1、2019 年天津市河西区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设全集 UnN|1n10，A1，2，3，5，8，B1，3，5，7，9 ，则（ UA）B（ ）A6 ，9 B6 ，7，9 C7 ，9 D7 ，9，102 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z2xy 的最小值等于（ ）A B2 C D23 （5 分）如图所示，程序框图的输出结果是（ ）A5 B6 C7 D84 （5 分）设a n是公比为 q 的等比数列，则“q1”是 “an为递增数列”的（ ）A充分而不必要条件 B
2、必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为（ ）Ay x By x Cy x Dy x6 （5 分）设 alog 37，b2 1.1，c 0.8 3.1，则（ ）Abac Bcab Ccba Dac b第 2 页（共 23 页）7 （5 分）已知函数 f（x ）sin（2x+ ） ，其中 为实数，若 f（x）|f （ ）|对 xR 恒成立，且 f（ ）f（） ，则 f（x）的单调递增区间是（ ）Ak ，k+ （kZ） B k，k+ （kZ）Ck+ ，k + （k
3、Z） Dk ，k （kZ ）8 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，| |2，| |4， ABC60，E ，F 分别是BC，CD 的中点，DE 与 AF 交于 H，则 的值（ ）A12 B16 C D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）设 z1i（i 是虚数单位） ，则 + 10 （5 分）三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥 DABE 的体积为 V1， PABC 的体积为 V2，则 11 （5 分）函数 的最大值为
4、; 12 （5 分）垂直于直线 yx+1 且与圆 x2+y21 相切于第一象限的直线方程是 13 （5 分）若 log4（3a+4b） log2 ，则 a+b 的最小值是 14 （5 分）已知函数 f（x ）满足，f（x） ，其中 k0，若函数yf（f（x ） ）+1 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 （13 分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机
5、有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a、b、c （）求“抽取的卡片上的数字满足 a+bc”的概率；（）求“抽取的卡片上的数字 a、b、c 不完全相同”的概率16 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对边的边长分别是 a，b，c（1）若 c2， 且ABC 的面积等于 ，求 cos（A+B）和 a，b 的值；第 3 页（共 23 页）（2）若 B 是钝角，且 ，求 sinC 的值17 （13 分）如图等腰梯形 ABCD 中 ADBC，ABCD，且平面 ABCD平面ADE，AD2BC6，AE4 ，AD DE，M 为线段 AE 的中点（）求证：直线 BM平面
6、 CDE；（）求证：平面 CDE平面 ABCD；（）若二面角 CDEA 的大小为 45，求直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值18 （13 分）数列a n是等比数列，公比大于 0，前 n 项和 Sn（n N*） ，b n是等差数列，已知 a1 ， +4，a 3 ，a 4 （）求数列a n，b n的通项公式 an，b n；（）设S n的前 n 项和为 Tn（nN *）（i）求 Tn；（ii）证明： 19 （14 分）设椭圆 + 1（a ）的右焦点为 F，右顶点为 A，已知|OA|OF| 1，其中 O 为原点， e 为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程及离心率 e 的值；（2）设过点 A 的直
7、线 l椭圆交于点 B（B 不在 x 轴上） ，垂直于 l 的直线与 l 交于点M，与 y 轴交于点 H，若 BFHF ，且MOAMAO，求直线 l 的斜率的取值范围20 （14 分）若函数 yf（x）在 xx 0 处取得极大值或极小值，则称 x0 为函数 yf（x）的极值点设函数 f（x）x 3tx 2+1（t R） （1）若函数 f（x ）在（0，1）上无极值点，求 t 的取值范围；第 4 页（共 23 页）（2）求证：对任意实数 t，在函数 f（x）的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当 t3 时，若函数 f（x）的图象上存在的两条平行切线之间的距离为 4，间；这样的平行切线共有几组？请
8、说明理由第 5 页（共 23 页）2019 年天津市河西区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设全集 UnN|1n10，A1，2，3，5，8，B1，3，5，7，9 ，则（ UA）B（ ）A6 ，9 B6 ，7，9 C7 ，9 D7 ，9，10【分析】求出全集的元素，结合交集，补集的定义进行计算即可【解答】解：UnN|1n101，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则 UA4，6 ，7，9，10，则（ UA）B7，9，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合补集，交集的定义是解决本题的关键2
9、 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z2xy 的最小值等于（ ）A B2 C D2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【解答】解：由变量 x，y 满足约束条件 作出可行域如图，由图可知，最优解为 A，联立 ，解得 A（1， ） z2x y 的最小值为 2（1） 故选：A第 6 页（共 23 页）【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题3 （5 分）如图所示，程序框图的输出结果是（ ）A5 B6 C7 D8【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：k0 时，S100 是，S2 01
10、，k1，k1 时，S100 是，S1+2 13，k2，k2 时，S100 是，S3+2 27，k3，k3 时，S100 是，S7+2 315，k4，k4 时，S100 是，S15+2 431，k5，k5 时，S100 是，S31+2 563，k6，k6 时，S100 是，S63+2 6127，k7，当 k7 时，S100 不满足，输出 k7，第 7 页（共 23 页）故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键4 （5 分）设a n是公比为 q 的等比数列，则“q1”是 “an为递增数列”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条
11、件 D既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：等比数列1，2，4，满足公比 q21，但a n不是递增数列，充分性不成立若 an1 为递增数列，但 q 1 不成立，即必要性不成立，故“q1”是“a n为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键5 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为（ ）Ay x By x Cy x Dy x【分析】根据题意，由双曲线的离心率为 ，分析可得 e2
12、1+ ，计算可得 的值，结合焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程即可得答案【解答】解：根据题意，双曲线 C： 1（a0，b0）的离心率为 ，则有 e2 1+ ，即 ，即有 ，又由双曲线的焦点在 x 轴上，则其渐近线方程为：y x；第 8 页（共 23 页）故选：C【点评】本题考查双曲线的标准方程，注意双曲线的焦点的位置6 （5 分）设 alog 37，b2 1.1，c 0.8 3.1，则（ ）Abac Bcab Ccba Dac b【分析】分别讨论 a，b，c 的取值范围，即可比较大小【解答】解：1log 372，b 2 1.12，c 0.8 3.11，则 cab，故选：B【点评】
13、本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论7 （5 分）已知函数 f（x ）sin（2x+ ） ，其中 为实数，若 f（x）|f （ ）|对 xR 恒成立，且 f（ ）f（） ，则 f（x）的单调递增区间是（ ）Ak ，k+ （kZ） B k，k+ （kZ）Ck+ ，k + （k Z） Dk ，k （kZ ）【分析】由若 对 xR 恒成立，结合函数最值的定义，我们易得 f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角 的值，结合，易求出满足条件的具体的 值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案【解答】解：若 对 xR 恒成立，则 f（ ）等
14、于函数的最大值或最小值即 2 +k + ，kZ则 k + ，kZ又即 sin0令 k1，此时 ，满足条件令 2x 2k ，2k + ，kZ第 9 页（共 23 页）解得 x故选：C【点评】本题考查的知识点是函数 yAsin （ x+）的图象变换，其中根据已知条件求出满足条件的初相角 的值，是解答本题的关键8 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，| |2，| |4， ABC60，E ，F 分别是BC，CD 的中点，DE 与 AF 交于 H，则 的值（ ）A12 B16 C D【分析】过点 F 作 BC 的平行线交 DE 于 G，计算出 GF AD，求出 和 的向量，利用向量数量积
15、的定义和公式计算 即可【解答】解：过点 F 作 BC 的平行线交 DE 于 G，则 G 是 DE 的中点，且 GF EC BCGF AD，则AHD GHF从而 FH AH， ， + + ，则 ， + ，则 （ ）（ ） 2 2 ，故选：C第 10 页（共 23 页）【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件求出 和 的表达式是解决本题的关键二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）设 z1i（i 是虚数单位） ，则 + 2+2 i 【分析】把复数 z 代入 + ，然后直接利用复数代数形式的除法运算化简求值【解答】解：z1i， + 故答案为：2+2i【点评】
16、本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题10 （5 分）三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥 DABE 的体积为 V1， PABC 的体积为 V2，则 【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比【解答】解：如图，三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，三棱锥 DABE 的体积为 V1，P ABC 的体积为 V2，A 到底面 PBC 的距离不变，底面 BDE 底面积是 PBC 面积的 ， 故答案为： 第 11 页（共 23 页）【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题
17、11 （5 分）函数 的最大值为 + 【分析】求出 f（x ）的导数，令导数为 0，可得极值点，求出单调区间，可得极大值，且为最大值【解答】解：函数 的导数为 f（x）12sinx，由 12sinx0 ，解得 x 0， ，当 x0， 时，f（x ） 0，f（x）递增；当 x ， 时，f（x ） 0，f（x）递减可得 f（x）在 x 处取得极大值，且为最大值 + 故答案为： + 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于基础题12 （5 分）垂直于直线 yx+1 且与圆 x2+y21 相切于第一象限的直线方程是 x+y 0 【分析
18、】设所求的直线为 l，根据直线 l 垂直于 yx+1，设 l 方程为 yx +b，即x+y+b0根据直线 l 与圆 x2+y21 相切，得圆心 0 到直线 l 的距离等于 1，由点到直线的距离公式建立关于 b 的方程，解之可得 b ，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程【解答】解：设所求的直线为 l，直线 l 垂直于直线 yx+1，可得直线的斜率为 k1，第 12 页（共 23 页）设直线 l 方程为 yx+b，即 x+yb0，直线 l 与圆 x2+y21 相切，圆心到直线的距离 d 1，解之得 b当 b 时，可得切点坐标（ ， ） ，切点在第三象限；当 b 时，可得切点坐标（ ，
19、 ） ，切点在第一象限；直线 l 与圆 x2+y21 的切点在第一象限，b 不符合题意，可得 b ，则直线方程为 x+y 0故答案为：x+y 0【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键13 （5 分）若 log4（3a+4b） log2 ，则 a+b 的最小值是 7+4 【分析】log 4（3a+4b）log 2 ，可得 3a+4bab，a， b0. 0，解得a4于是 a+ba+ +7，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：log 4（3a+4b ）log 2 ， ， ，3a+4bab，a，
20、b0 0，解得 a4a+ba+ +77+ ，当且仅当 a4+2 时取等号a+b 的最小值是 7+4 故答案为：7+4 【点评】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题14 （5 分）已知函数 f（x ）满足，f（x） ，其中 k0，若函数第 13 页（共 23 页）yf（f（x） ）+1 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是 ，+） 【分析】函数 yf f（x）+1 的零点个数，即为方程 ff（x）1 的解的个数，结合函数 f（x） ，求解方程可得答案【解答】解：当 k0 时，函数 f（x） 的图象如下图所示：此时若函数 yf f（x）+10，则
21、ff（x） 1，则 f（x） ，只有一解，不合题意，当 0k 时，函数 f（x） 的图象如下图所示：此时若函数 yf f（x）+10，则 ff（x） 1，则 f（x） ，或 kf（x）+k1，只有三解，不合题意，第 14 页（共 23 页）当 k 时，函数 f（x） 的图象如下图所示：此时若函数 yf f（x）+10，则 ff（x） 1，则 f（x） ，或 kf（x）+k1，有四解，满足题意，故满足条件的实数 k 的取值范围是 ，+） ，故答案为： ，+）【点评】本题考查的知识点是函数零点的判定，其中将函数的零点问题转化为方程根的个数问题，是解答的关键三、解答题：本大题共 6 小题，共 80
22、分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 （13 分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a、b、c （）求“抽取的卡片上的数字满足 a+bc”的概率；（）求“抽取的卡片上的数字 a、b、c 不完全相同”的概率【分析】 （）所有的可能结果（a，b，c）共有 33327 种，而满足 a+bc 的（a，b，c 有计 3 个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足 a+bc”的概率（）所有的可能结果（a，b，c）共有 333 种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字 a，b，c
23、 完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字 a，b，c 完全相同”的概率，再用 1 减去此概率，即得所求【解答】解：（）所有的可能结果（a，b，c）共有 33327 种，而满足 a+bc 的（a，b，c ）有（1，1，2） 、 （1，2，3） 、 （2，1，3） ，共计 3 个，第 15 页（共 23 页）故“抽取的卡片上的数字满足 a+bc”的概率为 （）满足“抽取的卡片上的数字 a，b，c 完全相同”的（a，b，c）有：（1，1，1） 、 （2，2，2） 、 （3，3，3） ，共计三个，故“抽取的卡片上的数字 a，b，c 完全相同”的概率为 ，“抽取的卡片上的数字
24、a，b，c 不完全相同”的概率为 1 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题16 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对边的边长分别是 a，b，c（1）若 c2， 且ABC 的面积等于 ，求 cos（A+B）和 a，b 的值；（2）若 B 是钝角，且 ，求 sinC 的值【分析】 （1）根据三角形内角和，算出 A+BC ，即可得到 cos（A+B）根据余弦定理，结合题中数据列式，化简得 a2+b2ab4，由正弦定理关于三角形面积的公式算出 ab4，两式联解即可得到 ab2；（2）根据 B 是钝角和 ，利用同角三角函数关系算出 cosB ；由算出 ，从而得 s
25、in（A+B）sin AcosB+cosAsinB ，结合三角形内角和与诱导公式即可算出 sinC 的值【解答】解（1）A+B+C ， ，A+BC由此可得： （2 分）根据余弦定理，得 c2a 2+b22abcosC，a 2+b2ab4， （4 分）又ABC 的面积等于 ，即 ， ab ，解之得 ab4 （5 分）联立方程组 ，解之得 a2，b2 （7 分）（2）B 是钝角，且第 16 页（共 23 页） （8 分）（9 分）因此，sinC sin （A +B）sin（A+B）sinAcosB +cosAsinB （12 分）
26、【点评】本题给出三角形的一边和其对角，在已知三角形的面积情况下求其它两边的长，着重考查了三角函数的诱导公式、同角三角三角函数的基本关系、正弦定理的面积公式和利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题17 （13 分）如图等腰梯形 ABCD 中 ADBC，ABCD，且平面 ABCD平面ADE，AD2BC6，AE4 ，AD DE，M 为线段 AE 的中点（）求证：直线 BM平面 CDE；（）求证：平面 CDE平面 ABCD；（）若二面角 CDEA 的大小为 45，求直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值【分析】 （I）取 DE 的中点 N，连接 MN，CN，证明四边形 BCNM 是平行四边形得
27、出BMCN，故而 BM平面 CDE；（II）根据平面 ABCD平面 ADE，ADDE 即可得出 DE平面 ABCD，故而平面CDE平面 ABCD；（III）根据 BMCN，DE 平面 ABCD 可知直线 BM 与平面 ABCD 所成角等于DCN，根据ADC45计算 CD，求出 DN 即可得出 tanDCN 的值【解答】 （I）证明：取 DE 的中点 N，连接 MN，CNM，N 分别是 AE，DE 的中点，第 17 页（共 23 页）MNAD，MN AD，又 BCAD，BC AD，MNBC，MNBC，四边形 BCNM 是平行四边形， BM CN，又 BM平面 CDE，CN平面 CDE，BM平面
28、CDE（II）证明：平面 ABCD平面 ADE，平面 ABCD平面 ADEAD，ADDE ，DE平面 ABCD，又 DE平面 CDE，平面 CDE平面 ABCD（III）解：由（I）知 BMCN，故直线 BM 与平面 ABCD 所成角等于直线 CN 与平面ABCD 所成的角，由（II）知 DE平面 ABCD，DCN 为直线 CN 与平面 ABCD 所成的角，DE平面 ABCD，DE AD，DECD ，ADC 为二面角 CDEA 的平面角，即ADC45，在等腰梯形中，BC3，AD6，ADC45，CD ，在 Rt ADE 中，AD6，AE4 ，N 是 DE 的中点，DN DE ，tanDCN 直线
29、 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 第 18 页（共 23 页）【点评】本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题18 （13 分）数列a n是等比数列，公比大于 0，前 n 项和 Sn（n N*） ，b n是等差数列，已知 a1 ， +4，a 3 ，a 4 （）求数列a n，b n的通项公式 an，b n；（）设S n的前 n 项和为 Tn（nN *）（i）求 Tn；（ii）证明： 【分析】 （I）设等比数列a n的公比 q0， ， 20，解得q可得 an设等差数列b n的公差为 d，由a3 ，a 4 利用通项公式可得 bn（） （i）利用求和公
30、式可得 Sn1 可得S n的前 n 项和为 Tnn1+ （ii）由（i）可得： 利用裂项求和方法即可得出【解答】解：（I）设等比数列 an的公比 q0， ， 20，第 19 页（共 23 页）解得 q a n 设等差数列b n的公差为 d，a 3 ，a 4 2b 1+8d8，3b 1+16d16，解得 b10，d1，b nn1（） （i）S n 1Sn的前 n 项和为 Tnn n n1+ （ii）证明： + + 【点评】本题考查了等差数列等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19 （14 分）设椭圆 + 1（a ）的右焦点为 F，右顶点为 A，已知|O
31、A|OF| 1，其中 O 为原点， e 为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程及离心率 e 的值；（2）设过点 A 的直线 l椭圆交于点 B（B 不在 x 轴上） ，垂直于 l 的直线与 l 交于点M，与 y 轴交于点 H，若 BFHF ，且MOAMAO，求直线 l 的斜率的取值范围【分析】 （1）根据椭圆的定义和几何性质可得 a 1，解得求出 a 的值即可（2）由已知设直线 l 的方程为 yk（x2） ， （k0） ，联立直线方程和椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 B 的坐标，再写出 MH 所在直线方程，第 20 页（共 23 页）求出 H 的坐标，由 BFHF ，得
32、 （1x 1，y 1）（1，y H）0，整理得到M 的坐标与 k 的关系，由MOAMAO ，得到 x01，转化为关于 k 的不等式求得 k的范围【解答】解：（1）椭圆 + 1（a ）的右焦点为 F，右顶点为A，| OA| OF|1，ac1，即 a 1，解得 a2，c1，e ，椭圆的方程为 + 1，（2）由已知设直线 l 的方程为 yk（x2） ， （k0） ，设 B（x 1，y 1） ，M（x 0，k （x 02） ） ，MOAMAO ，x 01，再设 H（0，y H） ，联立 ，得（3+4k 2）x 216k 2x+16k2120（16k 2） 24（3+4k 2） （16k 212）144
33、0由根与系数的关系得 2x1 ，x 1 ，y 1k （x 12） ，MH 所在直线方程为 yk（x 02） （x x 0） ，令 x0，得 yH（k+ ）x 0+2k，BFHF ，第 21 页（共 23 页） （1x 1，y 1）（1，y H）0，即 1x 1+y1yH1 （k+ ）x 0+2k，整理得：x 0 1，即 8k23k 或 k【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题20 （14 分）若函数 yf（x）在 xx 0 处取得极大值或极小值，则称 x0 为函数 yf（x）的极值点设函数 f（
34、x）x 3tx 2+1（t R） （1）若函数 f（x ）在（0，1）上无极值点，求 t 的取值范围；（2）求证：对任意实数 t，在函数 f（x）的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当 t3 时，若函数 f（x）的图象上存在的两条平行切线之间的距离为 4，间；这样的平行切线共有几组？请说明理由【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出 t 的范围即可；（2）假设平行，求出函数的导数，结合二次函数的性质得出矛盾，判断即可；（3）代入 t 的值，令 （0） ，问题转化为（ 1） （ 28+10）0，判断即可【解答】解：（1）由函数 f（ x）x 3tx 2+1，得 f（x）3x 2
35、2tx，由 f（x）0 ，得 x0，或 x t，因函数 f（x）在（ 0，1）上无极值点，所以 t0 或 t1，解得 t0 或 t （4 分）（2）方法一：令 f（x ）3x 22txp，即 3x22tx p 0，4t 2+12p，当 p 时，0，此时 3x22txp0 存在不同的两个解x1，x 2（8 分）（方法二：由（1）知 f（x）3x 22tx，令 f（x）1，则 3x22tx10，所以0，即对任意实数 t， f（x）1 总有两个不同的实数根 x1，x 2，第 22 页（共 23 页）所以不论 t 为何值，函数 f（x）在两点 xx 1，xx 2 处的切线平行8 分）设这两条切线方程为
36、分别为 y（3 2tx 1）x 2 +t +1 和y（3 2tx 2）x 2 +t +1，若两切线重合，则2 +t +12 +t +1，即 2 x 1x2t（x 1+x2） ，而 x1+x2 ，化简得 x1x2 ，此时 4x 1x2 0，与 x1x 2 矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数 t，函数 f（x）的图象总存在两条切线相互平行 （10分）（3）当 t3 时，f（x）x 33x 2+1，f（x）3x 26x，由（2）知 x1+x22 时，两切线平行设 A（x 1， 3 +1） ，B（x 2， 3 +1） ，不妨设 x1x 2，过点 A 的切线方程为：y （3 6x 1）x2 +3 +1（11 分）所以，两条平行线间的距离 d ，化简得 1+9 ，（13 分）令 （0） ，则 319（ 1） 2，即（1） （ 2+1）9（1） 2，即（1） （ 28+10）0，显然 1 为一解， 28 +100 有两个异于 1 的正根，所以这样的 有 3 解，而 （0） ，x 1x 2，x 1+x22，所以 x1 有 3 解，所以满足此条件的平行切线共有 3 组（16 分）第 23 页（共 23 页）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查直线的位置关系，是一道综合题
