1、3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示学习目标：1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量(重点).2.会用平面的法向量证明平行与垂直(重点).3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题(难点)自 主 预 习探 新 知1平面的法向量及其应用(1)平面的法向量：如果向量 n 的基线与平面 垂直，则向量 n 叫做平面 的法向量或说向量 n 与平面 正交(2)平面的向量表示式：设 A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，用n 0 表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面，这个式子通常称为AM 一个平面的向量表示式(3)两个平面平行或垂直的判断：设 n1，n 2 分别是平面 ， 的
2、法向量，则 或 与 重合n 1 n2；n 1n 2n1n20.思考：平面的法向量有何作用？是否唯一？提示 平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系平面的法向量不唯一，它们都是共线的2三垂线定理及其逆定理：(1)射影：已知平面 和一点 A，过点 A 作 的垂线 l 与平面 相交于点A，则 A就是点 A 在平面 内的正射影，简称射影图形 F 上所有的点在平面 内的射影所成的集合 F，叫做图形 F 在平面 内的射影(2)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直(3)三垂线定理的逆定理：如果平
3、面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直基础自测1思考辨析(1)已知直线 l 垂直于平面 ，向量 a 与直线 l 平行，则 a 是平面 的一个法向量( )(2)若直线 l 是平面 外的一条直线；直线 m 垂直于 l 在平面 内的投影，则 l 与 m 垂直( )(3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量( )提示 (1) 不一定当 a0 时，也满足 al，尽管 l 垂直于平面，a 也不是平面 的法向量(2) 不一定若直线 m 在平面 外，例如 m，尽管 m 垂直于直线 l在平面 内的投影，也不能得出 ml 的结论(3)2设平面 的法向量的坐标为 (1
4、,2，2)，平面 的法向量的坐标为(2， 4，k) 若 ，则 k 等于( )A2 B4 C4 D2C 因为 ，所以 ，所以 k4.1 2 2 4 2k3已知平面内的两个向量 a(2,3,1)，b(5,6,4) ，则该平面的一个法向量为 ( )A(1， 1,1) B(2，1,1)C(2,1,1) D( 1,1，1)C 显然 a 与 b 不平行，设平面的法向量为 n(x，y ，z )，则有Error!Error!令 z1，得 x2，y1，n(2,1,1)合 作 探 究攻 重 难求平面的法向量如图 3210 所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的
5、中点ABAP1， AD ，试建立恰当的空间3直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量. 【导学号：33242286】图 3210解 因为 PA平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两两垂直如图，以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，AB 则 D(0， ，0)，E ，B(1,0,0)，C(1， ， 0)，于是3 (0，32，12) 3 ， (1 ， ，0)AE (0，32，12) AC 3设 n(x，y，z)为平面 ACE 的法向量，则Error!即Error!所以Error!令 y1，则 xz .3所以平面 ACE 的一个法向量为 n(
6、，1， )3 3规律方法 利用待定系数法求法向量的解题步骤：跟踪训练1如图 3211 所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，平面PAB 平面 ABCD，PAB 是边长为 1 的正三角形，ABC60，E 是 PC 的中点，F 是 AB 的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 DEF 的法向量图 3211解 因为 PAPB，F 为 AB 的中点，所以 PFAB，又因为平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB ，PF平面PAB.所以 PF平面 ABCD，因为 ABBC，ABC60，所以ABC 是等边三角形，所以 CFAB.以 F 为坐标原点，建立空间直角坐标系
7、(如图所示)由题意得 F(0,0,0)，P ，D ，C ，E .(0，0，32) ( 1，32，0) (0，32，0) (0，34，34)所以 ， .FE (0，34，34) FD ( 1，32，0)设平面 DEF 的法向量为 m(x ，y，z)则Error!即Error!所以Error!令 y2，则 x ，z2.3所以平面 DEF 的一个法向量为 m( ，2，2).3利用法向量证明空间中的位置关系探究问题1平面的法向量有何特点？提示 设向量 n 是平面 的一个法向量则：(1)n 是一个非零向量(2)向量 n 与平面 垂直(3)平面 的法向量有无数多个，它们都与向量 n 平行，方向相同或相反(
8、4)给定空间中任意一点 A 和非零向量 n，可确定唯一一个过点 A 且垂直于向量 n 的平面2用向量法证明空间线面垂直关系的关键是什么？提示 设直线 l，m 的方向向量分别为 a(a 1，a 2，a 3)，b(b 1，b 2，b 3)，平面 ， 的法向量分别为 u(u 1，u 2，u 3)，v(v 1，v 2，v 3)，则位置关系 向量关系 向量运算关系 坐标关系lm ab ab0 a1b1a 2b2a 3b30l a u au， R a1u 1，a 2u 2，a 3u 3 uv uv0 u1v1u 2v2u 3v30如图 3212 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F ，M
9、分别为棱 BB1，CD，AA 1 的中点图 3212(1)证明：C 1M平面 ADE；(2)平面 ADE平面 A1D1F. 【导学号：33242287】思路探究 建立空间坐标系，求出平面 ADE 与平面 A1D1F 的法向量求解解 (1)以 D 为原点，向量 、 、 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴DA DC DD1 的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为 1.则 D(0,0,0)， A(1,0,0)，E ，C 1(0,1,1)，M ， (1,0,0)，(1，1，12) (1，0，12) DA ， .DE (1，1，12) C1M (1， 1， 12)设平面 ADE 的法向量为m(a，b
10、，c )，则Error!Error!令 c2，得 m(0 ，1,2)，m (0 ，1,2) 0110，C1M (1， 1， 12) m.C1M 又 C1M平面 ADE，C 1M平面 ADE.(2)由 D1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，F ，(0，12，0)得 (1,0,0)， ，D1A1 D1F (0，12， 1)设平面 A1D1F 的法向量为 n(x，y ，z)，则Error!Error!令 y2，则 n(0,2,1) mn(0 ，1,2)(0,2,1)0220，mn.平面 ADE平面 A1D1F.母题探究：1.(变结论) 本例条件不变，试求直线 D1E 的一个方向向量和平面EFM
11、的一个法向量解 如本例解析题， D1(0,0,1)，E ，(1，1，12)所以 ，即直线 D1E 的一个方向向量D1E (1，1， 12)设平面 EFM 的法向量为 n(x ，y，z)，因为 F ，所以 ， (0，1,0)，(0，12，0) EF ( 1， 12，12) EM 由Error!即Error!所以Error!令 x1，则 z2.所以平面 EFM 的一个法向量为(1,0,2) 2(变条件，变结论) 在本例中设 D1B1 的中点为 N，其他条件不变试证：EN平面 B1AC.证明 如本例解析图， E ，N ，A(1,0,0)，B 1(1,1,1)，(1，1，12) (12，12，1)C(
12、0,1,0) ， (0,1,1)，EN ( 12， 12，12) AB1 (1,1,0) ，AC 0 ， 0，EN AB1 EN AC ， ，即 ENAB 1，ENAC.EN AB1 EN AC 又 AB1ACA ，EN平面 B1AC.规律方法 利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算.提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示.三垂线定理及逆定理的应用如图 3213 所示，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，若 O，Q 分别是ABC 和PBC 的垂心，求证：OQ平面 PBC. 【导学号：33242288】图 3213证明
13、 如图，连接 AO 并延长交 BC 于点 E，连接 PE.PA平面 ABC，AE BC(由于 O 是ABC 的垂心 )，PEBC( 三垂线定理的逆定理) ，点 Q 在 PE 上Error!BC平面 PAEBCOQ. 连接 BO 并延长交 AC 于点 F，则 BFAC.连接 BQ 并延长交 PC 于点 M，则 BMPC.连接 MF.PA平面 ABC，BF AC，BFPC(三垂线定理 )Error!PC平面 BMFPCOQ. 由，知 OQ平面 PBC.规律方法 利用传统的几何法进行证明，在证明线面垂直时，首先应证明线线垂直，本题在证明线线垂直时，应用到了三垂线定理及其逆定理.跟踪训练2如图 321
14、4 所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， ACB90 ，BAC30，BC1，AA 1 ，M 是 CC1 中点，求证：AB 1A 1M.6图 3214证明 连接 AC1， ， ，ACMC1 362 2 CC1C1A1 63 2Rt ACC1 RtMC 1A1，AC 1CMA 1C1，A 1MC1AC 1CA 1MC1MA 1C190，A 1MAC 1.ABCA 1B1C1 为直三棱柱，B 1C1CC 1.又B 1C1A 1C1，A 1C1 CC 1C 1，B 1C1平面 AC1，由三垂线定理知，AB 1A 1M.当 堂 达 标固 双 基1直线 l 的方向向量 s(1,1,1)，平面 的法向
15、量为 n(2，x 2x ，x)，若直线 l平面 ，则 x 的值为( )A2 B C. D2 2 2D 线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故121( x2x )1(x)0，解得 x .22若直线 l平面 ，直线 l 的方向向量为 s、平面 的法向量为 n，则下列结论正确的是( )【导学号：33242289】As( 1,0,2)，n(1,0，1)Bs(1,0,1)，n(1,2，1)Cs(1,1,1)，n(1,2，1)Ds( 1,1,1)，n(2,2,2)C 直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量垂直，经检验只有选项 C 中 sn0，故选 C.3设 u(2,2，t)，v (6，4,
16、4)分别是平面 ， 的法向量若 ，则 t( )A3 B4 C5 D6C ，则 uv 262(4)4t0，t5.4已知平面 内的三点 A(0,0,1)，B(0,1,0) ，C (1,0,0)，平面 的一个法向量 n( 1，1，1)，则不重合的两个平面 与 的位置关系是_平行 (0,1，1)， (1,0，1)，所以 n 0，n 0，所以AB AC AB AC n ，n ，故 n 也是 的一个法向量又因为 与 不重合，所以 .AB AC 5在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 垂直于底面ABCD， PD DC，E 是 PC 的中点，作 EFPB 于点 F.求证：(1)PA平
17、面 EDB；(2)PB平面 EFD. 【导学号：33242290】证明 建立如图所示的空间直角坐标系D 是坐标原点，设 DCa.(1)连接 AC 交 BD 于 G，连接 EG，依题意得 D(0,0,0)，A(a,0,0)，P (0,0，a)，E .(0，a2，a2)因为底面 ABCD 是正方形，所以 G 是此正方形的中心，故点 G 的坐标为 ，(a2，a2，0)所以 .EG (a2，0， a2)又 (a,0，a)，所以 2 ，这表明 PAEG.PA PA EG 而 EG平面 EDB，且 PA平面 EDB，所以 PA平面 EDB.(2)依题意得 B(a，a,0)， (a，a，a)， ，所PB DE (0，a2，a2)以 0 0 ，所以 ，即 PB DE.PB DE a22 a22 PB DE 又已知 EFPB ，且 EF DEE，所以 PB平面 EFD.
