1、2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学习目标：1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法(重点、难点)3.初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质自 主 预 习探 新 知1解析几何研究的主要问题：(1)由曲线求它的方程(2)利用方程研究曲线的性质2求曲线的方程的步骤思考：求曲线方程的步骤是否可以省略提示 可以省略如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤“证明”，如有特殊情况，可以适当说明基础自测1思考辨析(1)依据一个给定的平面图形，选取的坐标系是唯一的( )(2)求轨迹就是求轨迹方程( )(3)到两坐标轴距离之和为 a
2、(a0) 的点 M 的轨迹方程为 |x|y |a.( )提示 (1) 不唯一常以得到的曲线方程最简单为标准(2) 求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形(3)2已知点 A(2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则ABC 底边 AB 的中线的方程是( )Ax0 Bx 0(0y3)Cy0 Dy 0(0x2)答案 B3平面上有三点 A(2， y)，B ，C(x，y)，若 ，则动点 C 的(0，y2) AB BC 轨迹方程为_. 【导学号：33242101】y28x(x0) ， ，AB (2， y2) BC (x，y2)由 得 2x 0 即 y28x(x 0)AB BC y24合
3、作 探 究攻 重 难由方程研究曲线的性质写出方程 y24x 40 的曲线的主要性质解 (1)曲线变化情况： y 24x40，得 x1，y 可取一切实数，x逐渐增大时，|y |无限增大曲线在直线 x1 的右侧，向上向下无限伸展(2)对称性：用y 代 y 方程不变，故曲线关于 x 轴对称(3)截距：令 y0，得 x1；令 x0 得 y2，曲线的横截距为1，纵截距为2.(4)画方程的曲线： 列表： x 1 0 1 2 3 y 0 2 2.83 3.46 4 描点作图如图所示规律方法 利用方程研究曲线性质的一般过程：跟踪训练1画出到两坐标轴距离之差等于 1 的点的轨迹图形解 到两坐标轴距离之差等于 1
4、 的点(x ，y)，满足的方程是| x|y|1，其中以x 代 x，或y 代 y，方程都不变，所以方程的曲线关于坐标轴对称，同时也关于原点对称，需画出 x0，y 0 的图形后，利用对称性完成画图，如图.直接法求曲线方程已知一条直线 l 和它上方的一个点 F，点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方，它上面的每一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程. 【导学号：33242102】思路探究 由条件可知动点满足的不变关系已确定，只需坐标化再化简即得方程解 如图所示，取直线 l 为 x 轴，过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 y 轴，建立坐标
5、系 xOy.设点 M(x，y)是曲线上任意一点，作 MBx 轴，垂足为 B，那么点 M 属于集合 P M|MF|MB| 2由两点间的距离公式，点 M 适合的条件可表示为 y2，x2 y 22将式移项后两边平方，得 x2(y 2) 2(y2) 2，化简得 y x2.因为曲线在 x 轴的上方，所以 y0.18虽然原点 O 的坐标(0,0) 是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是 y x2(x0)18规律方法 直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M |p(M)直接翻译成 x，y 的形式 F(x，y )0，然后进行等价变换，化简为 f(x，y )0.要注意轨
6、迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少跟踪训练2一个动点 P 到直线 x8 的距离是它到点 A(2,0)的距离的 2 倍求动点P 的轨迹方程解 设 P(x，y)，则|8 x|2| PA|.则|8x|2 ，x 22 y 02化简，得 3x24y 248，故动点 P 的轨迹方程为 3x24y 248.代入法求曲线的方程探究问题1为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”？提示 只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代数化，才能用代数法研究几何问题2常见的建系原则有哪些？提示 (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系(2)若已知两定点
7、，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为 x 轴建立直角坐标系3求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？提示 在第五步化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”动点 M 在曲线 x2y 21 上移动，M 和定点 B(3,0)连线的中点为P，求 P 点的轨迹方程【导学号：33242103】思路探究 所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得解 设 P(x，y)，M (x0，y 0)，P 为 MB 的中点Error!即Error!又M 在曲线 x2y 21 上，(2x3) 24y 21，P 点的轨迹方程为(2 x 3)24y 21.母题
8、探究：1.(变换条件) 本例中把条件“M 和定点 B(3,0)连线的中点为 P”改为“ 2 ”，求 P 点的轨迹方程MP PB 解 设 P(x，y)，M (x0，y 0)，则 (xx 0，yy 0)， (3x，y )，MP PB 由 2 得Error!，MP PB 即Error!又M 在曲线 x2y 21 上，(3x6) 29y 21，点 P 的轨迹方程为(3 x 6)29y 21.2(变换条件) 本例中把条件“M 和定点 B(3,0)连线的中点为 P”改为“一动点 P 和定点 B(3,0)连线的中点为 M”，试求动点 P 的轨迹方程解 设 P(x，y)，M (x0，y 0)，M 为 PB 的
9、中点Error!又M 在曲线 x2 y21 上， 1，即(x3) 2y 24，(x 32 )2 (y2)2 P 点轨迹方程为( x3) 2y 24.规律方法 代入法求解曲线方程的步骤设动点 P(x，y)，相关动点 M(x0，y 0)；利用条件求出两动点坐标之间的关系Error!代入相关动点的轨迹方程；化简、整理，得所求轨迹方程其步骤可总结为“一设二找三代四整理”当 堂 达 标固 双 基1已知等腰三角形 ABC 底边两端点是 A( ，0)，B ( ，0)，顶点 C 的3 3轨迹是( )A一条直线 B一条直线去掉一点C一个点 D两个点B C 的轨迹是线段 AB 的垂直平分线去掉 AB 的中点2在第
10、四象限内，到原点的距离等于 2 的点 M 的轨迹方程是( ) 【导学号：33242104】Ax 2y 24 Bx 2y 24(x0)Cy Dy (0x2)4 x2 4 x2D 排除法，第四象限内满足 x0，y 0.故选 D.3已知动点 P 在曲线 2x2y 0 上移动，则点 A(0，1) 与点 P 连线中点的轨迹方程是 ( )Ay2x 2 By 8x 2C2y8x 21 D2y 8x 21C 设 AP 中点为(x，y)，则 P(2x,2y1)在 2x2y0 上，即 2(2x)2(2y 1)0，2y8x 21.4设 A 为圆( x1) 2y 21 上的动点，PA 是圆的切线，且|PA| 1，则动点 P 的轨迹方程是_(x 1)2y 22 圆(x 1) 2y 21 的圆心为 B(1,0)，半径 r1，则|PB|2|PA| 2r 2.|PB| 22.P 的轨迹方程为：( x1) 2y 22.5已知ABC，A( 2,0)，B(0，2)，第三个顶点 C 在曲线 y3x 21 上移动，求ABC 的重心的轨迹方程. 【导学号：33242105】解 设ABC 的重心为 G(x，y)，顶点 C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标公式得Error!Error!代入 y13x 1，得 3y23(3x2) 21.21y9x 212x3 即为所求轨迹方程
