1、第四篇 三角函数与解三角形专题 4.07 解三角形的实际应用【考试要求】 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.【知识梳理】1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的方位角为 (如图 2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东 30，北偏西 45等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.【微点提醒】1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄
2、混.2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)东北方向就是北偏东 45的方向.( )(2)从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关系为 180.( )(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 .( )0，2(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (2)；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.【教材衍化】2.(必修 5P11 例 1 改编)如图所示，设 A，B 两点在
3、河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A，B 两点的距离为( )A.50 m B.50 m2 3C.25 m D. m22522【答案】 A【解析】 由正弦定理得 ，ABsin ACB ACsin ABC又ABC30，AB 50 (m).ACsin ACBsin ABC502212 23.(必修 5P15 练习 T3 改编)如图所示，D，C，B 三点在地面的同一条直线上，DC a，从 C，D 两点测得A 点的仰角分别为 60，30，则 A 点离地面的高度 AB _.【答案】 a32【解析】 由已知得DAC
4、30 ，ADC 为等腰三角形，AD a，所以在 RtADB 中，AB AD a.312 32【真题体验】4.(2018济南月考)如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A.北偏东 10 B.北偏西 10C.南偏东 80 D.南偏西 80【答案】 D【解析】 由条件及图可知，ACBA40，又BCD60，所以CBD30 ，所以DBA10，因此灯塔 A 在灯塔 B 的南偏西 80.5.(2017浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的 “割圆术”可以估算圆周率 ，理论上能把 的值计算到任意精度.祖
5、冲之继承并发展了“割圆术”，将 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S6，S 6_.【答案】 332【解析】 如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为 1 的正三角形，从而S66 12sin 60 .12 3326.(2019天津和平区调研)如图，在 ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD AC，sin BAC ，AB 3 ，AD 3，则 BD 的长为_.223 2【答案】 3【解析】 因为 sinBAC ，且 ADAC ，223所以 sin ，(2 BAD) 223所以 cosBAD ，在BAD 中，由余弦定理，
6、223得 BD AB2 AD2 2ABADcos BAD .（32）2 32 2323223 3【考点聚焦】考点一 求距离、高度问题 角度 1 测量高度问题【例 11】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度CD_m.【答案】 100 6【解析】 由题意，在ABC 中，BAC 30 ，ABC 18075105，故ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得 ，600sin 45 BCsin 30解得 BC300 (m).2在 Rt BC
7、D 中， CDBCtan 30300 100 (m).233 6【规律方法】 1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角) 、方向(位)角( 它是在水平面上所成的角)是关键.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面) 同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.【训练 1】 如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得BCD15， BDC30 ， CD30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 A
8、B 等于( )A.5 B.15 C.5 D.156 3 2 6【答案】 D【解析】 在BCD 中，CBD18015 30135.由正弦定理得 ，BCsin 30 30sin 135所以 BC15 .2在 Rt ABC 中，ACB60，ABBCtan ACB15 15 .2 3 6角度 2 测量距离问题【例 12】 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路 BC 和一条索道 AC，小王和小李打算不坐索道，而是花 2 个小时的时间进行徒步攀登，已知ABC120，ADC150，BD1 km，AC3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时 1 250 米，请问：两位登山爱好者
9、能否在2 个小时内徒步登上山峰？(即从 B 点出发到达 C 点)【答案】见解析【解析】在ABD 中，由题意知，ADBBAD 30，所以 ABBD 1 km，因为ABD 120，由正弦定理得 ，解得 AD km，ABsin ADB ADsin ABD 3在ACD 中，由 AC2AD 2CD 22ADCDcos 150，得 93CD 22 CD，332即 CD23CD 60，解得 CD km，33 32BCBDCD km，33 12两个小时小王和小李可徒步攀登 1 25022 500 米，即 2.5 千米，而 0).又 BD ， DAB ，由余弦定理，73得( )2(3 k)2 (2k)223k2k cos ，73解得 k1，AD 2，AB3，sinABD .ADsin DABBD 2327 217(2)ABBC，cosDBCsinABD ，217sinDBC ， ，277 BDsin BCD CDsin DBCCD .727732 433
