的总和 单位：元 的所有可能取值为( )15000，20000，25000；计算 ，(=15000)=3335=110第 11 页，共 14 页，(=20000)=232235=35；(=25000)=132235=310所有 X 的分布列为：X 15000 20000 25000P 110 35 310数学期望为 ()=15000
23、110+2000035+25000310=21000【解析】 根据频率分布直方图求得第 6 组、第 8 组的频率以及对应的频数值，求出(1)抽取的样本容量，计算对应的概率值；由频率分布直方图求得第 7 组的频率值，得出随机变量 X 的所有可能取值，计算对(2)应的概率值，写出 X 的分布列，求出数学期望值本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题17. 已知函数 ()=1(3)(0)讨论函数 的单调性；(1) ()若函数 有两个零点 ， ，其中 ，记 ，证明：(2) ()=32 12 10有 2 个大于 0 的根 ， ，() 1=3210+92 2=3+21
24、0+92令 ，得 ，()0 (0,1)(2,+)令 ，得 ，()9 0 ()3210+93故 ， 递增，()0 ()综上，当 时，函数 在 递增，无递减区间，1 ()(0,+)当 时，函数在 递增，01 2=121=32解得： ， ，1=3212=321故 ，1+2=32(+1)1令 ， ，()=(+1)1(1,+)则 ，()=2+1(1)2令 ，()=2+1则 ，()=2+1+12=(11)20故 递增，()故对任意 ， ，(1,+)()(1)=0故 ，故 在 递增，()0 ()(1,+)故 随 t 的增大而增大1+2【解析】 求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间即可；(
25、1)求出 ，令 ， ，根据函数的单调性证明即(2) 1+2=32(+1)1 ()=(+1)1(1,+)可本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题18. 在直角坐标系 xOy 中， ，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单(2,0)位长度建立极坐标系 点 P 是曲线 上的动点，AP 的中点为 Q. =2(02) 求点 Q 的轨迹 的直角坐标方程；( ) 1 设曲线 ： 经伸缩变换 后得到曲线 ，射线 分( ) 224+2=1 =12= 3 =6(0)别与 和 交于 M，N 两点，求 13 |【答案】解： 根据题意，曲线 ，即 ，(1) =
26、2(02)2+2=4设 ， ，则 ， ，即 ， ，代入 可(1,1) (,)=1+22 =12 1=221=2 2+2=4得 ，(22)2+(2)2=4第 13 页，共 14 页变形可得： ，(1)2+2=1即点 Q 的直角坐标系方程为 ，(1)2+2=1根据题意， ，(2)将其代入 ： 可得： ，则曲线 的极坐标方程为 ，224+2=1 2+2=1 2 =1所以 ，|=1又 ，则 |=26=3 |=|=31【解析】 根据题意，将 变形为直角坐标系方程，设 ， ，由中点( ) =2 (1,1) (,)坐标公式可得 ， ，变形可得 ， ，将其代入曲线的方程=1+22 =12 1=221=2可得
27、，变形可得答案；(22)2+(2)2=4 根据题意， ，其代入 的方程，可得曲线 的极坐标方程，( ) 2 2结合极坐标方程的意义分析可得答案本题考查曲线的极坐标方程以及参数方程的计算，关键是掌握常见曲线的参数方程、极坐标方程的形式19. 设函数 ()=|2|+ 若不等式 解集为 ，求实数 a 的值；( ) ()2 |80 在 的条件下，若不等式 解集非空，求实数 k 的取值范( ) ( ) ()(21)3围【答案】解： 函数 ，( ) ()=|2|+不等式 化为 ， ()2 |2|2，222解得 ；32+2又 的解集为 ，()2 |80，32=8+2=0解得 ；=2 在 的条件下， ，( ) ( ) ()=|4|2不等式 化为 ，()(21)3|+4|+1(21)令 ，作出 的图象，如图所示；()=|+4|+1=+5,43,1 2114即 或 ，22 234解得 或 或 ，2所以实数 k 的取值范围是 或 或|2.【解析】 由题意把不等式化为 ，去掉绝对值，写出 x 的取值范围，( ) |2|2再根据不等式的解集列方程求出 a 的值； 把不等式化为 ，设 ，作出 的图象，结( ) |+4|+1(21)()=|+4|+1 ()合图象知要使不等式的解集非空，应满足的条件是什么，由此求得 k 的取值范围本题考查了不等式恒成立问题，也考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，是中档题
