1、 1 椭圆的定义在解题中的妙用椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的简单性质有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明1求最值例 1 线段|AB|4，| PA|PB| 6，M 是 AB 的中点，当 P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是( )A2 B. C. D52 5解析 由于|PA| PB|64 |AB|，故由椭圆定义知，P 点的轨迹是以 M 为中心，A，B 为焦点的椭圆，且 a3，c2，b .于是 PM 长度的最小值是 b .a2 c2 5 5答案 C2求动点坐标例 2 椭圆 1 上到两个焦点 F1，F 2 距离之积最大的点的坐标
2、是_x29 y225解析 设椭圆上的动点为 P，由椭圆的定义可知，|PF1|PF 2|2 a10，所以|PF 1|PF2| 2 225，(|PF1| |PF2|2 ) (102)当且仅当|PF 1| PF2|时取等号由Error!解得|PF 1| PF2|5a，此时点 P 恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为 P(3,0)答案 (3,0)点评 由椭圆的定义可得“|PF 1|PF 2|10” ，即两个正数|PF 1|，|PF 2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF 1|，| PF2|积的最大值，结合图形可得所求点 P 的坐标3求焦点三角形面积例 3 如图所示，已知椭圆的方程为 1，若点 P
3、 在第二象限，且PF 1F2120 ，求x24 y23PF 1F2 的面积解 由已知得 a2，b ，3所以 c 1，|F 1F2|2c2.a2 b2在PF 1F2 中，由余弦定理得|PF2|2 |PF1|2 |F1F2|22|PF 1|F1F2|cos 120，即|PF 2|2| PF1|242|PF 1|， 由椭圆定义，得|PF 1| PF2|4，即|PF 2| 4| PF1|.将代入，得|PF 1| .65所以 |PF1|F1F2|sin 12012PFSA12 2 ，12 65 32 353即PF 1F2 的面积是 .353点评 在PF 1F2 中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF
4、1|，| PF2|的方程组，消去|PF 2|可求|PF 1|.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解2 解抛物线问题的五个技巧1设而不求，整体处理例 1 已知抛物线 y28x 的弦 PQ 被点 A(1,1) 平分，求弦 PQ 所在的直线方程解 设弦 PQ 的两个端点分别为 P(x1，y 1)，Q (x2，y 2)，则有 y 8x 1，y 8x 2.21 2两式相减，得 y y 8(x 1x 2)，21 2即(y 1 y2)(y1y 2)8(x 1x 2)A 是 PQ 的中点，y 1y 22，即 y1y 24(x 1x 2) 4，即 kPQ
5、4.y1 y2x1 x2 y1 y2x1 x2故弦 PQ 所在的直线的方程为 y14( x1) ，即 4xy30.2巧用定义求最值例 2 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2x 上移动，记 AB 的中点为 M，求点 M到 y 轴的最短距离解 如图，AAl，MNl，BBl ，l 为抛物线 y2 x 的准线，由抛物线方程 y2x ，知 2p1， .p2 14设点 M 到 y 轴的距离为 d，则 d|MN | .14由抛物线的定义，知|AF| AA| ，|BF| |BB|.因为 AA，BB，MN 都垂直于准线，所以 AAMNBB ，所以 MN 是梯形 AAB B 的中位线于是|MN |
6、 (|AA| |BB|) (|AF|BF |)12 12若 AB 不过焦点，则由三角形的性质，得|AF| |BF|AB|；若 AB 过焦点 F，则|MN | (|AF|BF|) |AB| .12 12 32所以当 AB 过焦点 F 时，| MN|最小，此时 d 也最小，此时 d|MN| .14 32 14 54故点 M 到 y 轴的最短距离为 .543巧设抛物线的方程例 3 抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，且被直线 yx1 所截得的弦长为 ，求此10抛物线的方程解 设抛物线的方程为 y2ax(a0)，则有Error!消去 y，整理得 x2(2a)x10.设所截得的弦的两个端点分别为 A(
7、x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 x1，x 2 是方程的两个实根由根与系数的关系，得 x1x 2a2，x 1x21.由弦长公式知， ，2 x1 x22 4x1x2 10即 ，a 22 4 5解得 a1 或 a5.所以所求抛物线的方程为 y2x 或 y25x.4巧设弦所在的直线的方程例 4 过抛物线 y22px (p0)的焦点作一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y1，y 2，求证：y 1y2p 2.证明 当直线的斜率为 0 时，直线不会与抛物线有两个交点因为抛物线的焦点坐标为 ，(p2，0)所以可设过焦点的直线方程为 x my，p2即 xmy ，代入 y22px ，p2得 y
8、22pmyp 20.由根与系数的关系，得 y1y2p 2.5巧设抛物线上的点的坐标例 5 如图，过抛物线 y22px(p0)上一定点 P(P 在 x 轴上方)作两条直线分别交抛物线于A，B 两点当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线 AB 的斜率是非零常数证明 设 P ，A ，B ，(y202p，y0) (y212p，y1) (y22p，y2)由 kPA kPB，得 .y1 y0y212p y202py2 y0y22p y202p整理，得 y1y 22y 0.kAB (y00)y2 y1y22p y212p 2py1 y2 py0所以直线 AB 的斜率是非零常数3 巧用抛物线
9、的焦点弦例 1 如图所示，AB 是抛物线 y22px (p0)过焦点 F 的一条弦设 A(xA，y A)，B(x B，y B)，AB 的中点 M(x0，y 0)，过 A， M，B 分别向抛物线的准线 l 作垂线，垂足分别为A1，M 1，B 1，则有以下重要结论：(1)以 AB 为直径的圆必与准线相切；(2)|AB|2 (焦点弦长与中点坐标的关系)；(x0 p2)(3)|AB|x Ax Bp；(4)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 xAxB ，y AyBp 2；p24(5)A1FB 1F；(6)A，O ，B 1 三点共线；(7) .1|FA| 1|FB| 2p以下以第(7)条结论为
10、例证明：证明 当直线 AB 的斜率不存在，即与 x 轴垂直时，|FA |FB|p， .1|FA| 1|FB| 1p 1p 2p当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为yk ，并代入 y22px，(x p2)得 22px ，即 k2x2p(2k 2)x 0.(kx kp2) k2p24由 A(xA，y A)，B(x B，y B)，则 xAx B ，x AxB .pk2 2k2 p24|FA| xA ，|FB|x B ，p2 p2|FA| |FB| xAx Bp，|FA|FB| (xA p2)(xB p2)x AxB (xAx B)p2 p24 (xAx Bp)p2|FA| |FB| |
11、FA|FB| ，2p即 .1|FA| 1|FB| 2p点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视 ABx 轴的情况例 2 设 F 为抛物线 y24x 的焦点， A，B，C 为该抛物线上三点，若 0,则|FA FB FC | | |_.FA FB FC 解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，又 F(1,0)，由 0 知FA FB FC (x11)(x 21)(x 31)0，即 x1x 2x 3 3，| | | | | |FA FB FC x 1x 2x 3 p6.32答案 64 解析几何中的定值与最值问题解法辨析1定点、定值问题对于解
12、析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等) 先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口例 1 已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点的直线交椭圆于 A，B 两点， 与 a(3，1)共线设 M 为椭圆上任意一点，且 OA OB OM OA (，R)，求证： 2 2 为定值OB 证明 M 是椭圆上任意一点，若 M 与 A 重合，则 ，此时 1， 0，OM OA 2 21，现在需要证明 2 2 为定值
13、 1.设椭圆方程为 1(ab0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为 N(x0，y 0)，x2a2 y2b2Error!得 0，x1 x2x1 x2a2 y1 y2y1 y2b2即 ，y1 y2x1 x2 b2x1 x2a2y1 y2 b2x0a2y0又k AB 1，y1 y2x1 x2y 0 x0.b2a2直线 ON 的方向向量为 ，ON (1， b2a2) a，ON .13 b2a2a 23b 2，椭圆方程为 x23y 23b 2，又直线方程为 yx c .联立Error!得 4x26cx3c 23b 20.x 1x 2 c， x1x2 c2.32 3c2 3b24
14、 38又设 M(x，y)，则由 ，OM OA OB 得Error!代入椭圆方程并整理，得2(x 3y ) 2(x 3y )2 (x1x23y 1y2)3b 2.21 21 2 2又x 3y 3b 2，x 3y 3b 2，21 21 2 2x1x23y 1y24x 1x23c (x1x 2)3c 2 c2 c23c 20，32 92 2 21，故 2 2 为定值例 2 已知抛物线 y22px (p0)上有两个动点 A，B 及一个定点 M(x0，y 0)，F 是抛物线的焦点，且|AF|，| MF|，|BF |成等差数列求证：线段 AB 的垂直平分线经过定点 (x0p,0)证明 设 A(x1，y 1
15、)，B(x 2，y 2)，由抛物线定义，知|AF|x 1 ，|BF|x 2 ，|MF|x 0 .p2 p2 p2因为|AF|，| MF|，|BF |成等差数列，所以 2|MF|AF| |BF |，即 x0 .x1 x22设 AB 的中点为( x0，t)，t .y1 y22则 kAB .y1 y2x1 x2 y1 y2y212p y22p 2py1 y2 pt所以线段 AB 的垂直平分线方程为yt (xx 0)，tp即 tx (x0p)py 0.所以线段 AB 的垂直平分线过定点(x 0p,0)2最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关
16、结论来解，非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数) ，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值例 3 已知 F 是双曲线 1 的左焦点，A(2,4)，P 是双曲线右支上的动点，则x29 y216|PF| PA|的最小值为 _解析 设右焦点为 F，由题意可知，F坐标为(5,0)，根据双曲线的定义知，|PF|PF| 6，|PF| |PA| 6|PF|PA|，要使|PF| PA|最小，只需|PF| PA|最小即可，|PF| |PA|最小需 P，F，A 三点共线，最小值即 6|FA|6 1
17、1.9 16答案 11点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法例 4 已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1，l 2，设 l1 与轨迹 C 相交于点 A，B，l 2 与轨迹 C 相交于点 D，E，求 的最小值AD EB 解 (1)设动点 P 的坐标为(x ，y)，由题意有 |x |1.x 12 y2化简得 y22x2|x|.当 x0 时，y 24x ；当 x0.设 A(x1
18、，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1，x 2 是上述方程的两个实根，于是 x1x 22 ，x 1x21.4k2因为 l1l 2，所以 l2 的斜率为 .1k设 D(x3，y 3)，E (x4，y 4)，则同理可得 x3x 424k 2， x3x41.故 ( )( )AD EB AF FD EF FB AF EF AF FB FD EF FD FB | | | | |AF FB FD EF (x 1 1)(x21)(x 31)(x 41)x 1x2(x 1x 2)1x 3x4( x3x 4)11 11(24k 2)1(2 4k2)84 842 16.(k2 1k2) k21k2当且仅当 k
19、2 ，1k2即 k1 时， 取得最小值 16.AD EB 5 圆锥曲线中存在探索型问题的解法存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形) 使某个数学结论成立的数学问题下面仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助同学们复习1常数存在型问题例 1 直线 yax 1 与双曲线 3x2y 21 相交于 A，B 两点，是否存在实数 a，使 A，B 关于直线 l：y2 x 对称？请说明理由分析 先假设实数 a 存在，然后根据推理或
20、计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论解 设存在实数 a，使 A，B 关于直线 l：y2x 对称，并设A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，则 AB 的中点坐标为 .(x1 x22 ，y1 y22 )依题设有 2 ，y1 y22 x1 x22即 y1y 22(x 1x 2)又 A，B 在直线 yax 1 上，y 1ax 11，y 2ax 21，y 1y 2a(x 1x 2)2.由，得 2(x1x 2)a( x1 x2)2，即(2a)(x 1x 2)2，联立Error!得(3a 2)x22ax 20，x 1x 2 ，2a3 a2把代入，得(
21、2a) 2，解得 a ，2a3 a2 32经检验知满足 4a 28(3a 2)0.k AB ，而 kl2，32k ABkl 231.32故不存在满足题意的实数 a.2点存在型问题例 2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为 2 的圆与直线 yx 相切于原2点 O，椭圆 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10.x2a2 y29(1)求圆 C 的方程；(2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由分析 假设满足条件的点 Q 存在，根据其满足的几何性质，求出点 Q 的坐标
22、，则点 Q 存在，若求不出点 Q 的坐标，则点 Q 就不存在解 (1)由题意知圆心在 yx 上，设圆心的坐标是(p，p)( p0)，则圆的方程可设为(xp) 2(yp) 28，由于 O(0,0)在圆上，p 2p 28，解得 p2，圆 C 的方程为(x2) 2(y 2) 28.(2)椭圆 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10，x2a2 y29由椭圆的定义知 2a10，a5，椭圆右焦点为 F(4,0)假设存在异于原点的点 Q(m，n)使|QF |OF |，则有Error!且 m2n 20，解得Error!故圆 C 上存在满足条件的点 Q .(45，125)3直线存在型问题例 3
23、试问是否能找到一条斜率为 k(k0)的直线 l 与椭圆 y 21 交于两个不同的点x23M，N，且使 M，N 到点 A(0，1) 的距离相等，若存在，试求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由分析 假设满足条件的直线 l 存在，由平面解析几何的相关知识求解解 设直线 l：y kxm 为满足条件的直线，再设 P 为 MN 的中点，欲满足条件，只要APMN 即可由Error!得(13k 2)x26mkx3m 230.设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，P(x P，y P)，则 xP ，y Pkx Pm ，x1 x22 3mk1 3k2 m1 3k2k AP .3k2 m 13mkAPMN， (k0) ，3k2 m 13mk 1k故 m .3k2 12由 36 m2k24(13k 2)(3m23)9(13k 2)(1k 2)0，得1k1，且 k0.故当 k(1,0)(0,1)时，存在满足条件的直线 l.
