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2019年人教B版数学选修2-1学案:2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质

1、2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学习目标:1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法,熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法(重点、难点)3.初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质自 主 预 习探 新 知1解析几何研究的主要问题:(1)由曲线求它的方程(2)利用方程研究曲线的性质2求曲线的方程的步骤思考:求曲线方程的步骤是否可以省略提示 可以省略如果化简前后方程的解集是相同的,可以省略步骤“证明”,如有特殊情况,可以适当说明基础自测1思考辨析(1)依据一个给定的平面图形,选取的坐标系是唯一的( )(2)求轨迹就是求轨迹方程( )(3)到两坐标轴距离之和为 a

2、(a0) 的点 M 的轨迹方程为 |x|y |a.( )提示 (1) 不唯一常以得到的曲线方程最简单为标准(2) 求轨迹方程得出方程即可,求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形(3)2已知点 A(2,0),B(2,0),C(0,3),则ABC 底边 AB 的中线的方程是( )Ax0 Bx 0(0y3)Cy0 Dy 0(0x2)答案 B3平面上有三点 A(2, y),B ,C(x,y),若 ,则动点 C 的(0,y2) AB BC 轨迹方程为_. 【导学号:33242101】y28x(x0) , ,AB (2, y2) BC (x,y2)由 得 2x 0 即 y28x(x 0)AB BC y24合

3、作 探 究攻 重 难由方程研究曲线的性质写出方程 y24x 40 的曲线的主要性质解 (1)曲线变化情况: y 24x40,得 x1,y 可取一切实数,x逐渐增大时,|y |无限增大曲线在直线 x1 的右侧,向上向下无限伸展(2)对称性:用y 代 y 方程不变,故曲线关于 x 轴对称(3)截距:令 y0,得 x1;令 x0 得 y2,曲线的横截距为1,纵截距为2.(4)画方程的曲线: 列表: x 1 0 1 2 3 y 0 2 2.83 3.46 4 描点作图如图所示规律方法 利用方程研究曲线性质的一般过程:跟踪训练1画出到两坐标轴距离之差等于 1 的点的轨迹图形解 到两坐标轴距离之差等于 1

4、 的点(x ,y),满足的方程是| x|y|1,其中以x 代 x,或y 代 y,方程都不变,所以方程的曲线关于坐标轴对称,同时也关于原点对称,需画出 x0,y 0 的图形后,利用对称性完成画图,如图.直接法求曲线方程已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程. 【导学号:33242102】思路探究 由条件可知动点满足的不变关系已确定,只需坐标化再化简即得方程解 如图所示,取直线 l 为 x 轴,过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 y 轴,建立坐标

5、系 xOy.设点 M(x,y)是曲线上任意一点,作 MBx 轴,垂足为 B,那么点 M 属于集合 P M|MF|MB| 2由两点间的距离公式,点 M 适合的条件可表示为 y2,x2 y 22将式移项后两边平方,得 x2(y 2) 2(y2) 2,化简得 y x2.因为曲线在 x 轴的上方,所以 y0.18虽然原点 O 的坐标(0,0) 是这个方程的解,但不属于已知曲线,所以曲线的方程应是 y x2(x0)18规律方法 直接法是求轨迹方程的最基本的方法,根据所满足的几何条件,将几何条件M |p(M)直接翻译成 x,y 的形式 F(x,y )0,然后进行等价变换,化简为 f(x,y )0.要注意轨

6、迹上的点不能含有杂点,也不能少点,也就是说曲线上的点一个也不能多,一个也不能少跟踪训练2一个动点 P 到直线 x8 的距离是它到点 A(2,0)的距离的 2 倍求动点P 的轨迹方程解 设 P(x,y),则|8 x|2| PA|.则|8x|2 ,x 22 y 02化简,得 3x24y 248,故动点 P 的轨迹方程为 3x24y 248.代入法求曲线的方程探究问题1为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”?提示 只有建立了坐标系,才有点的坐标,才能把曲线代数化,才能用代数法研究几何问题2常见的建系原则有哪些?提示 (1)若条件中只出现一个定点,常以定点为原点建立直角坐标系(2)若已知两定点

7、,常以两定点的中点为原点,两定点所在的直线为 x 轴建立直角坐标系3求得曲线方程后,如何避免出现“增解”或“漏解”?提示 在第五步化简的过程中,注意运算的合理性与准确性,尽量避免“漏解”或“增解”动点 M 在曲线 x2y 21 上移动,M 和定点 B(3,0)连线的中点为P,求 P 点的轨迹方程【导学号:33242103】思路探究 所求动点与已知曲线上动点相关,可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得解 设 P(x,y),M (x0,y 0),P 为 MB 的中点Error!即Error!又M 在曲线 x2y 21 上,(2x3) 24y 21,P 点的轨迹方程为(2 x 3)24y 21.母题

8、探究:1.(变换条件) 本例中把条件“M 和定点 B(3,0)连线的中点为 P”改为“ 2 ”,求 P 点的轨迹方程MP PB 解 设 P(x,y),M (x0,y 0),则 (xx 0,yy 0), (3x,y ),MP PB 由 2 得Error!,MP PB 即Error!又M 在曲线 x2y 21 上,(3x6) 29y 21,点 P 的轨迹方程为(3 x 6)29y 21.2(变换条件) 本例中把条件“M 和定点 B(3,0)连线的中点为 P”改为“一动点 P 和定点 B(3,0)连线的中点为 M”,试求动点 P 的轨迹方程解 设 P(x,y),M (x0,y 0),M 为 PB 的

9、中点Error!又M 在曲线 x2 y21 上, 1,即(x3) 2y 24,(x 32 )2 (y2)2 P 点轨迹方程为( x3) 2y 24.规律方法 代入法求解曲线方程的步骤设动点 P(x,y),相关动点 M(x0,y 0);利用条件求出两动点坐标之间的关系Error!代入相关动点的轨迹方程;化简、整理,得所求轨迹方程其步骤可总结为“一设二找三代四整理”当 堂 达 标固 双 基1已知等腰三角形 ABC 底边两端点是 A( ,0),B ( ,0),顶点 C 的3 3轨迹是( )A一条直线 B一条直线去掉一点C一个点 D两个点B C 的轨迹是线段 AB 的垂直平分线去掉 AB 的中点2在第

10、四象限内,到原点的距离等于 2 的点 M 的轨迹方程是( ) 【导学号:33242104】Ax 2y 24 Bx 2y 24(x0)Cy Dy (0x2)4 x2 4 x2D 排除法,第四象限内满足 x0,y 0.故选 D.3已知动点 P 在曲线 2x2y 0 上移动,则点 A(0,1) 与点 P 连线中点的轨迹方程是 ( )Ay2x 2 By 8x 2C2y8x 21 D2y 8x 21C 设 AP 中点为(x,y),则 P(2x,2y1)在 2x2y0 上,即 2(2x)2(2y 1)0,2y8x 21.4设 A 为圆( x1) 2y 21 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA| 1,则动点 P 的轨迹方程是_(x 1)2y 22 圆(x 1) 2y 21 的圆心为 B(1,0),半径 r1,则|PB|2|PA| 2r 2.|PB| 22.P 的轨迹方程为:( x1) 2y 22.5已知ABC,A( 2,0),B(0,2),第三个顶点 C 在曲线 y3x 21 上移动,求ABC 的重心的轨迹方程. 【导学号:33242105】解 设ABC 的重心为 G(x,y),顶点 C 的坐标为(x 1,y 1),由重心坐标公式得Error!Error!代入 y13x 1,得 3y23(3x2) 21.21y9x 212x3 即为所求轨迹方程