1、点直线与圆的位置关系一、选择题1 （2018湖北省武汉3 分）如图，在O 中，点 C 在优弧 上，将弧 沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D若O 的半径为 ，AB=4，则 BC 的长是（ ）A B C D【分析】连接 OD、AC、DC、OB、OC，作 CEAB 于 E，OFCE 于 F，如图，利用垂径定理得到 ODAB，则 AD=BD= AB=2，于是根据勾股定理可计算出 OD=1，再利用折叠的性质可判断弧 AC 和弧 CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到 = ，所以 AC=DC，利用等腰三角形的性质得 AE=DE=1，接着证明四边形 ODEF 为正方形得到 OF=EF
2、=1，然后计算出 CF 后得到 CE=BE=3，于是得到 BC=3 【解答】解：连接 OD、AC、DC、OB、OC，作 CEAB 于 E，OFCE 于 F，如图，D 为 AB 的中点，ODAB，AD=BD= AB=2，在 RtOBD 中，OD= =1，将弧 沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D弧 AC 和弧 CD 所在的圆为等圆， = ，AC=DC，AE=DE=1，易得四边形 ODEF 为正方形，OF=EF=1，在 RtOCF 中，CF= =2，CE=CF+EF=2+1=3，而 BE=BD+DE=2+1=3，BC=3 2故选：B【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若
3、出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和垂径定理2 （2018山东泰安3 分）如图，BM 与O 相切于点 B，若MBA=140，则ACB 的度数为（ ）A40 B50 C60 D70【分析】连接 OA、OB，由切线的性质知OBM=90，从而得ABO=BAO=50，由内角和定理知AOB=80，根据圆周角定理可得答案【解答】解：如图，连接 OA、OB，BM 是O 的切线，OBM=90，MBA=140，ABO=50，OA=OB，ABO=BAO=50，3AOB=80，ACB= AOB=40，故选：A【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性
4、质：圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心3.（2018山东泰安3 分）如图，M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3，4） ，点 P 是M上的任意一点，PAPB，且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O对称，则 AB 的最小值为（ ）A3 B4 C6 D8【分析】由 RtAPB 中 AB=2OP 知要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值，连接 OM，交M 于点 P，当点 P 位于 P位置时，OP取得最小值，据此求解可得【解答】解：PAPB，APB=90，AO=BO，AB=
5、2PO，若要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值，连接 OM，交M 于点 P，当点 P 位于 P位置时，OP取得最小值，过点 M 作 MQx 轴于点 Q，则 OQ=3、MQ=4，OM=5，又MP=2，4OP=3，AB=2OP=6，故选：C【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 AB 取得最小值时点 P 的位置4 （2018四川宜宾3 分）在ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知DE=4，EF=3，点 P 在以 DE 为直径的
6、半圆上运动，则 PF2+PG2的最小值为（ ）A B C34 D10【考点】M8：点与圆的位置关系；LB：矩形的性质【分析】设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN，则 MN、PM 的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出 NP 的最小值，再利用 PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论【解答】解：设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN 交半圆于点 P，此时 PN 取最小值DE=4，四边形 DEFG 为矩形，GF=DE，MN=EF，MP=FN= DE=2，NP=MNMP=EFMP=1，PF 2+PG2=2PN2+2FN2=21
7、2+222=10故选：D【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出 PN 的最小值是解题的关键55（2018台湾分）如图，I 点为ABC 的内心，D 点在 BC 上，且 IDBC，若B=44，C=56，则AID 的度数为何？（ ）A174 B176 C178 D180【分析】连接 CI，利用三角形内角和定理可求出BAC 的度数，由 I 点为ABC 的内心，可得出CAI、ACI、DCI 的度数，利用三角形内角和定理可得出AIC、CID 的度数，再由AID=AIC+CID 即可求出AID 的度数【解答】解：连接 CI，如图所示在ABC 中
8、，B=44，ACB=56，BAC=180BACB=80I 点为ABC 的内心，CAI= BAC=40，ACI=DCI= ACB=28，AIC=180CAIACI=112，又 IDBC，CID=90DCI=62，AID=AIC+CID=112+62=174故选：A【点评】本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出AIC、CID 的度数是解题的关键6（2018浙江舟山3 分）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ） &n
9、bsp; A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内【考点】点与圆的位置关系，反证法
10、 6【分析】运用反证法证明，第一步就要假设结论不成立，即结论的反面，要考虑到反面所有的情况。【解析】 【解答】解：点与圆的位置关系只有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外，如果点不在圆外，那么点就有可能在圆上或圆内故答案为 D【点评】本题考查了反证法的掌握情况. 运用反证法证明要考虑到反面所有的情况。7 (2018 四川省眉山市 2 分 ) 如图所示，AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，线段 PO 交O 于点 C，连结 BC，若P=36，则B 等于（ ） 。A.27
11、 B.32 C.36 D.54【答案】A 【考点】切线的性质 【解析】 【解答】解：PA 切O 于点 A，PAO=90，又P=36，POA=54，OB=OC
12、，B=OCB，POA=B+OCB=2B=54，B=27.故答案为:A.【分析】根据切线的性质得PAO=90，再由三角形内角和定理得POA=54，根据等腰三角形性质等边对等角得B=OCB，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和建立等式，从而得出答案.8（2018 年四川省内江市）已知O 1的半径为 3cm，O 2的半径为 2cm，圆心距O1O2=4cm，则O 1与O 2的位置关系是（ ）7A外高 B外切 C相交 D内切【考点】MJ：圆与圆的位置关系【分析】由O 1的半径为 3cm，O 2的半径为 2cm，圆心距 O1O2为 4cm，根据两圆位置关系与圆心距 d，两圆半径 R，r
13、 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系【解答】解：O 1的半径为 3cm，O 2的半径为 2cm，圆心距 O1O2为 4cm，又2+3=5，32=1，145，O 1与O 2的位置关系是相交故选：C【点评】此题考查了圆与圆的位置关系注意掌握两圆位置关系与圆心距 d，两圆半径R，r 的数量关系间的联系是解此题的关键9 （2018 四川省泸州市 3 分）在平面直角坐标系内，以原点 O 为原心，1 为半径作圆，点P 在直线 y= 上运动，过点 P 作该圆的一条切线，切点为 A，则 PA 的最小值为（ ）A3 B2 C D【分析】如图，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交
14、于点 D，作 OHCD 于 H，先利用一次解析式得到 D（0，2 ） ，C（2，0） ，再利用勾股定理可计算出 CD=4，则利用面积法可计算出 OH= ，连接 OA，如图，利用切线的性质得 OAPA，则 PA= ，然后利用垂线段最短求 PA 的最小值【解答】解：如图，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OHCD 于 H，当 x=0 时，y= x+2 =2 ，则 D（0，2 ） ，当 y=0 时， x+2 =0，解得 x=2，则 C（2，0） ，CD= =4， OHCD= OCOD，OH= = ，连接 OA，如图，PA 为O 的切线，OAPA，PA= = ，当 O
15、P 的值最小时，PA 的值最小，而 OP 的最小值为 OH 的长，PA 的最小值为 = 故选：D8【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了一次函数的性质10（2018台湾分）如图，两圆外切于 P 点，且通过 P 点的公切线为 L，过 P 点作两直线，两直线与两圆的交点为 A、B、C、D，其位置如图所示，若 AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（ ）APBDPAC BPBDPAC CPBDPDB DPBDPDB【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断；【解答】解：如图，直线 l 是
16、公切线1=B，2=A，1=2，A=B，ACBD，C=D，PA=10，PC=9，PAPC，CA，DB9故选：D【点评】本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，相切两个圆的性质等知识，解题的关键是证明 ACBD二.填空题1（2018 年四川省内江市）已知ABC 的三边 a，b，c，满足a+b2+|c6|+28=4 +10b，则ABC 的外接圆半径= 【考点】MA：三角形的外接圆与外心；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质：算术平方根；KQ：勾股定理【分析】根据题目中的式子可以求得 a、b、c 的值，从而可以求得ABC 的外接圆半径的长【解答
17、】解：a+b 2+|c6|+28=4 +10b，（a14 +4）+（b 210b+25）+|c6|=0，（ 2） 2+（b5） 2+|c6|=0， ，b5=0，c6=0，解得，a=5，b=5，c=6，AC=BC=5，AB=6，作 CDAB 于点 D，则 AD=3，CD=4，设ABC 的外接圆的半径为 r，则 OC=r，OD=4r，OA=r，3 2+（4r） 2=r2，解得，r= ，10故答案为： 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、非负数的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答2（2018 年四川省内江市）如图，以 AB 为直径的O 的圆心
18、O 到直线 l 的距离OE=3，O 的半径 r=2，直线 AB 不垂直于直线 l，过点 A，B 分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点 D，C，则四边形 ABCD 的面积的最大值为 12 【考点】LL：梯形中位线定理【分析】先判断 OE 为直角梯形 ADCB 的中位线，则 OE= （AD+BC），所以 S 四边形ABCD=OECD=3CD，只有当 CD=AB=4 时，CD 最大，从而得到 S 四边形 ABCD最大值【解答】解：OEl，ADl，BCl，而 OA=OB，OE 为直角梯形 ADCB 的中位线，OE= （AD+BC），S 四边形 ABCD= （AD+BC）CD=OECD=3CD，当 CD
19、=AB=4 时，CD 最大，S 四边形 ABCD最大，最大值为 12【点评】本题考查了梯形中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半3.（2018浙江舟山4 分） （2018浙江舟山4 分）如图，量角器的 0 度刻度线为 AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点 C，直尺另一边交量角器于点 A，D，量得 AD=10cm，点 D 在量角器上的读数为 60，则该直尺的宽度为11_ cm。【考点】垂径定理，切线的性质 【分析】因为直尺另一边 EF 与圆 O 相切于点 C，连接 OC，可知求直尺的宽度就是求CG=OC-OG，而 OC=OA；OG 和 OA
20、都在 RtAOG 中，即根据解直角三角形的思路去做：由垂定理可知 AG=DG= AD=5cm，AOG= AOD=60，从而可求答案。【解答】解：如图，连结 OD，OC，OC 与 AD 交于点 G,设直尺另一边为 EF，因为点 D 在量角器上的读数为 60，所以AOD=120，因为直尺一边 EF 与量角器相切于点 C，所以 OCEF，因为 EF/AD，所以 OCAD，由垂径定理得 AG=DG= AD=5 cm，AOG= AOD=60，在 RtAOG 中，AG=5 cm，AOG=60，则 OG= cm,OC=OA= cm则 CG=OC-OG= cm.【点评】本题的关键是利用垂径定理和切线的性质.1
21、24 （2018湖北黄石3 分）在 RtABC 中，C=90，CA=8，CB=6，则ABC 内切圆的周长为 4 【分析】先利用勾股定理计算出 AB 的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出ABC 的内切圆的半径，然后利用圆的面积公式求解【解答】解：C=90，CA=8，CB=6，AB= =10，ABC 的内切圆的半径= =2，ABC 内切圆的周长=2 2=4故答案为 4【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角记住直角三角形内切圆半径的计算方法5.（2018山东临沂3 分）如图在ABC 中，A=60，BC=5cm
22、能够将ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得ABC 外接圆的直径，本题得以解决【解答】解：设圆的圆心为点 O，能够将ABC 完全覆盖的最小圆是ABC 的外接圆，在ABC 中，A=60，BC=5cm，BOC=120，作 ODBC 于点 D，则ODB=90，BOD=60，13BD= ，OBD=30，OB= ，得 OB= ，2OB= ，即ABC 外接圆的直径是 cm，故答案为： 【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答6（2018山东泰安3 分）如图，O
23、是ABC 的外接圆，A=45，BC=4，则O 的直径为 4 【分析】连接 OB，OC，依据BOC 是等腰直角三角形，即可得到 BO=CO=BCcos45=2 ，进而得出O 的直径为 4 【解答】解：如图，连接 OB，OC，A=45，BOC=90，BOC 是等腰直角三角形，又BC=4，BO=CO=BCcos45=2 ，14O 的直径为 4 ，故答案为：4 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心7.（2018山东威海3 分）如图，在扇形 CAB 中，CDAB，垂足为 D，E 是ACD 的内切圆，连接
24、 AE，BE，则AEB 的度数为 135 【分析】如图，连接 EC首先证明AEC=135，再证明EACEAB 即可解决问题；【解答】解：如图，连接 ECE 是ADC 的内心，AEC=90+ ADC=135，在AEC 和AEB 中，EACEAB，AEB=AEC=135，故答案为 13515【点评】本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型8 （2018安徽4 分） 如图，菱形 ABOC 的 AB，AC 分别与O 相切于点 D、E，若点 D 是 AB的中点，则DOE_.【答案】60【解析】 【分析】由 AB，AC 分
25、别与O 相切于点 D、E，可得BDO=ADO=AEO=90，根据已知条件可得到 BD= OB，在 RtOBD 中，求得B=60，继而可得A=120，再利用四边形的内角和即可求得DOE 的度数.【详解 】AB，AC 分别与O 相切于点 D、E，BDO=ADO=AEO=90，四边形 ABOC 是菱形，AB=BO，A+B=180，BD= AB，BD= OB，在 RtOBD 中，ODB=90，BD= OB，cosB= ，B=60，A=120，DOE=360-120-90-90=60，故答案为：60.【点睛】本题考查了切线的性质，菱形的性质，解直角三角形的应用等，熟练掌握相关的性质是解题的关键.9. （
26、2018 年江苏省南京市2 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，以 CD 为直径作O将矩形 ABCD 绕点 C 旋转，使所得矩形 ABCD的边 AB与O 相切，切点为E，边 CD与O 相交于点 F，则 CF 的长为 4 16【分析】连接 OE，延长 EO 交 CD 于点 G，作 OHBC，由旋转性质知B=BCD=90、AB=CD=5、BC=BC=4，从而得出四边形 OEBH 和四边形 EBCG都是矩形且 OE=OH=OC=2.5，继而求得 CG=BE=OH= = =2，根据垂径定理可得 CF 的长【解答】解：连接 OE，延长 EO 交 CD 于点 G，作 OHBC 于点 H，则
27、OEB=OHB=90，矩形 ABCD 绕点 C 旋转所得矩形为 ABCD，B=BCD=90，AB=CD=5、BC=BC=4，四边形 OEBH 和四边形 EBCG 都是矩形，OE=OH=OC=2.5，BH=OE=2.5，CH=BCBH=1.5，CG=BE=OH= = =2，四边形 EBCG 是矩形，OGC=90，即 OGCD，CF=2CG=4，故答案为：4【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点10 （2018 年江苏省泰州市3 分）如图，ABC 中，ACB=90，sinA= ，AC=12，将ABC 绕点 C 顺时针旋转
28、 90得到A'B'C，P 为线段 AB'上的动点，以点 P 为圆心，PA17长为半径作P，当P 与ABC 的边相切时，P 的半径为 或 【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，如图 2 中，当P 与 AB 相切于点 T 时，【解答】解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ设 PQ=PA=r，PQCA， = ， = ，r= 如图 2 中，当P 与 AB 相切于点 T 时，易证 A、B、T 共线，ABTABC，18 = ， = ，AT= ，r= AT= 综上所述，P 的半径为 或 【点
29、评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题11. （2018山西3 分）如图，在 Rt ABC 中 ， ACB=900 ，A C=6，B C=8， 点 D 是 AB 的中点，以 CD 为直径作 O， O 分 别 与 AC，B C 交 于 点 E，F ， 过 点 F 作 O 的 切 线 FG， 交 AB 于 点 G， 则 FG 的 长 为_ _.【 答 案 】 125【 考 点 】直角三角形斜中线，切线性质，平行线分线段成比例，三角函数【 解 析 】连 接 OF FG 为 0 的切线
30、 OF FG Rt ABC 中 ，D 为 AB 中 点 CD=BD DCB= B OC=OF19 OCF= OFC CFO= B OF BD O 为 CD 中 点 F 为 BC 中 点 CF BF 12 BC 4Rt ABC 中 ， s i nB 35Rt BGF 中 ， FG BF sin B 4 125三.解答题(要求同上一)1. （2018四川凉州8 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O1的坐标为（4，0） ，以点O1为圆心，8 为半径的圆与 x 轴交于 A，B 两点，过 A 作直线 l 与 x 轴负方向相交成 60的角，且交 y 轴于 C 点，以点 O2（13，
31、5）为圆心的圆与 x 轴相切于点 D（1）求直线 l 的解析式；（2）将O 2以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左平移，当O 2第一次与O 1外切时，求O 2平移的时间【分析】 （1）求直线的解析式，可以先求出 A、C 两点的坐标，就可以根据待定系数法求出函数的解析式（2）设O 2平移 t 秒后到O 3处与O 1第一次外切于点 P，O 3与 x 轴相切于 D1点，连接O1O3，O 3D120在直角O 1O3D1中，根据勾股定理，就可以求出 O1D1，进而求出 D1D 的长，得到平移的时间【解答】解：（1）由题意得 OA=|4|+|8|=12，A 点坐标为（12，0） 在 RtAOC 中，OA
32、C=60，OC=OAtanOAC=12tan60=12 C 点的坐标为（0，12 ） 设直线 l 的解析式为 y=kx+b，由 l 过 A、C 两点，得 ，解得直线 l 的解析式为：y= x12 （2）如图，设O 2平移 t 秒后到O 3处与O 1第一次外切于点 P，O 3与 x 轴相切于 D1点，连接 O1O3，O 3D1则 O1O3=O1P+PO3=8+5=13O 3D1x 轴，O 3D1=5，在 RtO 1O3D1中， O 1D=O1O+OD=4+13=17，D 1D=O1DO 1D1=1712=5， （秒） O 2平移的时间为 5 秒【点评】本题综合了待定系数法求函数解析式，以及圆的位
33、置关系，其中两圆相切时的辅助线的作法是经常用到的2. （2018山东枣庄8 分）如图，在 RtACB 中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以 BC 为直径作O 交 AB 于点 D（1）求线段 AD 的长度；21（2）点 E 是线段 AC 上的一点，试问：当点 E 在什么位置时，直线 ED 与O 相切？请说明理由【分析】 （1）由勾股定理易求得 AB 的长；可连接 CD，由圆周角定理知 CDAB，易知ACDABC，可得关于 AC、AD、AB 的比例关系式，即可求出 AD 的长（2）当 ED 与O 相切时，由切线长定理知 EC=ED，则ECD=EDC，那么A 和DEC 就是等角的余角，由此可
34、证得 AE=DE，即 E 是 AC 的中点在证明时，可连接 OD，证 ODDE 即可【解答】解：（1）在 RtACB 中，AC=3cm，BC=4cm，ACB=90，AB=5cm；连接 CD，BC 为直径，ADC=BDC=90；A=A，ADC=ACB，RtADCRtACB； ， ；（2）当点 E 是 AC 的中点时，ED 与O 相切；证明：连接 OD，DE 是 RtADC 的中线；ED=EC，EDC=ECD；OC=OD，ODC=OCD；EDO=EDC+ODC=ECD+OCD=ACB=90；EDOD，ED 与O 相切【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切22
35、线的判定等知识3. （2018 四川成都8 分）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， 为 上一点，经过点 ， 的 分别交 ， 于点 ， ，连接 交 于点 .（1）求证： 是 的切线； （2）设 ， ，试用含 的代数式表示线段 的长； （3）若 ， ，求 的长. 【答案】 （1）如图，链接 CDAD 为BAC 的角平分线，BAD=CAD.OA=OD，ODA=OAD，ODA=CAD.ODAC.又C=90，ODC=90，ODBC，BC 是O 的切线.23（2）连接 DF，由（1）可知，BC 为切线，FDC=D
36、AF.CDA=CFD.AFD=ADB.又BAD=DAF，ABDADF, ,AD 2=ABAF.AD 2=xy,AD= （3）连接 EF在 RtBOD 中， sinB= ,设圆的半径为 r， ，r=5.AE=10,AB=18.AE 是直径，AFE=90,而C=90，EFBC,AEF=B,24sinAEF= .AF=AEsinAEF=10 = .AFOD, ,DG= AD.AD= ,DG= 【考点】切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，去证明ODC=90即可。(2)连接 DF，DE，根据圆的
37、切线，可证得FDC=DAF，再证CDA=CFD=AED，根据平角的定义可证得AFD=ADB，从而可证得ABDABF，得出对应边成比例，可得出答案。 （3）连接 EF，在 RtBOD 中，利用三角函数的定义求出圆的半径、AE、AB 的长，再证明 EFBC，得出B=AEF，利用锐角三角函数的定义求出 AF的长，再根据 AFOD，得出线段成比例，求出 DG 的长，然后可求出 AD 的长，从而可求得DG 的长。4（2018山东菏泽10 分）如图，ABC 内接于O，AB=AC，BAC=36，过点 A 作ADBC，与ABC 的平分线交于点 D，BD 与 AC 交于点 E，与O 交于点 F（1）求DAF 的
38、度数；（2）求证：AE 2=EFED；（3）求证：AD 是O 的切线【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理；MD：切线的判定【分析】 （1）求出ABC、ABD、CBD 的度数，求出D 度数，根据三角形内角和定理求出BAF 和BAD 度数，即可求出答案；（2）求出AEFDEA，根据相似三角形的性质得出即可；（3）连接 AO，求出OAD=90即可25【解答】 （1）解：ADBC，D=CBD，AB=AC，BAC=36，ABC=ACB= （180BAC）=72，AFB=ACB=72，BD 平分ABC，ABD=CBD= ABC= 72=36，D=CBD=36，BAD=180DABD=18
39、03636=108，BAF=180ABFAFB=1803672=72，DAF=DABFAB=10872=36；（2）证明：CBD=36，FAC=CBD，FAC=36=D，AED=AEF，AEFDEA， = ，AE 2=EFED；（3）证明：连接 OA、OF，ABF=36，AOF=2ABF=72，OA=OF，OAF=OFA= （180AOF）=54，由（1）知ADF=36，OAD=36+54=90，即 OAAD，OA 为半径，26AD 是O 的切线【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键5（2018江苏扬州10 分
40、）如图，在ABC 中，AB=AC，AOBC 于点 O，OEAB 于点 E，以点 O 为圆心，OE 为半径作半圆，交 AO 于点 F（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若点 F 是 A 的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点 P 是 BC 边上的动点，当 PE+PF 取最小值时，直接写出 BP 的长【分析】 （1）作 OHAC 于 H，如图，利用等腰三角形的性质得 AO 平分BAC，再根据角平分线性质得 OH=OE，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先确定OAE=30，AOE=60，再计算出 AE=3 ，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S AOE
41、S 扇形 EOF进行计算；（3）作 F 点关于 BC 的对称点 F，连接 EF交 BC 于 P，如图，利用两点之间线段最短得到此时 EP+FP 最小，通过证明F=EAF得到 PE+PF 最小值为 3 ，然后计算出 OP 和OB 得到此时 PB 的长【解答】 （1）证明：作 OHAC 于 H，如图，AB=AC，AOBC 于点 O，AO 平分BAC，OEAB，OHAC，OH=OE，AC 是O 的切线；（2）解：点 F 是 AO 的中点，AO=2OF=3，而 OE=3，OAE=30，AOE=60，AE= OE=3 ，27图中阴影部分的面积=S AOE S 扇形 EOF= 33 = ；（3）解：作 F
42、 点关于 BC 的对称点 F，连接 EF交 BC 于 P，如图，PF=PF，PE+PF=PE+PF=EF，此时 EP+FP 最小，OF=OF=OE，F=OEF，而AOE=F+OEF=60，F=30，F=EAF，EF=EA=3 ，即 PE+PF 最小值为 3 ，在 RtOPF中，OP= OF= ，在 RtABO 中，OB= OA= 6=2 ，BP=2 = ，即当 PE+PF 取最小值时，BP 的长为 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线” 也考查了等腰三角形
43、的性质和最短路径问题6 （2018山东滨州12 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，ADCD 于点 D，且 AC平分DAB，求证：（1）直线 DC 是O 的切线；28（2）AC 2=2ADAO【分析】 （1）连接 OC，由 OA=OC、AC 平分DAB 知OAC=OCA=DAC，据此知 OCAD，根据 ADDC 即可得证；（2）连接 BC，证DACCAB 即可得【解答】解：（1）如图，连接 OC，OA=OC，OAC=OCA，AC 平分DAB，OAC=DAC，DAC=OCA，OCAD，又ADCD，OCDC，DC 是O 的切线；（2）连接 BC，AB 为O 的直径，AB=2AO，ACB
44、=90，ADDC，ADC=ACB=90，又DAC=CAB，DACCAB， = ，即 AC2=ABAD，AB=2AO，29AC 2=2ADAO【点评】本题主要考查圆的切线，解题的关键是掌握切线的判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质7（2018江西8 分）如图，在 中， 为 上一点，以 为圆心， 长为半径作圆， 与 相切于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ,且 . = （1）求证： 为 的切线； （2）若 ， ,求 的长.=6 =43 DOACB【解析】 （1）作 OEAB 于点 E 切 BC 于点 COCBC ACB=90 ADBD D=90A
45、BDBAD =90 CBDBOC=90BOC=AOD AOD=BADBOC=BADABD=CBD在OBC 和OBE 中 = OBCOBE OE=OC OE 是O 的半径 . OEAB AB 为O 的切线.
46、 EDOACB30（2） tanABC= ，BC=6=43AC=8 AB= 62+82=10BE=BC=6 AE=4AOE=ABC tanAOE= EO=3=43AO=5 OC=3 BO= 62+32=35在AOD 和BOC 中 =AODBOC =即 AD= 535=6 258（2018江苏盐城10 分）如图，在以线段 为直径的 上取一点，连接 、 .将沿 翻折后得到 .（1）试说明点 在 上； （2）在线段 的延长线上取一点 ，使 .求证： 为 的切线； （3）在（2）的条件下，分别延长线段 、 相交于点 ，若 ， ，求线段 的长. 【答案】 （1）解：连接 OC，OD，由翻折可得 OD=OC，OC 是O 的半径，
