1、2 导数在实际问题中的应用21 实际问题中导数的意义学习目标 1.利用实际问题加强对导数概念的理解.2.能利用导数求解有关实际问题知识点 实际问题中导数的意义思考 某人拉动一个物体前进，他所做的功 W(单位：J)是时间 t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为 WW( t)t 3 4t210t.(1)t 从 1 s 到 4 s 时 W 关于 t 的平均变化率是多少？(2)上述问题的实际意义是什么？(3)W(1)的实际意义是什么？答案 (1) 11 (J/s)W4 W14 1 40 73(2)它表示从 t1 s 到 t4 s 这段时间内，这个人平均每秒做功 11 J.(3)W(t)3t 28t
2、10，W(1) 5 表示在 t1 s 时每秒做功 5 J.梳理 (1)功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特功率是功关于时间的导数(2)降雨强度：在气象学中，通常把单位时间( 如 1 时，1 天等)内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标降雨强度是降雨量关于时间的导数(3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本 y 关于产量 x 的函数 yf (x)的导函数称为边际成本边际成本 f(x 0)指的是当产量为 x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为 x0时，每增加一个单位的产量，需要增加 f(x 0)个单位的成本(4)瞬时速度：物体在某一时刻的速
3、度称为瞬时速度，它是位移 s 对时间 t 的导数；速度对时间的导数是加速度(5)线密度：单位长度的物体质量称为线密度，它是质量关于长度 的导数1导数解决的问题通常是变化率的问题( )2位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数为加速度( )3导数的实际意义与变量表示的实际含义有关，同一个函数表达式，其导数的实际意义因变量实际含义的不同而不同( )类型一 导数在物理学中的意义例 1 某质点的运动方程为 ss( t)2t 23t，其中 s 是位移(单位：m)，t 是时间(单位：s)(1)求当 t 从 1 s 变到 3 s 时，位移 s 关于时间 t 的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求 s (
4、1)，s(2)，并解释它们的实际意义考点 实际问题中导数的意义题点 导数在物理学中的意义解 (1)当 t 从 1 s 变到 3 s 时，s 关于 t 的平均变化率为 11(m/s)st s3 s13 1 27 53 1它表示从 t1 s 到 t3 s 这段时间内，该质点平均每秒的位移是 11 m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得 s( t)4t 3，则 s(1) 4 37(m /s)，s(2)423 11(m/ s)s(1)表示的是该质点在 t1 s 时的瞬时速度，也就是该质点在 t1 s 这个时刻的瞬时速度为 7 m/s.s(2)表示的是该质点在 t2 s 时的瞬时速度，也就是该质点在
5、 t2 s 这个时刻的瞬时速度为 11 m/s.反思与感悟 根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系、功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解跟踪训练 1 某河流在一段时间 x min 内流过的水量为 y m3，y 是 x 的函数，且 yf(x) .3x(1)当 x 从 1 变到 8 时，y 关于 x 的平均变化率是多少？(2)求 f(27)，并解释它的实际意义考点 实际问题中导数的意义题点 导数在物理学中的意义解 (1)当 x 从 1 变到 8 时，y
6、关于 x 的平均变化率为 (m3/min)f8 f18 1 2 17 17(2)f(x) ，于是 f(27) (m3/min)，实际意义为当时间为 27 min 时，2313 27127水流量增加的速度为 m3/min，也就是当时间为 27 min 时，每增加 1 min，水流量增加 127 127m3.类型二 导数在经济生活中的应用例 2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日 100 件，假设日产品的总成本 C(元)与日产量 x(件) 的函数关系为 C(x) x260x2 050.求当日产量由 10 件提高到 20 件时，总成14本的平均改变量，并说明其实际意义考点 实际问题中导数的
7、意义题点 导数在经济生活中的应用解 当 x 从 10 件提高到 20 件时，总成本 C 从 C(10)2 675 元变到 C(20)3 350 元此时总成本的平均改变量为67.5(元/件)，C20 C1020 10其表示日产量从 10 件提高到 20 件时平均每件产品的总成本的改变量引申探究1若本例条件不变，求当日产量为 75 件时的边际成本，并说明其实际意义解 因为 C(x) x60，12所以 C(75) 756097.5(元/件)，12它指的是当日产量为 75 件时，每多生产一件产品，需增加成本 97.5 元2若本例的条件“C(x) x260x2 050”变为“C(x) x2ax2 050
8、，当日产量为 75 件14 14时的边际成本大于 97.5”，求 a 的取值范围解 因为 C(x) xa，12所以日产量为 75 件时的边际成本大于 97.5，即 C(75) 75a97.5，12解得 a60.反思与感悟 生产成本 y 关于产量 x 的函数 yf(x)中，f (x0)指的是当产量为 x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为 x0时，每增加一个单位的产量，需增加 f(x 0)个单位的成本跟踪训练 2 已知某商品的成本函数为 C(Q)100 (Q 为产品的数量) Q24(1)求当 Q10 时的总成本、平均成本及边际成本；(2)当产量 Q 为多少时，平均成本最小？最小为多少？考点
9、实际问题中导数的意义题点 导数在经济生活中的应用解 (1)当 Q 10 时的总成本 C(10)100 125；1024Q10 时的平均成本 12.5.C10C1010边际成本即成本函数 C(Q)对产量 Q 的导数，故边际成本 C(Q) Q，12Q10 时的边际成本是 C(10)5.(2)由(1)得，平均成本 ，CQCQQ 100Q Q4而 2 10，100Q Q4 100QQ4当且仅当 ，即 Q20 时，等号成立，100Q Q4所以当产量 Q 为 20 时，平均成本最小，且平均成本的最小值是 10.类型三 导数在日常生活中的应用例 3 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品质量 y(单位：g)
10、 是工作时间 x(单位：h)的函数，设这个函数为 yf( x) 4 .x220 x(1)求 x 从 1 h 变到 4 h 时，y 关于时间 x 的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求 f(1)，f(4)，并解释它的意义考点 实际问题中导数的意义题点 导数在日常生活中的应用解 (1)当 x 从 1 h 变到 4 h 时，产量 y 从 f(1) g 变到 f(4) g，8120 17620此时平均变化率为 (g/h)，f4 f14 1 17620 81203 1912它表示从 1 h 到 4 h 这段时间这个人平均每小时生产 g 产品1912(2)f(x) ，x10 2x于是 f(1) (g/
11、h)，f(4) (g/h)，2110 75分别表示在第 1 小时和第 4 小时这个人每小时生产产品 g 和 g.2110 75反思与感悟 在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所趋近的值，问题不同有不同的意义跟踪训练 3 某年高考，某考生在参加数学考试时，其解答完的题目数量 y(单位：道) 与所用时间 x(单位：分钟)近似地满足函数关系式 yf(x)2 .x(1)求 x 从 0 分钟变化到 36 分钟时，y 关于 x 的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求 f(64)，f(100)，并解释它
12、的实际意义考点 实际问题中导数的意义题点 导数在日常生活中的应用解 (1)x 从 0 分钟变化到 36 分钟，y 关于 x 的平均变化率为 .f36 f036 0 1236 13它表示该考生前 36 分钟平均每分钟解答 道题13(2)f(x) ，f(64) ，f (100) .1x 18 110它们分别表示该考生在第 64 分钟和第 100 分钟时每分钟可解答 和 道题.18 1101某公司的盈利 y(元)和时间 x(天)的函数关系是 yf (x)，假设 f(x)0 恒成立，且 f(10)10，f(20)1，则这些数据说明第 20 天与第 10 天比较( )A公司已经亏损B公司的盈利在增加，且
13、增加的幅度变大C公司在亏损且亏损幅度变小D公司的盈利在增加，但增加的幅度变小考点 实际问题中导数的意义题点 导数在经济中的应用答案 D解析 导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的2某人拉动一个物体前进，他所做的功 W 是时间 t 的函数，即 WW (t)，则 W( t0)表示( )Att 0 时做的功 Btt 0 时的速度Ctt 0 时的位移 Dtt 0 时的功率考点 实际问题中导数的意义题点 导数在物理学中的应用答案 D解析 W( t0)表示 tt 0时的功率3某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从 8：00 开始
14、工作，t 小时后可装配晶体管收音机的台数为 Q(t)t 39t 212t，则 Q(2)_ ，它的实际意义是 _考点 实际生活中导数的意义题点 导数在日常生活中的应用答案 36 台/小时 10：00 时，工人装配晶体管收音机的速度为 36 台/小时解析 Q(t) 3t 218t12，则 Q(2) 36，由题意知 10：00 时，工人装配晶体管收音机的速度为 36 台/小时4某物体的运动速度与时间的关系为 v(t)2t 21，则 t2 时的加速度为_考点 实际生活中导数的意义题点 导数在物理学中的意义答案 8解析 v(t)4t，v(2)8.5建造一幢长度为 x m 的桥梁需成本 y 万元，函数关系
15、为 yf(x) (x2x3)(x 0)110(1)当 x 从 100 变到 200 时，平均每米的成本为_万元；(2)f(100)_万元/m，其实际意义为_答案 (1)30.1 (2)20.1 当长度为 100 m 时，每增加 1 m 的长度，成本就增加 20.1 万元解析 (1)f(100)1 010.3，f(200)4 020.3， 30.1(万元/m)，f200 f100200 100即平均变化率为 30.1 万元/m.(2)f(x) (2x1)，f(100)20.1(万元/m)，即当长度为 100 m 时，每增加 1 m 的长度，110成本就增加 20.1 万元1解决实际问题的一般思路
16、：实际问题转化为数学问题，数学问题的结论回到实际问题的结论2解决实际问题的一般步骤(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案一、选择题1一次降雨过程中，降雨量 y 是时间 t 的函数，用 yf(t)表示，则 f(10)表示( )At10 时的降雨强度Bt10 时的降雨量Ct10 时的时间Dt10 时的温度考点 实际生活中导数的意义题点 导数在日常生活中的应用答案 A解析
17、f(t) 表示 t 时刻的降雨强度2圆的面积 S 是半径 r 的函数 S(r)r 2，那么在 r3 时，面积的变化率是( )A6 B9 C9 D6考点 实际生活中导数的意义题点 导数在日常生活中的意义答案 D解析 面积 S 在 r3 时的变化率为 S(3)2 36.3设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度 v(单位：m/s)与时间 t(单位：s)的函数关系为 vv(t) t33t，则 tt 0 s 时轿车的加速度为( )At 3t 0 B3t 330 20C3t 3t 0 Dt 330 30考点 实际生活中导数的意义题点 导数在物理学中的意义答案 B解析 v(t) 3t23，则当 tt 0
18、 s 时的速度变化率为 v (t0)3t 3(m/s 2)，则 tt 0 s 时轿20车的加速度为(3t 3) m/s 2.204某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在 2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为 s(t) t34t 220t15，则 s(1)的实际意义为( )13A汽车刹车后 1 s 内的位移B汽车刹车后 1 s 内的平均速度C汽车刹车后 1 s 时的瞬时速度D汽车刹车后 1 s 时的位移考点 实际生活中导数的意义题点 导数在物理学中的意义答案 C5从时刻 t0 开始的 t s 内，通过某导体的电量(单位： C)可由公式 q2t 23t 表示，则第5
19、 s 时电流强度为( )A27 C/s B20 C/sC25 C/s D23 C/s考点 实际生活中导数的意义题点 导数在物理学中的意义答案 D解析 某导体的电量 q 在 5 s 时的瞬时变化率就是第 5 s 时的电流强度q4t3，当 t5 时，电流强度为 45323(C/s)6汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是 ( )考点 实际生活中导数的意义题点 导数在物理学中的意义答案 A解析 开始启动，从原点开始；加速行驶，则路程的增速较快；匀速行驶，路程的增速是常数；减速行驶，路程的增速减慢，所以只有选项 A 合适
20、7已知一根金属棒的质量 y(单位：kg) 是长度 x(单位：m)的函数：yf(x) 3 ，则从 4 mx到 9 m 这一段金属棒的平均线密度是 ( )A. kg/m B. kg/m25 35C. kg/m D. kg/m34 12答案 B解析 (kg/m)yx 39 349 4 358如图所示，设有定圆 C 和定点 O，当 l 从 l0 开始在平面上绕 O 匀速旋转(旋转角度不超过90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数，则函数的图像大致是( )考点 实际生活中导数的意义题点 导数在日常生活中的应用答案 D解析 由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而
21、中间时段相对增速较快选项 A 表示面积的增速是常数，与实际不符；选项 B 表示最后时段面积的增速较快，与实际不符；选项 C 表示开始和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快，与实际不符；选项 D 表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际二、填空题9某物体的位移 s 是时间 t 的函数 s2t 3at，物体在 t1 时的速度为 8，则 a 的值为_考点 实际生活中导数的意义题点 导数在物理学中的意义答案 2解析 s6t 2a，由题意知 612a8，a2.10已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元) 与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为y x381x 234，则使该生产厂
22、家获得最大年利润的年产量为_万件13考点 实际生活中导数的意义题点 导数在经济生活中的应用答案 9解析 令 yx 2810，得 x9 或9( 舍去)，当 x9 时，y max252.11一物体沿直线运动的方程为 s(t) t4 t32t 2，那么速度为 0 的时刻为(s 单位：m，t14 53单位：s)_考点 实际生活中导数的意义题点 导数在物理学中的意义答案 0 s,1 s,4 s解析 s(t)t 35t 24t，根据导数的意义可知 vs(t)，令 t35t 24t0，解得 t0 或t1 或 t4.三、解答题12在 F1 赛车中，赛车位移 s 与比赛时间 t 存在函数关系 s10t 5t 2
23、(s 的单位为 m，t 的单位为 s)求：(1)当 t20，t0.1 时的 s 与 ；st(2)当 t20 时的瞬时速度考点 实际生活中导数的意义题点 导数在物理学中的意义解 (1)因为 ss(20.1)s(20)(1020.1520.1 2)(1020520 2)21.05(m)，所以 210.5(m/s)st 21.050.1(2)因为 s10 10t，所以当 t20 时，s101020210(m/s)，即 t20 时的瞬时速度为 210 m/s.13某食品厂生产某种食品的总成本 C(单位：元)和总收入 R(单位：元)都是日产量 x(单位：kg)的函数，分别为 C(x)100 2x 0.0
24、2x 2，R(x) 7x 0.01x 2，试求边际利润函数以及当日产量分别为 200 kg,250 kg,300 kg 时的边际利润，并说明其经济意义考点 实际生活中导数的意义题点 导数在经济生活中的应用解 (1)根据定义知，总利润函数为L(x)R( x)C(x)5x1000.01x 2，所以边际利润函数为 L(x )50.02x.(2)当日产量分别为 200 kg,250 kg,300 kg 时，边际利润分别为 L(200)1，L(250)0，L(300)1.其经济意义是：当日产量为 200 kg 时，每增加 1 kg，则总利润可增加 1 元；当日产量为 250 kg 时，每增加 1 kg，
25、则总利润无变化；当日产量为 300 kg 时，每增加 1 kg，则总利润减少1 元由此可得：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图” 四、探究与拓展14向高为 8 m，底面边长为 8 m 的倒置四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟 m3，则83当水深为 5 m 时，水面上升的速度为 _m/min.答案 875解析 设注水 t min 时，水的深度为 h m，则容器内水的体积为 t h2h，83 13则 h2t ，13所以 h(t) t .23 23当 h5 时，t ，1258故 vh (m/min)(1258) 87515日常生活中的饮用水通常是通过净化得到的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将 1 t 水净化到纯净度为 x%时所需费用( 单位：元)为 c(x) (80x100)，5 284100 x求净化到下列(1)90%；(2)98%纯净度时，所需费用的瞬时变化率解 c(x) ，(5 284100 x) 5 284100 x2c(90) 52.84，5 284100 902c(98) 1 321.5 284100 982故纯净度为 90%时，净化费用的瞬时变化率为 52.84 元/t；纯净度为 98%时，净化费用的瞬时变化率为 1 321 元/t.
