1、单元训练金卷高三数学卷（B ）第 10 单 元 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用
2、 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1若直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 与平面 所成的角等于（ ）A120 B30 C60 D60或 302若两个向量 ， ，则平
3、面 的一个法向量为（ ）1,23,21AA B C D3已知 为直线 l 的方向向量， ， 分别为平面 ， 的法向量 不重合 那么下列说法中：v1n2； ； ； 12 n12 1l vn1l vn正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4如图，平行六面体 中， 与 交于点 ，设 ，ABa， ，则 （ ）Db1c1MA B C D12abc12abc12abc12abc5在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成角的大小为（ ）1CA1B1ABA B C D607505906已知在长方体 中， ， ， ， 是侧棱 的中点，则直线与平面 所成角的正弦值为（ ）A B C D134959237已
4、知 ， ， ，则“ ”是“ ， ， 构成空间的23， ，a1， ，b13m， ，cabc一个基底”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件8已知正四棱柱 的体积为 ，底面 ABCD 的边长为 1，则二面角 的余弦值为（ ）A B C D377217279在正方体 中，点 E 是棱 的中点，点 F 是线段 上的一个动点有以下三个命题：异面直线 与 所成的角是定值；三棱锥 的体积是定值；直线 与平面所成的角是定值，其中真命题的个数是（ ）A3 B2 C1 D010当动点 在正方体 的体对角线 上运动时，异面直线 与 所成角的取值范围是（ ）A B C D,64
5、,63,43,3211三棱柱 的侧棱与底面垂直， ， ，N 是 BC 的中点，点 P 在 上，且满足 ，当直线 PN 与平面 ABC 所成的角取最大值时， 的值为（ ）A B C D122322512如图，在三棱锥 A-BCD 中，平面 ABC平面 BCD，BAC 与BCD 均为等腰直角三角形，且BAC=BCD =90，BC=2，点 P 是线段 AB 上的动点，若线段 CD 上存在点 Q，使得异面直线 PQ 与AC 成 30的角，则线段 PA 长的取值范围是（ ）A B C D20， 603， 2， 623，第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13
6、若向量 ，且 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为_14已知在长方体 中， ， ， ，E 是侧棱 的中点，则直线 AE 与平面 所成角的正弦值为_15已知圆锥的顶点为 ， 为底面中心， ， ， 为底面圆周上不重合的三点， 为底面的直径， 为 的中点设直线 与平面 所成角为 ，则 的最大值为_ 16 ， 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 的直角边 所在直线与 ， 都垂直，斜边 以直线 为旋转轴旋转，有下列结论：（1 ）当直线 与 成 角时， 与 成 角；（2 ）当直线 与 成 角时， 与 成 角；（3 ）直线 与 所成角的最小值为 ；（4 ）直线 与 所成角的最小值为 ，其中正确的是
7、_（填写所有正确结论的编号） 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （ 10 分）如图四棱锥 中，底面 是正方形， ， ，且PABCDABPBCD，PAB为 中点ED（1 ）求证： 平面 ；（2 ）求二面角 的正弦值EC18 （ 12 分）如图，已知多面体 的底面 是边长为 2 的菱形， 底面 ，PABCDEPABCD，且 EDPA 2E（1 ）证明：直线 平面 ；B（2 ）证明：平面 平面 ；（3 ）若直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值CD45PCED19 （
8、 12 分）如图，正方形 边长为 ，平面 平面 ， 12CEDAB，（1 ）证明： ；（2 ）求二面角 的余弦值20 （ 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是梯形，是正三角形， 为 的中点，平面平面 （1 ）求证： 平面 ；（2 ）在棱 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求出 的3819PFD值；若不存在，说明理由21 （ 12 分）等腰直角三角形 中， ，点 在边 上， 垂直 交 于 ，如图90ABC将 沿 折起，使 到达 的位置，且使平面 平面 ，连接 ， ，如图（1 ）若 为 的中点， ，求证： ；（2 ）若 ，当三棱锥 的体积最大时，求二面角 的余弦值22 （ 12
9、分）如图，在圆柱 中，点 、 分别为上、下底面的圆心，平面 是轴截面，点在上底面圆周上（异于 、 ） ，点 为下底面圆弧 的中点，点 与点 在平面 的同侧，圆柱 的底面半径为 1，高为 2（1 ）若平面 平面 ，证明： ；（2 ）若直线 与平面 所成线面角 的正弦值等于 ，证明：平面 与平面 所成15锐二面角的平面角大于 3单 元 训 练 金 卷 高 三 数 学 卷 （ B）第 10 单 元 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用 答 案第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有
10、 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1 【 答案】B【解析】设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，故选 B2 【 答案】A【解析】设平面 ABC 的法向量为 ，则 ，xyz， ，n0ACn即 ，令 ，则 ，230xyz即平面 ABC 的一个法向量为 ，故选 A12， ，n3 【 答案】B【解析】平面 ， 不重合； 平面 ， 的法向量平行 垂直 等价于平面 ， 平行 垂直 ，正确；直线 l 的方向向量平行 垂直 于平面 的法向量等价于直线 l 垂直 平行 于平面 ， 都错误故选 B4 【 答案】D【解析】 ， ， ， ，故选 D11 122BMABDcab5 【 答案】D【解析】由题意可得 ，
11、 平面 ，60C1ABC设 ，则 ，1B2A又 ， ，1AB11BC所以 2111()()ABCBA02cos60故 ，即 ，即 与 所成角的大小为 1ABC1B190故选 D6 【 答案】B【解析】在长方体 中， ， ， ， 是侧棱 的中点，以为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，0， ， ， ， ， 0， ， 0， ， 1， ，设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，得 ，,xyzn240DAxzEyn21， ，n设直线 与平面 所成角为 ，则 si 9直线 与平面 所成角的正弦值为 ，故选 B497 【 答案】A【解析】 当“ ”时， ，13， ，c易得 ， ， 不共面，即
12、 ， ， 能构成空间的一个基底，abcab即“ ”是“ ， ， 构成空间的一个基底”的充分条件；当 ， ， 能构成空间的一个基底，则 ， ， 不共面，cabc设 ， ， 共面，即 ，解得 ，即 ，abxyab1234xym21xy即 ， ， 能构成空间的一个基底时，m 的取值范围为 ，c即当 ， ， 能构成空间的一个基底，不能推出 ，ab即“ ”是“ ， ， 构成空间的一个基底”的不必要条件，c综合 得：“ ”是 ， ， 构成空间的一个基底”的充分不必要条件，故选 Aab8 【 答案】C【解析】过 D 作 于 ，连接 AO，则 就是二面角 的平面角正四棱柱 的体积为 ，底面 ABCD 的边长为
13、 1， 在 中， ， ，可得 ， 32DO在 中， ，27AOD故选 C31cos9 【 答案】B【解析】以 A 点为坐标原点，AB，AD， 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，可得 B(1，0 ，0) ，C(1，1，O)，D (0， 1，0) ， (0，0，1)， (1，0 ，1) ，(1，1，1)， (0，1 ，1)，设 F(t，1，1-t )， （0t1） ，可得 =(1，1 ，1) ， =(t-1，1，- t)，可得 ，1ACBF故异面直线 与 所得角是定值，故正确；三棱锥 的底面 面积为定值，且 ，点 F 是线段 上的一个动点，可得 F 点到底面
14、 的距离为定值，故三棱锥 的体积是定值，故正确；可得 =(t，1，- t)， =(0，1，-1)， =(-1，1 ，0) ，可得平面 的一个法向量为，可得 不为定值，故错误；,ncos,AFn故选 B10 【 答案 】B【解析】以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴正向，建立空间直角坐标系 ，DAC1则 ， ，设 ，则 ，1,0A1,1PA， ，CP， ， B， ，故 ，11 2cos 31ADP，对于函数 ， 有：23hx， ，故 ，min1 13cos,2ADBP，又 ，故 故选 10,ADBP， 1,6,3ADBP11 【 答案 】A【解析】如图，以 AB，AC， 分别为 x，y，z
15、轴，建立空间直角坐标系 ，则 0， ， ，平面 ABC 的一个法向量为 ，12PN， ， 0,1n设直线 PN 与平面 ABC 所成的角为 ， ，2sin54PN当 时， ，此时角 最大故选 A12max25sin12 【 答案 】B【解析】以 C 为原点，CD 为 轴，CB 为 轴，过 C 作平面 BCD 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，则 ，设 ， ，0Qq， ， 0APB， ，则 ，,0,10,CAPq ,1,q因为异面直线 PQ 与 AC 所成的角为 ，所以 ，2222 3cos3011CAPqq即 ，所以 ，所以 ，解得 ，283q220,43q20343所以 ，即线段 PA 的长
16、的取值范围是 ，故选 B620,AP 60,3第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13 【 答案 】【解析】因为 与 的夹角为钝角，所以 且 不同向，整理得 当 反向时， ，所以 14 【 答案 】 49【解析】在长方体 中， ， 是侧棱 的中点，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， ， ， ， ， ，2,0A,12E1,04A,0D2,1EA12,04DA，D设平面 的法向量为 ，则 ， ，取 ，,xyzn140xznEyzn得 ，2,1n设直线 与平面 所成角为 ，则 4sin9EA直线 与平面 所成角的正弦值为 49
17、15 【 答案 】【解析】以 AB 的中点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ，则： ，如图所示，由对称性不妨设 且 ，则 ，易知平面 SAB 的一个法向量为 ，,13MCxy 10， ，m据此有 22 2sin 4813xyy m，4231当且仅当 时等号成立，综上可得： 的最大值为 sin16 【 答案 】 （1） （3）【解析】由题意知，a、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为 1，故| AC|1，|AB | ，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴，则 A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以 C 为圆心， 1 为半径的圆，以 C 坐标
18、原点，以 CD 为 x 轴， CB 为 y 轴，CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 D（1 ，0，0） ，A（0，0， 1） ，直线 a 的方向单位向量 ， ，0,1aa直线 b 的方向单位向量 ， ，,bb设 B 点在运动过程中的坐标中的坐标 B（cos ，sin，0） ，其中 为 BC 与 CD 的夹角， 0 ，2） ，AB在运动过程中的向量为 ， ，cos,in1AB2AB设 与 所成夹角为 ，ABa0,2则 ， ，cosin12s sin0,AB ， ， ， ， ,24（3）正确， （4）错误设 与 所成夹角为 ，ABb20,，cosin12cos cosAB ， ， ， ，b当
19、 与 夹角为 60时，即 ， ，ABa32si 3 ， ，22cosin121coc ， ，此时 与 的夹角为 60，0,3ABb（1）正确， （2）错误故答案为（1） （3） 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 【 答案 】 （1）见解析；（2 ） 15【解析】 （1）证明：底面 为正方形， ，ABCDBCA又 ， 平面 ， ,BCP P同理 ， 平面 D（2 ）建立如图的空间直角坐标系 ，不妨设正方形的边长为 2，Axyz则 ，0,2,0,12,0ACEB设 为平面
20、的一个法向量，xyzmA又 ， ，令 ，得 0,12,0Eurur20yzBxn1,yz0,1m同理 是平面 的一个法向量，则 ,nCE2cos, 5nm二面角 的正弦值为 AB1518 【 答案 】 （1）证明见解析；（2 ）证明见解析；（3） 64【解析】 （1）证明：连接 BD，交 AC 于点 O，设 PC 中点为 F，连接 OF，EF因为 O， F 分别为 AC，PC 的中点，所以 ，且 ，因为 ，且 ，OFPA 12PADE 12PA所以 ，且 ，DE所以四边形 OFED 为平行四边形，所以 ，即 ，OF BE又 平面 ， 面 ，所以 面 BPCFPE PC（2 ）因为 平面 ， 平
21、面 ，所以 ABDAD因为 是菱形，所以 DC因为 ，所以 平面 ，PCP因为 ，所以 平面 ，/BEFA因为 平面 ，所以平面 平面 CE（3 ）解法 1：因为直线 与平面 所成角为 ，PBD45所以 ，所以 ，45PCA2A所以 ，故 为等边三角形B设 BC 的中点为 M，连接 AM，则 C以 A 为原点，AM，AD ，AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 （如图） Axyz则 ， ， ，(0,2)(3,10)(,21)(0,)PCED(3,12)PC(3,1)E，DE设平面 PCE 的法向量为 ，则 ，即 ，1,xyzn=0En1103xyz令 ，则 ，所以 ，1y132xz
22、(3,2)设平面 CDE 的法向量为 ，则 ，即 ，2,xyzm0DECm2230zxyz令 ，则 ，所以 ，21x230yz(1,3)设二面角 的大小为 ，由于 为钝角，PCED所以 |26cos|, 4nm所以二面角 的余弦值为 PE64解法 2：因为直线 与平面 所成角为 ，且 平面 ，CABD5PABCD所以 ，所以 45A2P因为 ，所以 为等边三角形B因为 平面 ，由（1）知 ，所以 平面 PCD/AOFABCD因为 平面 ， 平面 ，所以 且 OABCDOF在菱形 中， B以点 为原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系 （如图） ,OF,xyzxyz则 ，(0,)(,12)(0,
23、)(3,0)(,1)OPCDE则 ，1CE设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，1,xyzn0CPEn11203yzx令 ，则 ，则法向量 1y1yz(0,)设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，CDE2,xyzm0CEDm2230xyz令 ，则 ，则法向量 21x230yz(1,3)设二面角 的大小为 ，由于 为钝角，PE则 | 6cos|, 42nm所以二面角 的余弦值为 PCED6419 【 答案 】 （1）证明见解析；（2 ） 25【解析】 （1）证明：平面 平面 ，平面 平面 ， 面 ， 平面 ，又 平面 ， ，又 ， ， ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， （2 ）如图，以 为坐标原点，建
24、立空间直角坐标系 ，则 ， ， ，在直角 中， ， ，易得 ， ，12ECa30,4Ea130,4CEa由（1）知 为平面 的一个法向量， ， ， ,DB,设 是平面 BDE 的一个法向量，则 ，xyz， ，n 0DBEn即 ，令 ，则 ， ， ，034ayz 13， ，13254cos,aCEn二面角 的余弦值是 520 【 答案 】 （1）见证明；（2 ）见解析【解析】 （1）证明：因为 ，且 ，AECD所以四边形 是平行四边形，从而 ，且 ，E又在正三角形 中， ，362PB从而在 中，满足 ，所以 ，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 所以 平面 （2 ）由（1 ）知 ，且 ， ，
25、平面 ，从而 平面 ，又 平面 ， 平面 ，所以 ，以点 为原点，分别以射线 为 轴， 轴， 轴正半轴，建立空间直角坐标系，假设在棱 上存在点 满足题意，设 ，则 ，PFD326326， ， ， ， ，A， ， 0BA， ，设平面 的法向量 ，则 ，xyz， ，n3260xyzy取得 ，得 ，210， ，有平面 的一个法向量 ，所以 ， ，m3cos,819nm从而 ， ， ，213819因为 ，所以 ，4所以在棱 上存在点 使得二面角 的余弦值为 ，且 381914PFD21 【 答案 】 （1）详见解析；（2 ） 13【解析】 （1） ， ， =D， 平面 ，又在图中 ， ， ，EBC平面
26、 ，而 平面 ， ， 是 的中点， ，平面 ，而 平面 ， （2 ）设 ，由 ，三棱锥 的体积 ，21843233Vm得三棱锥 的体积最大时， ， ，以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， 设面 的法向量为 ，则 ，xyz， ，n4220PCxyzxyz， ， ， ，n，2020PExyz， ， ， ，n令 ，则 ， ，则 ，1， ，设面 的法向量为 ，则 ，xyz， ，m0220PBxyzyz， ， ， ，2020PExyz， ， ， ，令 ，则 ， ，则 ，1， ，cos, 3， ， ， ，nm所以二面角 的余弦值为 122 【 答案 】 （1）见证明；（2
27、 ）见证明【解析】 （1）由题知：面 面 ，面 面 ，因为 ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 （2 ）以点 为坐标原点，分别以 ， ， 为 、 、 轴建立空间直角坐标系 所以 ， ， ，设 ，则 ， ，,10NHmn设平面 的法向量 ，因为 ，11,xyzn1GF所以 ，所以 ，即法向量 1120xyz， ， ， ， ， ， ， 120xyz120， ，n因此 155m2221sin55NHmmn所以 ，解得 ， 3，所以点 31,2H设面 的法向量 22xyz， ，n，因为 20NGH，所以22103z， ， ， ， ， ， ，所以22310xyz，即法向量 212， ，n因为面 的法向量 310， ，n，所以 2321cos34n，所以面 与面 所成锐二面角的平面角大于 3
