1、专题 08 正弦定理与余弦定理一、本专题要特别小心：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2. 边角互化的选取3. 正余弦定理的选取4.三角形中的中线问题 5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题二 【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力三 【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角( 从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即 ABabs
2、in Asin B.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.四 【题型方法】（一）正弦定理辨析三角形例 1已知数列 的前 项和（1）若三角形的三边长分别为 ，求此三角形的面积；（2）探究数列 中是否存在相邻的三项,同时
3、满足以下两个条件：此三项可作为三角形三边的长；此三项构成的三角形最大角是最小角的 2 倍若存在，找出这样的三项；若不存在，说明理由.【答案】 （1） （2）见解析【解析】解： 数列 的前 n 项和 当 时， ，当 时， ，又 时， ，所以 ，不妨设 三边长为 ， ， ，所以所以假设数列 存在相邻的三项满足条件，因为 ，设三角形三边长分别是 n， ， ， ，三个角分别是 ， ，由正弦定理： ，所以由余弦定理： ，即 化简得： ，所以： 或 舍去 当 时，三角形的三边长分别是 4，5，6，可以验证此三角形的最大角是最小角的 2 倍所以数列 中存在相邻的三项 4，5，6，满足条件.练习 1以下关于正
4、弦定理或其变形的叙述错误的是 A在 中，B在 中，若 ，则 C在 中，若 ，则 ；D在 中，【答案】B【解析】在 中， ;在 中，若 ，则 或 ，即 或 ；在 中，若 ，则 ；在 中， ,选 B.练习 2在 中，内角 所对的边分别是 ，若 ，则 的值为（ ）A B C1 D【答案】D【解析】根据正弦定理可得故选 D.（二）正弦定理解三角形例 2 在 中， ， ， 内角所对的边分别为 ， ， ，已知 且ABCabc2，则 的最小值为_cos4sinbaCc【答案】12【解析】 ，cos4sinBbaB ，sini iCCAC ， ，()siss0 ， ，1sin4B1in4iB由正弦定理可得 ，
5、即 ，siibcC2sin28iC当 时， .当 时，则 的最小值为 sin1Bmins14sic1故答案为： .2练习 1 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 ( )ABCBCabc3a2b4BAA B C 或 D 或633265【答案】C【解析】因为 ， ， ，3a2b4B由正弦定理 ，可得 ，siniA23siniaAb所以 或 ；且都满足 .32B故选 C练习 2在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，ABCabc2ab，则角 的大小为（ ）sincoA B C D603015045【答案】B【解析】由 ，两边平方可得： sinco22sinco
6、2B，即：21sin1B0,B45又 ， ，由正弦定理得： 解得：2ab2sini45A1sin2AAB30本题正确选项：练习 3.在ABC 中，已知 ab， 。则内角 C=_，式子 的2sin()abAB sinsincocoABC取值范围是_。【答案】 21,2【解析】由 ，得 ，化简得2sin()abAB2sincosincosabABaBbA，由正弦定理得 ，即 ，由于 ，故cosAsicisi2iA.所以 ，且 ，故2,2ABC2BA4sinsincocoABC，由于 ，且 ,故sinco1sincosA1sin3,442A，所以 .2sin1,24A12,2sin4（三）利用正弦定
7、理判断三角形解的个数例 3. 在 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）VBCA B10,45,70b45,8,60bcBC D6aA7aA【答案】BC【解析】选项 :因为 ，所以 ，三角形的三个角是确定的值，故只有一解；450C=、 65B=选项 :由正弦定理可知 ,即 ，所有角 有两解；BsinibcBsin1C选项 :由正弦定理可知 ,即 ，所以角 有两解；CsiiaA选项 :由正弦定理可知 ,即 ,所以角 仅有一解，DsinibB=siB综上所述，故选 BC。练习 1在 中， ，则此三角形有（ ）AsiaA无解 B两解 C两解 D不确定【答案】B【解析】由题意，知 ，所以 ，
8、，所以 ，sinbasin1AB09A由正弦定理 ，得 ，即 ，iiaABiibasi当 时， 为锐角；当 时， 为钝角，909018B则此三角形有两解故选：B练习 2在 中，已知 ，如果 有两组解，则 的取值范围是( )VABC,260axbBVABCxA B C D43， 43， 43， 432,【答案】A【解析】由已知可得 ，则 ，解得 .故选 A.sinabsin602xx43x练习 3在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，为使此三角形有两个，则 满足的条件是（ ）A B C D 或【答案】C【解析】C 到 AB 的距离 d=bsinA=3，当 3a2 时，符合条件的三角形有两个，故选
9、 C（四）三角形的外接圆问题例 4.在 中，内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 ，则AB,ABC,abcABC1sinsi2SABC外接圆半径的大小是（ ）CA B C1 D21412【答案】B【解析】ABC 中，面积为 S= sinAsinBsinC，即 absinC= sinAsinBsinC，ab=sinAsinB； = ；由正弦定理得 = ， = ；设 =t，则 t0，t= ，解得 t=1；设ABC 外接圆半径为 R，则 2R=1，解得 R= 故选：B练习 1在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的外接圆面积为 A B C D【答案】D【解析】因为 ，由正弦定理可得：化简 ，在三角
10、形 ABC 中，可得 所以外接圆面积 故选 D练习 2. 曲线 的一条切线 l 与 轴三条直线围成的三角形记为 ，则 外接圆面积的最小值为A B C D【答案】C【解析】设直线 l 与曲线的切点坐标为（ ） ，函数 的导数为 则直线 l 方程为 ，即 ，可求直线 l 与 yx 的交点为 A（ ） ，与 y 轴的交点为 ，在OAB 中， ，当且仅当 22 时取等号由正弦定理可得OAB 得外接圆半径为 ，则OAB 外接圆面积 ，故选：C练习 3如图，已知函数 的图象与坐标轴交于点 ，直线 交的图象于另一点 ， 是 的重心.则 的外接圆的半径为A2 B C D8【答案】B【解析】 是 的重心， ，
11、， 点 的坐标为 ，函数 的最小正周期为 ， ， 由题意得 ，又 ， ， ，令 得 ，点 的坐标为 ， ，故 ， 又点 是 的中点，点 的坐标为 ， 设 的外接圆的半径为 ，则 ， 故选 B（五）余弦定理应用例 5. 中，角 的对边分别为 ，且 ， ，则 面AC,B,ABCsinisinacCabB2cABC积的最大值为（ ）A B2 C D3 2343【答案】A【解析】 ，sinisinacCab由正弦定理得 ，2即 ；2abca由余弦定理得 ，221osbcaC结合 ，得 ；03又 ，2c由余弦定理可得 ，当且仅当 等号成立，224cababab ，即 面积的最大值为 1sinsin3AB
12、CSbABC3故选：A练习 1. 在ABC 中， ，则A 的取值范围是( )2a2cbA B(0,6,6C D(,3,)3【答案】C【解析】依题意 ，故 ，故选 C.221cosbcaA0,3A练习 2在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知不等式BCBCabc()恒成立，则当实数 取得最大值 时， 的取值范围是（ ）1tabcatTosBA B C D0,512,52,3(2,4)【答案】B【解析】 1tacabcbacbabcabc2当且仅当 即 时（此时 ）取得最小值 4，abc2ab2ac ， ，4tT ，cos4B22acb22ac23ca因为 ，所以 ，代入 化简得 ，
13、ab22ca2cb235015ca令 ， ， 在区间 上单调递减，所以 ，cma315ym3,15135m，即 ，12223ca 5223 .cos5TB故选 B.（六）正余弦定理综合例 6. 已知 的三个内角 所对的边分别为 ，且ABC,ABC,abc222oscos1insACBAC（1）求 ；（2）若 ，求 面积的最大值b【答案】 （1） ；（2）3【解析】 （1） 22222coscos1insi1sinsinACBACBAC22siniiniB由正弦定理可得： 2bac由余弦定理可得：21osb0,B3B（2）由余弦定理可得： ，即：22cosbaB24ac2ac4c（当且仅当 时取
14、等号）4 ，即 面积的最大值为：13sin22ABCScABC3练习 1. 已知 的内角 的对边分别为 ，若 .,ABC,abc2sinisnAC（1）若 ，求 ；2abcosB（2）若 且 ，求 的面积.90BAC【答案】 （1） ；（2）2.4【解析】 ，sinisnBA由正弦定理可得 ，2bac（1） 由余弦定理 ，可得 ；,1a22cosacbB1cos4B（2） ，由勾股定理可得 ，90B222()02baac.2ACSac练习 2.在 中，内角 的对边分别为 ，且 .V,ABC,abcsin(co3s)co(3sin)ABCAB（1）求 的值；sin（2）若 ， ，求 的面积.1c
15、os3A4aVABC【答案】(1)3.(2) .12x【解析】 （1）因为 ，sin(co3s)co(3sin)B所以 ，sicoiABAC即 ，n()3si()因为 ，所以 ， 。ABCin3siBin3（2）因为 ，所以 ，即 。sin3cbb由余弦定理可得 ，22osaA因为 ，所以 ，1cos,43Aacb22116963b解得 ，2,2b因为 ，所以 .1cos3sin3A故 的面积为 。ABC12i23bc练习 3. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 V2(sin)sinisnBCABC（1）求 A；（2）若 ，求 sinC2abc【答案】 （1） ；（2） .36
16、2sin4【解析】 （1） 222sinisinsiinsinBBCABC即： 222i snCAC由正弦定理可得： bcab221cosA0,3=（2） ，由正弦定理得：2abc2sin2sinABC又 ，sinisinociBAC 3312ci2siC整理可得： sin63co22sico1C22sin631sin解得： 或62sin4C因为 所以 ，故 .6iisini02BAC6sin4C62sin4（2）法二： ，由正弦定理得：2abci2iAB又 ，sinisinosinBAC3312ci2iC整理可得： ，即sin63cosCin3cos2in6C2i由 ，所以(0,)(,)36
17、,646C.2sini()4C（七）三角形形状例 7. 在 中，若 ，则 的形状是( )ABsinisinaAbBcCABA锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定【答案】C【解析】由正弦定理可知： 22abc22os0abc，可知 为钝角三角形,2ABC本题正确选项：练习 1若 的三个内角满足 ,则 （ ）:5:13abcABCA一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】设 ， ， ，可知 为 的最大角5ak1b3ckCAB222221693cos 00，可知 为钝角三角形CABC本题正确选项：（八）三角形面积问题例
18、 8. 若 的面积为 ，且 为钝角，则 的取值范围是（ ）ABC2234acbCcaA B C D(2,)(1,)1,(1,2)【答案】A【解析】由题意得 又 ，2233cos44ABCSacbaBsin2ACSacB,化简得, ， 312cos in4atnB， ，231sicosinsini() 312s tan2AACAaC， ， ， ， ， ，AB323C56BC0630tA， ， ，故本题选 A.1tan112tanAca练习 1在 中,角 所对的边分别为 ,若 ,且 ，C,Bb， osc2osCBa4,6b则 的面积为_.ABC【答案】 623【解析】因为 ，由余弦定理可得cos2
19、cosbBa，22 2aabb化简得 ，即 ，因为 ，所以 ，221c1cos2B0B3又因为 ，代入 ，得4,6ab2cosa240c解得 （ 舍去） ，2cc所以 .13sin4(26)23SaB练习 2. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ，且 的面积 ，则的最小值为_【答案】3【解析】因为 ，而 ，代入上式化简得：所以 ，因为 ，所以 ；因为 ，所以得 ；因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 3.练习 3.设向量 ， ，在 中 分别为角 A,B,C 的对边，且,mab2,naABC,abc.2sin()si()sicCB（1）求角 ；（2）若 ，边长 ，求 的周长 和面积 的值.mn2cABClS【答案】 （1） （2）周长为 6，面积3C3【解析】 （1）由已知可得： ,即 ，2()(2)cbaba22cab，221cosba3C（2）由题意可知 ， mn20ba即 ba由余弦定理可知， ，则 即 ，故周长24()a2()3()40b4ab为 ，面积 4261sin4si3SbC
