1、第 73 讲 二项式定理1在(x y)20 的展开式中，系数为有理数的项共有(B)43A4 项 B6 项C8 项 D10 项因为 Tr1 C x20r ( y)rC ( )rx20r yr(0r20)，要使系数为有理数，则 rr10 43 r2043必为 4 的倍数，所以 r 可为 0,4,8,12,16,20 共 6 中，故系数为有理数的项有 6 项2(2018广州一模)已知二项式 (2x2 )n的所有二项式系数之和等于 128，那么其展开1x式中含 项的系数是(A)1xA84 B14C14 D84由所有二项式系数之和等于 128，得 2n128，所以 n7.由 Tr1 C (2x2)7r
2、( )rC 27r (1) rx143r ，r71x r7令 143r1，得 r5.所以展开式中含 项的系数是 C 22(1) 584.1x 573(2017全国卷)(xy )(2xy )5 的展开式中 x3y3 的系数为(C)A80 B40C40 D80因为 x3y3x (x2y3)，(2xy )5的展开式中 x2y3的系数为C 2240，35x3y3y(x 3y2)，(2x y )5的展开式中 x3y2的系数为 C 2380.25所以 x3y3的系数为 804040.4在(x 1)(x2)( x3)( x4)(x5) 的展开式中，含 x4 的项的系数是(A)A15 B85C120 D274
3、通过选括号(即 5 个括号中 4 个提供 x，其余 1 个提供常数 )的思路来完成故含 x4的项的系数为( 1) (2)( 3)( 4)(5) 15.5(2018武汉调研测试)在(x 1) 6 的展开式中，含 x5 项的系数为(B)1xA6 B6 C24 D24(方法 1)(x 1) 6C (x )6C (x )5C (x )4C (x )C .1x 06 1x 16 1x 26 1x 56 1x 6可知只有C (x )5的展开式中含 x5，161x所以(x 1) 6的展开式中含 x5的项的系数为C C 6.1x 05 16(方法 2)(x 1)6的 6 个括号中，5 个取 x，一个取1，0
4、个取 得到 x5的项，1x 1x所以 x5的系数为 C (1) 6.566(2018浙江卷)二项式( )8 的展开式的常数项是_7_3x12x由题意，得 Tr1 C ( )8r ( )rr8 3x12xC ( )rx xrr812 8 r3 C ( )rx .r812 8 4r3 令 0，得 r2.8 4r3因此 T3C ( )2 7.2812 872 147(2018石家庄一模)设(1x) 5a 0a 1xa 2x2a 5x5，那么 a1a 2a 3a 4a 5 的值为_1_因为(1x) 5a 0a 1xa 2x2a 3x3a 4x4a 5x5， 令 x0 得 a01.( 或 a0C 15(
5、x) 01)，05令 x1，a 0a 1a 2a 3a 4a 50，所以 a1a 2a 3a 4a 5a 01.8(2017湖南省高三上学期联考) 已知二项式(x )n(nN *)的展开式中第 3 项与第 43x项的二项式系数最大，则展开式中含 x 项的系数为 90 .因为二项式(x )n(nN*)的展开式中第 3 项与第 4 项的二项式系数最大，3x所以由二项式的性质可知，n5.二项式(x )5的展开式的通项为 Tr1 C (3) rx52r ，3x r5令 52r1，得 r2.所以含 x 项的系数为 C (3) 290.259(2019湖南省六校联考)若 (2xx 2)(1 )3 的展开式
6、中的常数项为 a，则 (3x21)1x a0dx 的值为( A)A6 B20C8 D24(1 )3的展开式中的常数项，x 1 ，x 2 项的系数分别为 C ，C ，C ，1x 03 13 23则(2xx 2)(1 )3的展开式中的常数项为 2C C C 2，1x 03 13 23则 (3x21)d x(x 3x) 6.20 2010(2017浙江卷)已知多项式 (x1) 3(x2) 2x 5a 1x4a 2x3a 3x2a 4xa 5，则 a4 16 ，a 5 4 .a4是 x 项的系数，由二项式的展开式得a4C C 2C C 2216；3 12 23 2a5是常数项，由二项式的展开式得 a5
7、C C 224.3 211已知(2x )n 的展开式中的二项式系数之和比(2x )2n 的展开式中奇数项的二1x 1x项式系数之和小 112，若第二个展开式中二项式系数最大项的值为 1120，则 x 1 .2n1122 2n1 ，即 2n16，所以 n4.第二个展开式中二项式系数最大项是第 5 项，T5C (2x)4( )41120，即 x21，481x所以 x1(负值舍去) ，所以 x1.12(2019湖南省长沙市长郡中学摸底考试) 已知 m3 sin xdx，则二项式(a2b3c)0m的展开式中 ab2cm3 的系数为 6480 .因为 m3 sin xdx3( cos x) 6，0 0所以二项式(a 2b3c) 6的展开式中含 ab2c3的项为：6 个括号中一个取 a 有 C 种方法，再在剩下的 5 个括号中两个取 2b 有 C 种方法，再16 25剩下 3 个全部取(3c)，有 C 种方法，3即含 ab2c3的项为 C 4C (27) C ab2c3.16 25 3其系数为 C 4C (27)C 6480.16 25 3
