1、单元训练金卷高三数学卷（A）第 10 单 元 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用
2、签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是 ， ，那1,0=a,1b么这条斜线与平面所成的角是（ ）A90 B30 C45 D602平面 经
3、过三点 ， ， ，则平面 的法向量可以是（ ）A B C D3若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（ ）1,23a3,69nA B C D 与 相交ll ll4如图，在平行六面体 中， 为 的中点，设 ，ABa， ，则 （ ）Db1cCEA B C D12abc12abc12abc12abc5在长方体 中， ， ，点 为 的中点，则异面直线1ABCD4AB12DAP1C与 所成角的正切值为（ ）P1A B C D543424146正方体 中，直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）1CDA1AB1A B C D1223327对于空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，且有 ，,OPxAy
4、BzOCxyzR则 ， ， 是 四点共面的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分又不必要条件8已知二面角 ，其中平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量1,0m，则二面角 的大小可能为（ ）0,1nA B C 或 D9已知在平行六面体 中， ， ， ， ，则 的长为（ ）A B C D10如图，已知矩形 与矩形 全等，二面角 为直二面角， 为 中点，与 所成角为 ，且 ，则 （ ）3cos9ABA1 B C D221211在空间直角坐标系 中，四面体 各顶点坐标分别为 ， ，A， ， 1B， ，则该四面体外接球的表面积是（ ）A B C D12如图，四边形 ， ， ，现
5、将 沿 折起，当二面角 的大小在 时，直线 和 所成角为 ，则 的最大值为（ ）2,3A B C D268624268264第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13已知点 关于坐标原点的对称点为 ， 关于 平面的对称点为 ， 关于,23A1AxOz2A轴的对称点为 ，则线段 的中点 的坐标为_z3AM14在直三棱柱 中， ，则异面直线 与所成角的余弦值为_15如图，在正方体 中， 、 分别为 的中点，则平面 和平面所成二面角的正弦值为_16将直角三角形 沿斜边上的高 折成 的二面角，已知直角边 ，那么下面说法正确的是_（1 ）平面 平面 ；（ 2）
6、四面体 的体积是 ；（3 ）二面角 的正切值是 ；（4 ） 与平面 所成角的正弦值是 ，3 214三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （ 10 分）如图，在正四棱柱 中， 分别为棱 的中点，1ABCD,ME1,BC12,AB（1 ）证明：平面 平面 ；EM（2 ）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值1DAB18 （ 12 分）如图， 是以 为直径的半圆 上异于 的点，矩形 所在的平面垂直于EABO,ABCD半圆 所在的平面，且 ， O23D（1 ）求证：平面 平面 ；C（
7、2 ）若 的长度为 ，求二面角 的正弦值AEB3AE19 （ 12 分）如图，在多面体 中，四边形 是边长为 的菱形，ABCDEFABCD43， 与 交于点 ，平面 平面 ， ， ，60BCDOEFAB C23EF（1 ）求证： 平面 ；OABCD（2 ）若 为等边三角形，点 为 的中点，求二面角 的余弦值 QEQBCA20 （ 12 分）已知四棱锥 的底面 是菱形， ， 底面 ， 是3ABC上的任意一点（1 ）求证：平面 平面 ；（2 ）设 ，是否存在点 使平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ？如果存在，求出点 的位置，如果不存在，请说明理由21 （ 12 分）如图所示，等腰梯形 ABCD
8、 中，ABCD，AD=AB=BC=1 ，CD =2，E 为 CD 中点，AE 与 BD 交于点 O，将 ADE 沿 AE 折起，使点 D 到达点 P 的位置（P平面 ABCE） （1 ）证明：平面 POB平面 ABCE；（2 ）若直线 PB 与平面 ABCE 所成的角为 ，求二面角 的余弦值4AEC22 （ 12 分）如图，已知四棱锥 的底面为边长为 的菱形，为 中点，连接 3BADPBM， ，（1 ）求证：平面 平面 ；（2 ）若平面 平面 ，且二面角 的余弦值为 ，求四棱锥 的体5积单 元 训 练 金 卷 高 三 数 学 卷 （ A）第 10 单 元 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中
9、 的 应 用 答 案第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1 【 答案】D【解析】 ，1cos,2ab又由题意知 ， 答案 D,0,9,60ab2 【 答案】D【解析】设平面 的法向量为 ，n对于 A 选项， ，故 A 选项错误；对于 B 选项， ，故 B 选项错误；2O 2On对于 C 选项， ，故 C 选项错误；对于 D 选项，由于 ， ，B 0An故 D 选项符合题意所以本题选 D3 【 答案】C【解析】直线 l 的方向向量为 ，平面 的法向
10、量为 ，1,23a3,69n ， ， ，故选 C13ana4 【 答案】A【解析】根据向量的三角形法则得到故选 A1 1122CEAEBcbabc5 【 答案】A【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，DxDCy1z则 ， ， ， ， ， ，2,0A,41P0,2C1,0D2,41AP10,4CD设异面直线 与 所成角为 ，AP1CD则 ， ，164cos21 165sin2， 异面直线 与 所成角正切值为 ，故选 Ain5tacs4AP1CD46 【 答案】A【解析】如图，以点 为坐标原点，以 ， ， 方向分别为 轴， 轴， 轴，D1xyz建立空间直角坐标系，设
11、棱长 2，则 ， ， ， ，(,0)A1(2,)B1(,02)A(,0)D所以 ， ，1,B,D因为在正方体中， ， 平面 ，所以 ，111AB又 ，所以 平面 ，1AABCD因此向量 为平面 的一个法向量，D1设直线 与平面 所成的角为 ，1B则 故选 A11 41sinco, 22ABD7 【 答案】B【解析】空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，且 ，,OPxyBzOCxyzR则 四点共面等价于 ，若 ， ， ，则 ，所以 四点共面，若 四点共面，则 ，不能得到 ， ， ，所以 ， ， 是 四点共面的充分不必要条件，故选 B8 【 答案】C【解析】 ， ，1,0m0,1n设 与 之间的
12、夹角为 ， ，n1cos=2m， ， 二面角 的大小可能为 和 9 【 答案】D【解析】在平行六面体 中， ， ， ， ，ACBA22 22DBADBADA ，则 ，故选 D53AC10 【 答案 】C【解析】以 A 为原点，AF 为 x 轴，AB 为 y 轴，AD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 AB 2a，BC2b，则 F（2b ，0，0） ，M （0，a，0 ） ，B（0，2a ，0） ，D（0 ，0，2b ） ，（2b，a，0） ， （0，2 a，2b ） ，FM 与 BD 所成角为 ，且 ，3cos9 ，222, 3cos 94FMBDab 整理得 ， ，24560aba6540
13、解得 ，或 （舍） ， ，故选 C21213 2ABaCb11 【 答案 】B【解析】如图，在空间坐标系里画出 四个点，可得 面 ，因此可以把四面体 补成一个长方体，其外接球的半径 ，223R所以外接球的表面积为 ，故选 B 项12 【 答案 】C【解析】取 BD 中点 O，连结 AO，CO，AB BDDA4 BCCD ，COBD，AOBD，且 CO2，AO ，AOC 是二面角 的平面角，ABDC以 O 为原点，OC 为 x 轴，OD 为 y 轴，过点 O 作平面 BCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，B（0，2，0） ，C（2，0，0） ，D（0 ，2，0 ） ，设二面角 的平面角为
14、 ，则 ，ABDC2,3连 AO、BO，则AOC， ，2cos,0inA ， ，23cos,in 2,D设 AB、 CD 的夹角为 ，则 ，13coscsBCA ， ， 2,31o,2cs0,2cos 的最大值为 故选 C68第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13 【 答案 】 ,0【解析】点 关于坐标原点的对称点 A1 的坐标为 ，点 关于 xOz23A4,231423A， ，平面的对称点 A2 的坐标为 ，点 关于 z 轴的对称点 A3 的坐标为 ，4， ， 243， ， ， ，线段 AA3 的中点 M 的坐标为 ,014 【 答案 】 16
15、25【解析】因为 ，所以角 为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以 两两垂直，以 点为坐标原点，以 方向分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，所以 ， ，设异面直线 与 所成角为 ，则 故答案为 11 416cos 25916ACB ， 162515 【 答案 】 23【解析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 的棱长为 2，则 E(1，0 ，0) ，F (0，0，1) ，B(2，2，0)，C 1(0，2，2)， ，1,1,设平面 EFC1B 的法向量 ，则 ，,xyzn02EFxzByn取
16、 ，得 ，2,平面 BCC1 的法向量 ，0,1m设平面 EFC1B 和平面 BCC1 所成二面角为 ，则 ，1cos3nm所以 ，故填 2sin3216 【 答案 】 （3） （4）【解析】画出图像如下图所示，由图可知（1）的判断显然错误；由于 ，故 是二面角 的平面角且 平面 ，故过 作 交 的延长线于 ，由于 ，故 是三棱锥 的高在原图中， ， ， ，362ABCD321BD62C，sin6012BE所以 ，故（2）错误；136236DABCDVACBE以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系,z， ， ， ， ，2,01,20,2132,2,0AC设平面 的法向量为 ，则 ，,x
17、yzn 02ABxyzCn令 ，则 ，即 5623yz， 56,3平面 的法向量是 ,0DA设二面角 的平面角为 ，由图可知 为锐角，故 ，3cos17DAn则其正切值为 故（3）判断正确；142平面 的法向量为 ， ，530,2BC设直线 和平面 所成的角为 ，则 ，故（4）判断正53,10,221sin,确综上所述，正确的有（3） ， （ 4） 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 【 答案 】 （1）见解析；（2 ） 2315【解析】 （1）证明：在正四棱柱 中， ，
18、 底面 ，1ABCDABC1ABCD，BA又 ， 平面 ，则 ，1C1ME， ， ，23ME23BE294B，则 ，22， 平面 BAA又 平面 ，平面 平面 E1D1 EMB（2 ）以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，Dxyz则 ，112(0,21)(,0)(2,),(0,),EABDM则 ， 1,B1,设 是平面 的法向量， ，即 ，(,)xyzn1 10ABn20yzx令 ，得 ，2(2,)由（1）知，平面 ABE 的一个法向量为 ，2,01ME，23cos, 5MEn故平面 与平面 ABE 所成锐二面角的余弦值为 1ABD20118 【 答案 】 （1）见解析；（2 ）
19、 213【解析】 （1）证明： 平面 平面 ，两平面交线为 ， 平面 ，ABCDEABCABD， 平面 ，BCA平面 ， ，E是直角， ， 平面 ，BEAEBC平面 ， 平面 平面 AD（2 ）如图，连结 ，以点 为坐标原点，在平面 中，过 作 的垂线为 轴， 所OAOABxAB在的直线为 轴，在平面 中，过 作 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系yABCOBz的长度为 ， ，则 ， ， ， ，AEB33BOE0,31,02E,13D0,C， ， ， ，0,10,2DC1,2,B设平面 的一个法向量为 ，E,xyzm则 ，令 ，解得 ， ， ，2031yCxzm20y3z=32,0m平面 的一个
20、法向量 ，EAD31,2BEn， ，cos, 13m213sin,m二面角 的正弦值为 ADEC219 【 答案 】 （1）见证明；（2 ） 31【解析】 （1）证明：取 的中点 ，连结 、 、 ，BHOFE因为 ，所以 ，FCF因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，ADCABDCHFBC所以 平面 ，HB因为 、 分别为 、 的中点，所以 且 OCAOHAB123又 ， ，所以 ，所以四边形 为平行四边形，EFAB23EFOH EFH所以 ，所以 平面 OH ABCD（2 ）因为菱形 ，所以 2所以 ， ， 两两垂直，建立空间直角坐标系 ，如图所示，ABExyz则 ， ， ， ，所以 ，
21、(2,0)A23,0B(2,0)C(,2)E(1,0)Q所以 ， ，,C(,1)Q设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，BQ(,)xyzm0BCm230xyz取 ，可得 ，1x(1,3)平面 的一个法向量为 ，ABC(0,1n设二面角 的平面角为 ，则 ，Q313cos19mn因为二面角 的平面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 BCAQBCA1320 【 答案 】 （1）见解析；（2 ）见解析【解析】 （1）证明： 平面 ， 平面 ， 四边形 是菱形， ， 平面 平面 ，平面 平面 （2 ）设 与 的交点为 ，以 、 所在直线分别为 、 轴，以过 垂直平面 的直线为 轴建立空间直角坐标系（如图）
22、，则 ， ， ， ， 设 ，则 ，1,021,0SExzECxz，设 ， ， ，SC1z, ， ，12,3DE0,23BD设平面 的法向量 ， ， 1,xyznEn0DB求得 为平面 的一个法向量2,0n同理可得平面 的一个法向量为 ，3,10m平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ， ，解得 为 的中点23,10,3cos304mn21 【 答案 】 （1）见解析；（2 ） 5【解析】 （1）证明：在等腰梯形 ABCD 中，易知DAE 为等边三角形，所以 ODAE，OBAE ，即在PAE 中，OPAE ，AE平面 POB，AE 平面 ABCE，所以平面 POB平面 ABCE（2 ）在平面 P
23、OB 内作 PQOB =Q，PQ平面 ABCE直线 PB 与平面 ABCE 夹角为 ，4PB又OP=OB， OPOB，O 、Q 两点重合，即 OP平面 ABCE，以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为 ， ， ，30,2P1,0E3,02C ， ，1302PE， ， C， ，设平面 PCE 的一个法向量为 ，则 ，即 ，1,xyzn120PECn302xzy设 ，则 ， ， ，yz13， ，由题意得平面 PAE 的一个法向量 ，201， ，n设二面角 为 ， APEC125cos即二面角 为 的余弦值为 522 【 答案 】 （1）见证明；（2 ）2【解析】 （1）连接 ，菱形 中， 3BAD， 为等边三角形，又 为 中点， 又 ，则 ，又 ， 平面 ，又 ABCD ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 （2 ） 平面 平面 ，且交线为 ， ， 平面 ， ，以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，设 ，则 ，则 1,30AD， 1,0APa，设平面 的一个法向量为 xyz， ，n，则 0ADPn，即 30xyaz，可取 3,an，又平面 的法向量可取 ,1m，由题意得 25cos, 34an，解得 ，即 ，又菱形 的面积 ，四棱锥 的体积为 11233ABCDVSPM
