1、湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1（3分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（）ABCD2（3分）已知关于x的一元二次方程x22ax+40的一个根是2，则a的值为（）A1B1C2D23（3分）关于抛物线y2x2，下列说法错误的是（）A开口向上B对称轴是y轴C函数有最大值D在x0时，函数y随x随增大而增大4（3分）随着划片招生和小班政策的实施，麓山国际实验学校初一新生人数逐步减少，2014届初一新入校人数为1300人，2016届初一新入校人数为1053人，设该校入校人数平均每年的下降率
2、为x，则根据题意可列方程为（）A10531300（1x）2B13001053（1x）2C13001053（1+x）2D10531300（1+x）25（3分）二次函数经过（3，0）和（0，3），对称轴是x1，则这个二次函数的表达式为（）Ayx2+2x+3Byx2+2x+3Cyx2+2x3Dyx22x+36（3分）如图，过O外一点P引O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交O于点C，点D是上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若APB80，则ADC的度数是（）A15B20C25D307（3分）下列说法：过切点的直线垂直于切线，则这条直线必过圆心；长度相等的弧是等弧；平分弦的直径必
3、垂直于弦；三角形内心到三个顶点的距离相等其中正确的个数有（）A1B2C3D48（3分）如图，在RtABC中，C90，AC5，BC12，C的半径为6.5，则C与AB的位置关系是（）A相切B相离C相交D无法确定9（3分）如图，四边形ABCD内接于O，它的一个外角EBC65，分别连接AC，BD，若ACAD，则DBC的度数为（）A50B55C65D7010（3分）一个圆的内接正三边形的边长为2，则该圆的内接正方形的边长为（）AB4C2D211（3分）如图1，O的半径为r，若点P在射线OP上，满足OPOPr2，则称点P是点P关于O的“反演点”，如图2，O的半径为4，点B在O上，BOA60，OA8，若点A
4、是点A关于O的反演点，求AB的长为（）AB2C2D412（3分）如图所示，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x1直线yx+c与抛物线yax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：2a+b+c0；ab+c0；x（ax+b）a+b；a1其中正确的有（）A4个B3个C2个D1个二、填空题（本大题共6个小是，每小是3分，共18分）13（3分）方程x2+2x30的解是 14（3分）如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，OAB是边长为2的等边三角形，以O为旋转中心，将OAB按顺时针方向旋转60，得到OAB，那么点A
5、的坐标为 15（3分）用一个半径为30，圆心角为90的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 16（3分）关于x的方程x2kx2k0的两个根的平方和为12，则k 17（3分）二次函数y2x24x+1在0x3时y的取值范围为 18（3分）如图，O的半径是2，AB是O的弦，点P是弦AB上的动点，且1OP2，则弦AB所对的圆周角的度数是 三、解答题（本大题共8小题，共66分19（6分）计算（2）0+（）2+|1|20（6分）先化简，再求值；（ab）2+2（a+b）（ab）a（a2b），其中a，b21（8分）在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周一下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为
6、：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动，教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）请解答下列问题：（1）请补全条形统计图并计算扇形统计图中武术所对的圆心角度数；（2）教师从武术类中选取最优秀的4人，刚好2男2女，现教务处从中任意抽取2人参加比赛，用列表法或树状图法求出被抽取的两名学生性别相同的概率是多少22（8分）如图所示，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E连接AC、OC、BC（1）若ACO25，求BCD的度数（2）若EB4cm，CD16cm，求O的直径23（9分
7、）如图，ABC中，ABC90，以AB为直径的O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE，已知BAC30，AB8（1）求劣弧BD的长（2）求阴影部分的面积24（9分）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，且EGEK（1）求证：EF是O的切线；（2）若O的半径为13，CH12，求FG的长25（10分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于80万元，已知这种设
8、备的月产量x（套）与每套的售价y（万元）之间满足关系式y1502x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；（2）求月产量x的范围；（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？26（10分）如图，已知抛物线yax2+bx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心为M（1，1），已知点B（3，0），设M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E（1）求M的半径及抛物线的解析式；（2）若点F在抛物线的第四象限上，求FBC的面积的最大值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得PAC是直角三角形
9、，且两直角边的长度之比是1：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1解：A、图形不是中心对称图形；B、图形是中心对称图形；C、图形不是中心对称图形；D、图形不是中心对称图形，故选：B2解：关于x的一元二次方程x22ax+40的一个根是2，222a2+40，即4a8解得，a2故选：C3解：A、抛物线y2x2，开口向上，正确，不合题意；B、抛物线y2x2，对称轴是y轴，正确，不合题意；C、抛物线y2x2，函数有最小值，错误，符合题意；D、抛物线y2x2，在x0时，函数y随x随增大而增大，正确，不合题意故选：C4解：设该校入
10、校人数平均每年的下降率为x，根据题意得：1300（1x）21053故选：A5解：点（3，0）关于直线x1的对称点的坐标为（1，0），设抛物线的解析式为ya（x+3）（x1），把（0，3）代入得3a3（1），解得a1，所以抛物线解析式为y（x+3）（x1），即yx22x+3故选：D6解；如图，由四边形的内角和定理，得BOA360909080100，由，得AOCBOC50由圆周角定理，得ADCAOC25，故选：C7解：过切点的直线垂直于切线，则这条直线必过圆心，所以正确；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以错误；平分弦（非直径）的直径必垂直于弦，所以错误；三角形内心到三边的距离相等所以错误故选
11、：A8解：过C作CDAB于D，由勾股定理得：AB13，由三角形的面积公式得：ACBCABCD，51213CD，CD，C与AB的位置关系是相交，故选：C9解：四边形ABCD内接于O，ADCEBC65ACAD，ACDADC65，CAD180ACDADC50，DBCCAD50，故选：A10解：如图，连接OC，OA，OB，过O作OGCD于G，则CGCD，ACD是圆内接正三角形，OCG30，OC2，四边形ABEF是正方形，AOB90，ABOA2，故选：D11解：设OA交O于C，连结BC，如图2，OAOA42而r4，OA8OA2，BOA60，OBOC，OBC为等边三角形，而点A为OC的中点，BAOC，在R
12、tOAB中，sinAOB，AB4sin602故选：B12解：抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，抛物线的对称轴为直线x1，b2a，2a+b+c2a2a+cc0，所以正确；抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x1，抛物线与x轴的另一个交点在点（1，0）右侧，当x1时，y0，ab+c0，所以正确；x1时，二次函数有最大值，ax2+bx+ca+b+c，ax2+bxa+b，所以正确；直线yx+c与抛物线yax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，x3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c3+c，而b2a，9a6a3，解得a1，所以正确故选：A二、
13、填空题（本大题共6个小是，每小是3分，共18分）13解：x2+2x30（x+3）（x1）0x13；x21故本题的答案是3或114解：作BCx轴于C，如图，OAB是边长为2的等边三角形OAOB2，ACOC1，BOA60，A点坐标为（2，0），O点坐标为（0，0），在RtBOC中，BC，B点坐标为（1，）；OAB按顺时针方向旋转60，得到OAB，AOABOB60，OAOBOAOB，点A与点B重合，即点A的坐标为（1，），故答案为（1，）15解：设该圆锥底面圆的半径为r，根据题意得2r，解得r7.5，即该圆锥底面圆的半径为7.5故答案为：7.516解：设关于x的方程x2kx2k0的两实数根分别为x1
14、、x2，则x1+x2k，x1x22k原方程两实根的平方和为12，x12+x22（x1+x2）22x1x212 方程有两实数根，k24（2k）0，k0或k8，把代入得，k22（2k）12，解得k12，k26（舍去）k2故答案为：217解：y2x24x+12（x1）21，当x1时，y取得最小值1，又0x3，当x3时，y取得最大值，最大值为7，在0x3时y的取值范围为1y7，故答案为：1y718解：作ODAB，点P是弦AB上的动点，且1OP2，OD1，OAB30，AOB120，AEBAOB60，E+F180，F120，即弦AB所对的圆周角的度数为60或120，故答案为：60或120三、解答题（本大题
15、共8小题，共66分19解：原式1+34+13220解：原式a22ab+b2+2a22b2a2+2ab2a2b2，当a，b时，原式021解：（1）100名学生中女生人数有100102013948人，参加武术活动的女生人数为481581510人，补全条形统计图如图所示，扇形统计图中武术所对的圆心角度数36036030%108；（2）列表如下： 男男女女男（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（女，女）女（男，女）（男，女）（女，女）所有等可能的情况有12种，其中被抽取的两名学生性别相同的情况有4种，则P22解：（1）AOCO，AACO25，AB为O的直
16、径，CD是弦，且ABCD，BCDA25；（2）设O的半径为xcm，则OCxcm，OEOBBEx4（cm），ABCD，CD16cm，CECD8cm，在RtOCE中，OC2OE2+CE2，x282+（x4）2，解得：x10，O的直径为20cm23解：（1）OAOD，OADODA30，AOD120，DOB60，的长（2）S阴S扇形OADSAOD42424（1）证明：连接OG，弦CDAB于点H，AHK90，HKA+KAH90，EGEK，EGKEKG，HKAGKE，HAK+KGE90，AOGO，OAGOGA，OGA+KGE90，GOEF，EF是O的切线；（2）解：连接CO，在RtOHC中，CO13，CH
17、12，HO5，AH8，OF15，FG225解：（1）设函数关系式为y2kx+b，把坐标（30，1400）（40，1700）代入，解得：，函数关系式y230x+500；（2）依题意得：，解得：25x35；（3）Wxy1y2x（1502x）（500+30x）2x2+120x500W2（x30）2+1300253035，当x30时，W最大1300答：当月产量为30件时，利润最大，最大利润是1300万元26解：（1）由题意得：点M在抛物线的对称轴上，则抛物线的对称轴为x1，则：x1，即：b2a，把点B的坐标代入抛物线表达式得：a92a330，则a1，故抛物线的表达式为：yx22x3，过点M作MNy轴，交y轴于点N，则圆的半径MC；（2）点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），则直线BC的表达式为：yx3，设：点F是抛物线在第四象限的点，过点F作y轴的平行线，交在BC与点P，设：点F的坐标为（x，x22x3），则点P坐标为（x，x3），SFBCPFOB（x3x2+2x+3）3（x）2+，a，故SFBC有最大值，故当x时，FBC的面积的最大值；（3）当点P在点O、P、P的位置时，PAC是直角三角形，且两直角边的长度之比是1：3，即：PACACPAOC90，此时，点P的坐标分别为：（0，）或（9，0）或（0，0）
