1、8.2 空间几何体的表面积与体积最新考纲 考情考向分析会计算柱、锥、台、球的表面积和体积.本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算命题形式以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想.1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式 S 圆柱侧 2 rl S 圆锥侧 rl S 圆台侧 (r 1r 2)l3.柱、锥、台、球的表面积和体积名称
2、几何体 表面积 体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积 S 侧 2S 底 VSh锥体(棱锥和圆锥) S 表面积 S 侧 S 底 V Sh13台体(棱台和圆台) S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V (S上 S 下 )h13 S上 S下球 S4R 2 V R343概念方法微思考1如何求旋转体的表面积？提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和2如何求不规则几何体的体积？提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)多面体的表面积等于各个面
3、的面积之和( )(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( )(3)锥体的体积等于底面积与高之积( )(4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R a.( )32(5)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2S.( )题组二 教材改编2P27 练习 T1已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A1 cm B2 cm C3 cm D. cm32答案 B解析 S 表 r 2rl r2r2 r3r 212，r 24，r 2.3P28A 组 T3如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则
4、该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_答案 147解析 设长方体的相邻三条棱长分别为 a，b，c，它截出棱锥的体积 V1 a b c13 12 12 12 12abc，剩下的几何体的体 积 V2abc abc abc，所以 V1V 2147.148 148 4748题组三 易错自纠4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A3 B4 C2 4 D3 4答案 D解析 由几何体的三视图可知， 该几何体为半圆柱，直 观图 如图所示表面积为222 12 1243.125(2018浙江省杭州名校协作体月考) 三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为 ， ，1，3 2则该三棱锥的外接球的表面积是
5、( )A24 B18 C10 D6答案 D解析 由题意得，外接球的直径是 2R ，3 2 1 6所以表面积为 4R2( )26.66已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案 163解析 由三视图可知，该几何体是一个 圆柱挖去了一个同底等高的 圆锥，其体 积为222 222 .13 163题型一 求空间几何体的表面积1(2018全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O 2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )A12 B12 C8 D102 2答案 B解析 设圆柱的轴截面的边长为 x，则由 x28，得 x2 ，2S 圆柱表
6、 2S 底 S 侧 2( )22 2 12.故选 B.2 2 22(2018浙江省“七彩阳光”联盟联考) 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为( )A84 B6 22 2 3C64 D62 22 2 3答案 A解析 由三视图知该四棱锥是如图所示的棱长为 2 的正方体中的四棱锥 PBCDE，其表面积为 222 222 22 84 .故选 A.12 12 2 23(2018浙江省嘉兴一中联考) 一个圆锥的表面积为 ，它的侧面展开图是圆心角为 120的扇形，则该圆锥的高为( )A1 B. C2 D22 2答案 B解析 设圆锥底面半径是 r，母 线长为 l，所以 r2rl ，即 r2rl1，
7、根据 圆心角公式 ，23 2rl即 l3r，解得 r ，l ，所以 h .12 32 l2 r2 2思维升华 空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积 注意衔接部分的处理(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量题型二 求空间几何体的体积命题点 1 求以三视图为背景的几何体的体积例 1 (2018浙江省杭州市七校 联考)已知图中的网格是由边长为 1 的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为( )A64 B. C. D128643 1283答案 B解析
8、 由三视图知该几何体是一个三棱锥，其直 观图如图 所示，高 为 4，底面三角形一边长为8，对应的高为 4，则此三棱锥的体积 V 844 ，故 选 B.13 12 643命题点 2 求简单几何体的体积例 2 如图，正三棱柱 ABCA 1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 ，D 为 BC 的中点，则三棱3锥 AB 1DC1 的体积为( )A3 B.32C1 D.32答案 C解析 如题图，因为ABC 是正三角形，且 D 为 BC 中点，则 ADBC.又因为 BB1平面 ABC，AD平面 ABC，故 BB1AD ，且 BB1BCB， BB1，BC平面 BCC1B1，所以 AD平面 BCC1B1，所以
9、 AD 是三棱锥 AB 1DC1 的高所以 1DCVS三 棱 锥 1.13 3 3思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)直接利用公式进行求解(2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图跟踪训练 1 (1)(2018嘉兴模 拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈；上棱长 2 丈，高 1 丈，问它的体积是多少？”已知 1 丈为 10 尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小
10、正方形的边长为 1 丈，则该楔体的体积为( )A5 000 立方尺 B5 500 立方尺C6 000 立方尺 D6 500 立方尺答案 A解析 (分割法)该楔体的直观图如图中的几何体 ABCDEF.取 AB 的中点 G，CD 的中点 H，连接 FG，GH，HF，则该几何体的体 积为四棱锥 FGBCH 与三棱柱 ADEGHF 的体积之和又可以将三棱柱 ADEGHF 割补成高为 EF，底面 积为 S31 (平方丈)的一个直棱柱，故 该楔体的体积 V 2 2315( 立方丈)12 32 32 135 000(立方尺) (2)如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 的各条棱长均为 2，D 为棱 B1C1
11、 上任意一点，则三棱锥DA 1BC 的体积是_答案 233解析 111123.3DABCABBCBCVVS 题型三 与球有关的切、接问题例 3 已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB3，AC4 ，AB AC，AA 112，则球 O 的半径为( )A. B2 C. D33172 10 132 10答案 C解析 如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.又 AM BC ，OM AA16，12 52 12所以球 O 的半径 ROA .(52)2 62 132引申探究1本例若将直三棱柱改为“棱长为 4 的正方体” ，则此正方体外接球和内
12、切球的体 积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体 对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径 为 R，内切球的半径 为 r.又正方体的棱长为 4，故其体 对角线长为 4 ，3从而 V 外接球 R3 (2 )332 ，43 43 3 3V 内切球 r3 23 .43 43 3232本例若将直三棱柱改为“正四面体” ，则此正四面体的表面 积 S1 与其内切球的表面积 S2的比值为多少？解 正四面体棱长为 a，则正四面体表面 积为 S14 a2 a2，其内切球半径 r 为正四面34 3体高的 ，即 r a a，因此内切球表面积为 S24r 2 ，则 .14 1
13、4 63 612 a26 S1S2 3a2a26 633本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是 3 的正四棱锥” ，则其外接球的半径是2多少？解 依题意，得该正四棱锥底面 对角线的长为 3 6，高为 3，2 2322 (126)2因此底面中心到各顶点的距离均等于 3，所以 该正四棱锥 的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3.思维升华 “切” “接”问题的处理规律(1)“切”的处理首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心(2)“接”的处理抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径跟踪训练 2 (1)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为 (
14、)A34 B25 C41 D50答案 A解析 根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分 别是 4,3,3 的长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于 对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线就是其外接球的直径，所以有 R ，从而求得其表面积为 S4R 234，42 32 322 342故选 A.(2)(2018全国)设 A，B ，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值为( )3A12 B 18 C24 D543 3 3 3答案 B解析 由等边ABC 的面积为 9 ，可得 AB29 ，334 3
15、所以 AB6，所以等边ABC 的外接圆的半径为 r AB2 .33 3设球的半径为 R，球心到等边ABC 的外接圆圆心的距离 为 d，则 d 2.R2 r2 16 12所以三棱锥 DABC 高的最大值为 246，所以三棱锥 DABC 体积的最大值为 9 618 .13 3 31(2018湖州模拟)一个棱锥的三视图如图 (单位：cm)，则该棱锥的表面积是( )A42 cm2 B46 cm26 2C. cm2 D22 cm243 6答案 A解析 由三视图得该几何体是底面为底为 2，高 为 2 的等腰三角形，高为 2 的三棱锥，且三棱锥的顶点在底面的投影为底面等腰三角形的底边的中点，则其表面积为22
16、2 2 2242 (cm2)，故选 A.12 12 2 3 12 62(2018浙江金华十校调研) 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是 2 的圆，则这个几何体的表面积是( )A16 B14 C12 D8答案 A解析 根据给定的三视图可知该几何体为 个球体，其半径为 2，因此 该几何体的表面积为34S 422 2216，故选 A.343 算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长 l 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V l2h
17、，它实际136上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取 3，那么，近似公式 V l2h 相当于将圆锥体积25942公式中的 近似取 ( )A. B. C. D.227 258 15750 355113答案 C解析 V r2h 2h l2h，由 ，得 ，故选 C.13 13 (l2) 112 112 25942 157504(2018浙江)某几何体的三视图如图所示 (单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A2 B4 C6 D8答案 C解析 由几何体的三视图可知， 该几何体是一个底面为直角梯形，高为 2 的直四棱柱，直角梯形的上、下底边长分别为 2,1，高为 2，该几何体的体积为 V
18、2 6.122 12故选 C.5(2018浙江考前热身联考) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线和虚线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B. C 2 D423 43答案 B解析 构造棱长为 2 的正方体如图所示，由三 视图知该几何体是 图中的四棱锥 PABCD，其中 B，D 分别为棱的中点，则其体积 V 2 .故选 B.13 22 2(1221) 436(2018浙江省联盟校联考) 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A3 B. C. D6154 334答案 B解析 由三视图还原直观图知， 该几何体为底面半径为 1，高 为 的圆锥挖去一个
19、球心为圆3锥底面圆的圆心且与圆锥相切的半球，易知 圆锥的母线长为 2，则圆锥的轴截面为边长为 2的等边三角形，球的半径为 ，故 该几何体的表面积为 12 4 21 2 32 12 ( 32)2 ，故选 B.(32) 1547(2018浙江名校联盟联考) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A82 B8C8 D82 4答案 A解析 由三视图可知该几何体为一个正方体截去两个 圆柱，正方体的体积为 2228，14截去的 圆柱的底面半径为 ，高为 2，两个 圆柱的体积为 ( )2222，故该几14 2 14 14 2何体的体积为 82，故选 A.8(2018浙江省十校联盟高考适应性考试)
20、 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_，侧面积等于_答案 4 3 55 2解析 如图，构造底面边长为 3 和 2，高 为 2 的长方体，由三视图可知该空间几何体为底面边长为 3 和 2，高为 2 的四棱锥 SABCD，其中平面 SCD 底面 ABCD，所以 该几何体的体积V 3224，侧面积为 4 个三角形的面积之和，所以侧面积13S 23 22 2 32 3 5 .12 12 2 12 5 12 2 5 29(2019绍兴质检)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为_答案 23 12解析 由三视图可知，该几何体由四分之一个底面半径
21、为 1、高 为 1 的圆锥与一个底面为长方形，高为 1 的四棱锥组成，如图所示该几何体的体积 V 121 121 .14 13 13 23 1210长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为_答案 14解析 长方体的顶点都在球 O 的球面上，长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径设球的半径为 R，则 2R .32 22 12 14球 O 的表面积为 S4R 24 214.(142)11从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的多面体，其三视图如图，则该几何体的体积为_，表面积为_答案 9 927 932 2解析 由三视图知该
22、几何体是如图所示的四棱锥 PABCD，因此，其体积V333 333 3339；表面积 S3 3333 (3 )212 13 12 12 2 34 2 9 .272 932 212如图，在ABC 中，AB8，BC 10，AC 6，DB 平面 ABC，且AEFCBD ， BD3，FC4，AE 5.求此几何体的体积解 方法一 如图，取 CM ANBD，连接 DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥则 V 几何体 V 三棱柱 V 四棱锥由题知三棱柱 ABCNDM 的体积为 V1 86372.12四棱锥 DMNEF 的体积为V2 S 梯形 MNEFDN13 (12)6824
23、，13 12则几何体的体积为 VV 1V 2722496.方法二 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使 AABBCC8，所以 V 几何体 V 三棱柱 SABC AA 24896.12 12 1213(2019宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为 120的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为_，该三棱锥的外接球的体积为_答案 4 3 152053解析 由三视图得该几何体为一个底面是底为 2 ，高为 1 的等腰三角形，高为 2 的三棱锥，3且该三棱锥的顶点在底面的投影为底面等腰三角形的顶点，则该三棱锥的表面积为2 22 12 2 4 .三棱锥的底面所在
24、的截面圆的半径为12 12 3 12 5 3 3 152，则三棱锥的外接球的半径为 ，则该三棱锥的外接球的体积为232sin 120 22 (22)2 5( )3 .43 5 205314(2018温州模拟)某几何体的三视图如图所示 (单位：cm)，则该几何体的体积是_ cm3，表面积是_ cm 2.答案 1 9 52 3解析 如图，在长方体中作出 该几何体的直观图， 记为四棱 锥 PABCD，所以 该四棱锥的体积 V S 梯形 ABCDPD (12)121.13 13 12因为 PB2PA 2AB 21 22 21 26，BC 22，PC 2PD 2CD 22 22 28，所以PC2PB 2
25、BC 2，所以 PBBC， 所以 SPBC PBBC ，S 梯形12 12 6 2 3ABCD (12)1 ，12 32SPAD PDAD 211，12 12SPCD PDCD 222，12 12SPAB PAAB 1 ，12 12 5 52所以四棱锥 PABCD 的表面积S 12 .332 52 9 52 315(2018浙江省联盟校联考) 已知矩形 ABCD 的周长为 20 ，当矩形 ABCD 的面积最大时，2沿对角线 AC 将ACD 折起，且二面角 BACD 的大小为 ，则折叠后形成的四面体ABCD 的外接球的体积为( )A. B1005003C. D与 的大小有关1 00023答案 A
26、解析 设矩形 ABCD 的长、宽分别为 x，y，则 2x2y20 2 ，所以 xy50，当且仅2 2x2y当 xy5 时取等号，即当矩形 ABCD 为边长为 5 的正方形 时，矩形 ABCD 的面积最2 2大由于正方形 ABCD 的外接圆的圆心即 AC 的中点，它到各个顶点的距离相等，所以沿对角线 AC 折叠后形成的四面体 ABCD 的外接球的球心为 AC 的中点，故外接球的半径 r5，外接球的体积 V r3 ，故选 A.43 500316(2016浙江)如图，在ABC 中，ABBC 2，ABC120.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D，满足 PD DA，PBBA ，则四面体
27、 PBCD 的体积的最大值是_答案 12解析 设 PDDAx, 0x2 .3在ABC 中，ABBC2，ABC120，AC AB2 BC2 2ABBCcos ABC 2 ，4 4 222cos 120 3CD2 x，且ACB (180120)30，312S BCD BCDCsinACB12 2(2 x ) (2 x)12 3 12 12 3在ABD 中，由余弦定理得，BD2AD 2AB 22ABAD cosDABx 22 x4，3BD ，x2 23x 4在PBD 中，由余弦定理得，cosBPD ，BPD30，32过 P 作直线 BD 的垂线，垂足为 O，设 POd，则 SPBD BDd PDPB
28、sinBPD ，12 12则 dx 2sin 30，x2 23x 4d ，xx2 23x 4设 PO 与平面 ABC 所成角为 ，则点 P 到平面 ABC 的距离 hdsin ，V 四面体 PBCD SBCD h SBCD dsin SBCD d13 13 13 (2 x )13 12 3 xx2 23x 4 .16 x23 xx2 23x 4设 t ，x2 23x 4 x 32 1又 0x2 ，1t 2，3则|x | .3 t2 1(1)当 0x 时，1t2，|x | x ，x ，3 3 3 t2 1 3 t2 1V 四面体 PBCD 16 3 t2 123 3 t2 1t ，164 t2t 16(4t t)易知函数 f(t) 在1,2)上单调递减，又 f(1) ，16(4t t) 12当 0x 时，V 四面体 PBCD 的最大值为 ，此时 x .312 3(2)当 x2 时，1t2，|x |x ，3 3 3 3 t2 1x ，3 t2 1V 四面体 PBCD 16 3 t2 123 3 t2 1t ，164 t2t 16(4t t)由(1)知，当 x2 时，V 四面体 PBCD 的最大值为 ，此时，x .3 312 3综上，当 x 时，四面体 PBCD 的体积取最大值 .312
