1、全等三角形辅助线的作法知识精讲一中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（ 是AD底边的中线)ABC图3图2图1FEDNDMEAB CAB CD CBA二角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3 ，这种对称的图形应用得也较为普遍OABABO PPO BAABO P三截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思
2、想所谓“截长” ，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短” ，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解三点剖析一考点：全等三角形辅助线的作法二重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法三易错点：1辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角
3、是多少度”这种辅助线就不一定能作出来题模精讲题模一：中点类例 1.1.1 已知： ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， ， ，试求 AD 的取值范围8AB6C【答案】 17AD【解析】 该题考查了三角形三边关系和三角形的全等AB CDE延长 AD 至 E，使得 ，连结 CEDA在ABD 和ECD 中1.BCAABDECD（SAS ）AE 的取值范围为 EACEA214E7AD例 1.1.2 如图所示，在 中， ，延长 到 ，使 ， 为 的中点，连接BBDABE、 ，求证： C2CEEDCBA【答案】 见解析【解析】 解法一：如图所示，延长 到 ，使 ，连接 BFCEFCE容易证明 ，从而
4、 ，而 ，故 EBFA BABDFB注意到 ，C，故 ，而 公用，故 ，D因此 2 F AB CDE解法二：如图所示，取 的中点 ，连接 CDGB因为 是 的中点， 是 的中点，GBA故 是 的中位线，从而 ，BA12CAE由 可得 ，故 ， BCG从而 ， EC2EGABDEC题模二：角平分线类例 1.2.1 如 图 ， ， 平 分 ， 平 分 ， 点 在 上 180ADBEACEBCDEA 探 讨 线 段 、 和 之 间 的 等 量 关 系 BC 探 讨 线 段 与 之 间 的 位 置 关 系 EE DCBA【答案】 见解析【解析】 ； 证 明 如 下 ：ADBE在线段 上取点 ，使 ，连
5、结 FABEF在 和 中EB AF ，EBAEF 180D而 C 在 和 中FE CD ，FC ，AB90BEFCEFEAB CD例 1.2.2 如图，已知 ， ， BD 为 ABC 的平分线， CE BE，求证：AB90C2DCEEDCB A【答案】 见解析【解析】 延长 CE，交 BA 的延长线于点 FBD 为ABC 的平分线，CEBE，BEF BEC， ， BCE ，CEBE， ，90BACADC又 ，ABDACF， BF2DCEFEDCB A例 1.2.3 已知 ， AC 平分 MAN，点 B、 D 分别在 AN、 AM 上120MAN（1）如图 1，若 ，请你探索线段 AD、 AB、
6、 AC 之间的数量关系，并证明之；9BD（2）如图 2，若 ，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若8C不成立，请说明理由【答案】 见解析【解析】 （1）关系是： ADBC证明：AC 平分MAN， 120MN 60CADB又 ，9 3则 （直角三角形一锐角为 30，则它所对直角边为斜边一半）12 ；ADBC（2）仍成立证明：过点 C 分别作 AM、AN 的垂线，垂足分别为 E、FAC 平分MAN （角平分线上点到角两边距离相等）EF ，180ABD180ACD又 ，CEDCFB（AAS）9C ，EFBEFBAEF由（1）知 ， AD题模三：截长补短类例 1.3.1 如图所示， 是边
7、长为 的正三角形， 是顶角为 的等ABC1BDC120腰三角形，以 为顶点作一个 的 ，点 、 分别在 、 上，求 的周长D60MDNAAMN NMDCBA【答案】 见解析【解析】 如图所示，延长 到 使 AEBM在 与 中，因为 ， ， ，BMCEBCD90ECDBMCE所以 ，故 BDMCE D因为 ， ，所以 12060N60BMNDC又因为 ，所以 E在 与 中， ， ， ，N E所以 ，则 ，所以 的周长为 A2 EAB CDMN例 1.3.2 阅读下列材料：如图 1，在四边形 ABCD 中，已知ACB=BAD=105，ABC=ADC=45.求证：CD=AB.小刚是这样思考的：由已知
8、可得，CAB=30，DAC=75，DCA=60，ACB+DAC=180，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点 A 作 AEAB 交 BC 的延长线于点 E，则AB=AE，E=D.在ADC 与CEA 中，ADCCEA，得 CD=AE=AB.请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图 2，在四边形 ABCD 中，若ACB+CAD=180，B=D，请问：CD 与 AB 是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由.【答案】 见解析【解析】 该题考查的是全等三角形的判定与性质CD 与 AB 相等证明如下：作 交 BC 的延长线于点 E，AEB D ， ， ，180C180A
9、CB ，AE在DAC 和ECA 中DCDAC ECA AE .DB随堂练习随练 1.1 如图所示，已知 中， 平分 ， 、 分别在 、 上 ，ABCDBACEFBDAECD求证： EFACEF FACDEB【答案】 见解析【解析】 延长 到 ，使 ，连结 ，利用 证明 ，AMADEMSADCME ， 3E又 ， ，F ， ，113 平分 ， ，DBC2 ， 12EFAB 321MFACDEB随练 1.2 已知 中， ， 、 分别平分 和 ， 、 交于点 ，ABC60BDCEABC.BDCEO试判断 、 、 的数量关系，并加以证明ED DOECBA【答案】 见解析【解析】 ，EDB理由是：在 上
10、截取 ，连结 ，FEOF利用 证得 ， ，SAO12 ， ， ，60900CA120DE ， ，18E8 ，13 ， ， ，24234利用 证得 ， ，ASDOFCF BCFBC4321FDOECBA随练 1.3 如图，在 ABC 中， ， ， P、 Q 分别在 BC、 CA 上，并且 AP、 BQ60BA40CB分别是 BAC、 ABC 的角平分线求证：（1） ；BQ（2） BQABP【答案】 见解析【解析】 该题考察的是全等三角形（1）BQ 是 的角平分线，ABC 2Q ，且 ， ，18060BAC40B ，80 ，412BC ，Q ；（2）延长 AB 至 M，使得 ，连结 MPBP ，B
11、PABC 中 ， ，60AC4 ，8BQ 平分 ， ，4QB ，C ，AMP ，40BCAP 平分 ， ，在AMP 和ACP 中， MAPCAMP ACP， ， ， ，ABABPCAQB PQ随练 1.4 五边形 ABCDE 中， ， ， ，求证： AD 平分ABECD180ABCED CDE CEDBA【答案】 见解析【解析】 延长 DE 至 F，使得 ，连接 AC.EBC ， ，180ABE180AABCEF ， ，ABCAEF ，FC ，DDFADCADF， C即 AD 平分CDE ABDEFC随练 1.5 如图，ABC 中， ，AD 是 BC 边上的高，如果 ，我们就BACCDAB称A
12、BC 为“高和三角形” 请你依据这一定义回答问题：（1）若 ， ，则ABC_ “高和三角形” （填“是”或“不是” ） ；90BAC3（2）一般地，如果ABC 是“高和三角形” ，则 与 之间的关系是_，并证明你的结论BC【答案】 （1）是（2） ；见解析2BC【解析】 该题考察的是全等三角形（1）如图，RtABC 中， ， ，90A6B30C在 BC 上截取 ，则 ABE 为等边三角形E AB ，60C 3 E ，且ABE 为等边三角形ADB CAB是高和三角形E（2）如上图，在ABC 中，在 DC 上截取 DEB CDAB E 2AD 是 BC 边上的高且 EABDAED（SAS） AEB
13、 2C随练 1.6 如图所示， ， 是 的中点， ， ，求证90BACDEMBEACDAEMDMEDCBA【答案】 见解析【解析】 如图所示，设 交 于 ，要证明 ，实际上就是证明 ，而条AMDCHAMCD90AHD件 不好运用，我们可以倍长中线 到 ，连接 交 于点 ，交 于点 BME FBNCO容易证明 FB则 ， ，从而 ，E 90N而 ， ，故90C从而 ，故而 90DONH故 ，亦即 AAMCDFNOHAB CDEM随练 1.7 已知：如图，在 ABC 中， ， ， BE AE求证： 3ABC122ACBE【答案】 见解析【解析】 延长 BE 交 AC 于 M，BEAE， 90AEB
14、在ABE 中， ，1318 390同理， 42 ， ，134ABMBEAE， ，BE ，ACC4 是BCM 的外角， 45 ，3ABC354ABC ，452 ，M2ME自我总结课后作业作业 1 已知：如图，E 是 BC 的中点，点 A 在 DE 上，且 BAECD求证： ABCD【答案】 见解析【解析】 延长 DE 到 F，使 ，连接 BF，EDE 是 BC 的中点， ，BC在BEF 和CED 中BECFDBEFCED ， EBC ， AAF ，F又 ， D作业 2 如图，在 中， D 为 BC 边上的中点，AE 平分 交 BC 于 E， 交 AC 于 F，ABCBAC/DFA， ，求 CF
15、的长AC1【答案】 32【解析】 解：延长 DF 交 BA 延长线与点 G，延长 FD 到 H 使得 ，连接 BHDF平分 ， ，AEBC/DGAE， ，FDAF又 ， ，易得 ，HCB， ，FH则 ，设 ，则 ， ，x1x21CAxBGx解得， ， 12x32C作业 3 如图，在 ABC 中， ， AD 平分 BAC，求证： 2CBABCDAB CD【答案】 见解析【解析】 在 AB 上截取点 E，使得 ACAD 平分BAC， ，DADEADC（SAS ） ， ED ， 2CB=2AB ， ， AEDB CEDCBA作业 4 已知： ， OM 是 AOB 的平分线，将三角板的直角顶点 P 在
16、射线 OM 上滑动，两90AOB直角边分别与 OA、 OB 交于 C、 D（1） PC 和 PD 的数量关系是_（2）请你证明（1）得出的结论【答案】 见解析【解析】 （1） PCD（2）过 P 分别作 PEOB 于 E，PFOA 于 F， ，90FEOM 是 AOB 的平分线， ，P ，且 ，190AOB ，90P ， ，2FD12在CFP 和DEP 中，CFPDEP， 12CEP PCD作业 5 已知：如图，ABC 中， ，BD 平分ABC，BC 上有动点 PABC（1）DPBC 时（如图 1） ，求证： ；PD（2）DP 平分BDC 时（如图 2） ，BD、CD、CP 三者有何数量关系？
17、【答案】 （1）见解析（2） BDCP【解析】 （1）证明：在 BP 上截取 ，连接 DM，MDPBC， ，DMC ， ，AB ，PBD 平分ABC ， ，2CD ，MB ， ， ，C BPDP（2）解： ，BDCP理由是：在 BD 上截取 ，连接 PM，MDP 平分BDC， ，P在MDP 和 CDP 中DMCPMDP CDP （SAS） ， ， ，CDP ，2ABC ，MPMB ， ， BD作业 6 已知等腰 ， ， 的平分线交 于 ，则 ABC10ABCADBACAB CD【答案】 见解析【解析】 如图，在 上截取 ，连接 ，BEBDE过 作 ，交 于 ，于是 ， DFC AF32AFC又
18、 ，12 ，故 显然 是等腰梯形3C ， B ，1280202A，ED ， ，1801CBE10FADEC ， AF AC又 ， B321F EDCB A作业 7 如图，在 ABC 中， ，D 是三角形外一点，且 ， 求AB60ABDCAB证： 60ACD【答案】 见解析【解析】 延长 BD 至 E，使 ，连接 AE，AD，CD ， ， ，BDCABBEA ，ABE 是等边三角形，60 ， ，E60在ACD 和 ADE 中， ，ACEDACDADE（SSS） ， 60ACDE作业 8 如图 1，在 ABC 中， ， BAC 的平分线 AO 交 BC 于点 D，点 H 为 AO 上一动点，2AC
19、B过点 H 作直线 l AO 于 H，分别交直线 AB、 AC、 BC 于点 N、 E、 M（1）当直线 l 经过点 C 时（如图 2） ，证明： ；BNCD（2）当 M 是 BC 中点时，写出 CE 和 CD 之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出 BN、 CE、 CD 之间的等量关系【答案】 （1）见解析（2 ） （3）当点 M 在线段 BC 上时， ；当点 M 在DECDBNEBC 的延长线上时， ；当点 M 在 CB 的延长线上时，BN 【解析】 该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质（1）证明：连接 NDAO 平分BAC， ，2直线 lAO 于 H， ，459
20、0 ，67 ，ANC ，AH 是线段 NC 的中垂线， ，D 89 ，ANCB ， ，32AB ，3B ND ；C（2）如图，当 M 是 BC 中点时，CE 和 CD 之间的等量关系为 2CDE证明：过点 C 作 CNAO 交 AB 于 N由（1）可得 ， ， BNDACA ， 43E过点 C 作 CG AB 交直线 l 于 G ， 21 GM 是 BC 中点， BC在BNM 和CGM 中，2.1NGBNMCGM （ASA） E 2CDBCE（3）BN、CE、CD 之间的等量关系：当点 M 在线段 BC 上时， ；DBN当点 M 在 BC 的延长线上时， ；当点 M 在 CB 的延长线上时，
