1、第三课 空间向量与立体几何核心速填1几个重要的概念(1)零向量：起点与终点 重合的向量叫做零向量(2)单位向量：模为 1 的向量叫做单位向量(3)相反向量：与向量 a 长度相等而方向相反的向量称为 a 的相反向量(4)相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量(5)共线向量：空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量(6)共面向量：平行于同一平面的向量，叫做共面向量2空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：两个空间向量 a，b(b0) ，ab 的充要条件是存在唯一的实数 x，使 ax b.(2)共线向量定理的推论：若 ， 不共线，则 P，A ，B 三点共线的充要OA OB
2、 条件是 ，且 1.OP OA OB (3)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 c 与向量 a，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 x，y ，使 cx ay b.(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点 O 和 不共线的三点 A，B，C，则 P， A，B ， C 四点共面的充要条件 x y z (其中 xy z 1)OP OA OB OC (5)空间向量分解定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y ，z ，使 p xaybzc.3空间向量运算的坐标表示设 a(a 1，a 2，a 3)，b( b1，b 2，b 3)
3、(1)ab(a 1b 1，a 2b 2，a 3b 3)，ab(a 1b 1，a 2b 2，a 3b 3)，a (a1， a2，a 3)，aba 1b1a 2b2a 3b3.(2)重要结论ababa 1b 1，a 2b 2，a 3b 3(R)；abab0 a1b1a 2b2a 3b30.4模、夹角和距离公式(1)设 a(a 1，a 2，a 3)，b (b1，b 2，b 3)，则|a| ；aa a21 a2 a23cos a，b .ab|a|b| a1b1 a2b2 a3b3a21 a2 a23 b21 b2 b23(2)设 A(a1，b 1，c 1)，B(a 2，b 2，c 2)，则dAB |
4、| .AB a2 a12 b2 b12 c2 c125空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线 l 的方向向量是 u(a 1，b 1，c 1)，平面 的法向量 v(a 2，b 2，c 2)，则l uv uv0 a1a2b 1b2c 1c20，l uv ukv(a 1，b 1，c 1)k( a2， b2，c 2)a1ka 2，b 1kb 2，c 1kc 2(kR) (2)设直线 l， m 的方向向量分别为 a，b，平面 ， 的法向量分别为u，v，则lmabakb，kR；lmabab0 ；lauau0；l auaku，kR； uvukv，kR；uv uv0.6空间向量与空间角的关系(1)
5、设异面直线 l1，l 2 的方向向量分别为 m1，m 2，则 l1 与 l2 的夹角 满足cos |cosm 1，m 2|.(2)设直线 l 的方向向量和平面 的法向量分别为 m，n ，则直线 l 与平面 的夹角 满足 sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小(i)如图 31，AB ，CD 是二面角 l 的两个半平面 ， 内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 ， AB CD 图 31()如图 31，n 1，n 2 分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量，则二面角的大小 满足 cos cosn 1，n 2或cosn 1，n 27用空间向量解决立体几何问题的一般步骤(1)适当地选取基
6、底a，b，c(或建立空间直角坐标系 )(2)用 a，b， c 表示相关向量(或求出有关向量的坐标)(3)通过运算完成证明或计算问题体系构建题型探究空间向量及其运算(1)在空间四边形 OABC 中，其对角线为 OB，AC，M 是 OA 的中点，G 为ABC 的重心，用基向量 ， ， 表示向量 .OA OB OC MG (2)已知三点 A(0,2,3)，B (2,1,6)，C(1，1,5)求以 ， 为边的平行四边形的面积AB AC 若|a| ，且 a 分别与 ， 垂直，求向量 a 的坐标. 3 AB AC 【导学号：33242327】解 (1)如图，连接 AG 并延长交 BC 于点 D.D 为 B
7、C 的中点， ( )AD 12AB AC G 为ABC 的重心， ( )，AG 23AD 13AB AC 又 ， ，AB OB OA AC OC OA ( ) (2 )AG 13AB AC 13 OA OB OC M 为 OA 的中点， .AM 12OA (2 ) .MG AG AM 13 OA OB OC 12OA 16OA 13OB 13OC (2)由题意，可得 (2，1,3)， (1，3,2)，AB AC 所以 cos ， ，AB AC AB AC |AB |AC | 2 3 61414 714 12所以 sin ， ，所以以 ， 为边的平行四边形的面积为AB AC 32 AB AC S
8、2 | | |sin ， 14 7 .12AB AC AB AC 32 3设 a(x，y ，z)，由题意，得Error!，解得Error!或Error!.所以向量 a 的坐标为(1,1,1)或(1，1，1) 规律方法 (1)向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.(2)熟记空间向量的坐标运算公式,设 a(x 1，y 1，z 1)，b(x 2，y 2，z 2)，加减运算：a b( x1x2，y 1y2，z 1z2).数量积运算：abx 1x2y 1y2z 1z2.向量夹角：cosa，b y z .x1x2 y1y
9、2 z1z221 y21 z21x2 2 2向量长度：设 M1(x1，y 1，z 1)，M 2(x2，y 2，z 2)，则| | .M1M2 (x1 x2)2 (y1 y2)2 (z1 z2)2提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.跟踪训练1已知 a(5,3,1) ，b ，若 a 与 b 的夹角为钝角，求实数 t 的( 2，t， 25)取值范围解 由已知 ab5(2) 3t1 3t .( 25) 525因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 ab0，即 3t 0，所以 t .525 5215若 a 与 b 的夹角为 180，则存在 0，使 a b，即(5,3,1) ，( 2，
10、t， 25)所以Error!所以 t ，65故 t 的范围是 .( ， 65) ( 65，5215)利用空间向量证明平行、垂直问题四棱锥 PABCD 中，PD 平面 ABCD，ABCD 是正方形，E 是 PA的中点，求证：(1)PC平面 EBD；(2)平面 PBC平面 FCD.证明 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DC，DA，DP 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系设 DCa，PDb，则 D(0,0,0)，C(a,0,0)，B (a，a,0)，P(0,0，b)，E.(0，a2，b2)(1) ， (a，a,0)DE (0，a2，b2) DB 设平面 EBD 的一个法向量为
11、n(x，y ，z)，则Error!即Error!令 x1，得 n ，(1， 1，ab)因为 n(a,0，b) 0，PC (1， 1，ab)所以 n，故 PC平面 EBD.PC (2)由题意得平面 PDC 的一个法向量为 (0 ，a,0)，DA 又 (a，a，b)， (a,0，b)，PB PC 设平面 PBC 的一个法向量为 m(x 1，y 1，z 1)，则Error!即Error!得 y10，令 x11，则 z1 ，ab所以 m ，(1，0，ab)因为 m (0，a,0) 0，DA (1，0，ab)所以 m ，即平面 PBC平面 PCD.DA 规律方法 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直
12、线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法转化为线线平行、线面平行处理.证明这两个平面的法向量是共线向量.(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.(5)证明线面垂直的方法证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法转化为证明线面垂直.证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练2如图 32 所示，长方体 ABCDA1
13、B1C1D1 中，点 M，N 分别在 BB1，DD 1上，且 AM A1B，ANA 1D.图 32(1)求证：A 1C平面 AMN.(2)当 AB2，AD2，A 1A3 时，问在线段 AA1 上是否存在一点 P 使得C1P平面 AMN，若存在，试确定 P 的位置解 (1)因为 CB平面 AA1B1B，AM平面 AA1B1B，所以 CBAM ，又因为 AM A1B，A 1BCBB，所以 AM平面 A1BC，所以 A1CAM，同理可证 A1CAN，又 AMANA，所以 A1C平面 AMN.(2)以 C 为原点，CD 所在直线为 x 轴，CB 所在直线为 y 轴，CC 1 所在直线为 z 轴，建立空
14、间直角坐标系，因为 AB2，AD 2，A 1A3，所以 C(0,0,0)，A (2,2,0)，A 1(2,2,3)，B(0,2,0)，D(2,0,0)，C 1(0,0,3)，因为M，N 分别在 BB1，DD 1 上，所以设 N(2,0，z)，M (0,2，y )，则 (2,0，y )， (0，2，z)，AM AN (2,0，3)， (0，2，3)，因为 AMA 1B，AN A 1D，A1B A1D 所以Error!解得Error!所以 ， ，AM ( 2，0，43) AN (0， 2，43)由(1)知 A1C 平面 AMN.设平面 AMN 的法向量 n(x，y ，z )，则Error!取 z3
15、，得 n(2,2,3)，设线段 AA1 上存在一点 P(2,2，t )，使得 C1P平面 AMN，则(2,2 ，t3)，C1P 因为 C1P平面 AMN，所以 n443t90，C1P 解得 t .所以 P ，13 (2，2，13)所以线段 AA1 上存在一点 P ，使得 C1P平面 AMN.(2，2，13)利用空间向量求角如图 33 所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC ，AD DC ，平面 PAD底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 为 PC 的中点，PAPD2，BC AD1，CD .12 3图 33(1)求证：PQAB ；(2)求二面角 PQBM 的余弦
16、值. 【导学号：33242328】解 (1)在PAD 中，PAPD，Q 为 AD 的中点，所以 PQAD.因为平面 PAD底面 ABCD，且平面 PAD底面 ABCDAD，所以 PQ底面 ABCD.又 AB平面 ABCD，所以 PQAB .(2)在直角梯形 ABCD 中， ADBC，BC AD，Q 为 AD 的中点，12所以四边形 BCDQ 为平行四边形因为 ADDC，所以 ADQB.由(1)，可知 PQ平面 ABCD，故以 Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz 如图所示，则 Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0， )，C(1， ，0)，3 3B(0， ，0) ， (0， ，0
17、)3 QB 3因为 AQPQ，AQBQ，所以 AQ平面 PQB，即 为平面 PQB 的一个法向量，QA 且 (1,0,0)QA 因为 M 是棱 PC 的中点，所以点 M 的坐标为 ，所以 ( 12，32，32) QM .( 12，32，32)设平面 MQB 的法向量为 m(x ，y，z)，则Error!，即Error!，令 z1，得 x ，y 0 ，所以 m( ，0,1)，3 3所以 cos ，m .QA QA m|QA |m| 32由题意，知二面角 PQBM 为锐角，所以二面角 PQBM 的余弦值为 .32规律方法 用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为 090
18、，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解(2)直线与平面所成的角：要求直线 a 与平面 所成的角 ，先求这个平面 的法向量 n 与直线 a 的方向向量 a 的夹角的余弦 cosn，a，再利用公式sin |cosn ，a|，求 .(3)二面角：如图，有两个平面 与 ，分别作这两个平面的法向量 n1 与n2，则平面 与 所成的角跟法向量 n1 与 n2 所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角跟踪训练3正ABC 的边长为 4，CD 是 AB 边上的高，E，F 分别是 AC 和 BC 边的中点，现将ABC 沿 CD 翻折成直二面角 ADCB.(1)试判断直线 AB 与平面
19、 DEF 的位置关系，并说明理由(2)求二面角 EDFC 的余弦值(3)在线段 BC 上是否存在一点 P，使 APDE？如果存在，求出 的值；BPBC如果不存在，请说明理由解 (1)在ABC 中，由 E，F 分别是 AC，BC 中点，得 EFAB，又AB平面 DEF，EF 平面 DEF，AB平面 DEF.(2)以点 D 为坐标原点，以直线 DB，DC，DA 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)、B (2,0,0)，C(0,2 ，0)，E(0， ，1)，F(1，3 3，0)， (1， ，0)， (0， ，1)， (0,0,2)3 DF 3 DE 3 DA 平面
20、 CDF 的法向量为 (0,0,2)，设平面 EDF 的法向量为 n(x，y，z)，DA 则Error!即Error!取 n(3， ，3)，3cos ，n ，DA DA n|DA |n| 217所以二面角 EDFC 的余弦值为 .217(3)存在设 P(s，t,0)，则 t20，AP DE 3t ，又 ( s2，t,0)， (s,2 t,0)，233 BP PC 3 ，( s2)(2 t) st ， st2 .BP PC 3 3 3把 t 代入上式得 s ，233 43 ，在线段 BC 上存在点 P，使 APDE.此时， .BP 13BC BPBC 13数学思想在向量中的应用如图 34 所示，
21、在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，ABC ，OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点，N 为 BC 的中4点图 34(1)证明：直线 MN平面 OCD；(2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小解 作 APCD 于点 P，分别以 AB，AP，AO 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz，如图所示，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，P ，D ，(0，22，0) ( 22，22，0)O(0,0,2)，M(0,0,1) ，N .(1 24，24，0)(1)证明： ，MN (1 24，24， 1) ， .OP (0，22， 2) OD
22、( 22，22， 2)设平面 OCD 的法向量为 n(x，y，z)，由 n 0，n 0，得Error!OP OD 令 z ，得 n(0,4， )2 2 n 0 4(1) 0，MN (1 24) 24 2 n.MN 又 MN平面 OCD，MN平面 OCD.(2)设异面直线 AB 与 MD 所成的角为 . (1,0,0)， ，AB MD ( 22，22， 1)cos ， .AB MD AB MD |AB |MD | 222 12 与 所成的角为 .AB MD 23故异面直线 AB 与 MD 所成的角 .23 3规律方法 空间向量的具体应用主要体现为两种方法向量法和坐标法.这两种方法的思想都是利用空
23、间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论.这样就把立体几何问题转化为为空间向量来研究，体现了化归与转化思想.跟踪训练4在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BC2AD2AB2 ，ABBC ，如2图 35 所示，把 ABD 沿 BD 翻折，使得平面 ABD平面 BCD.(1)求证：CDAB .(2)若点 M 为线段 BC 的中点，求点 M 到平面 ACD 的距离(3)在线段 BC 上是否存在点 N，使得 AN 与平面 ACD 所成的角为 60？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由BNBC图 35解 (1)证明
24、：在直角梯形 ABCD 中，ADBC ，BC2AD2AB2 ，AB BC，所以 ADAB ，BD2 2 2，DBCADB 45 ，AB2 AD2CD 2，22 2r(2)2 2222cos 45所以 BD2CD 2BC 2，所以 CDBD.因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，CD 平面 BCD，所以 CD平面 ABD，又 AB平面 ABD，所以 CDAB.(2)由(1)知 CDBD.以点 D 为原点，DB 所在的直线为 x 轴，DC 所在的直线为 y 轴，过点 D 作垂直于平面 BCD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，由已知得 A(1,0,1)，
25、B(2,0,0)，C (0,2,0)，D(0,0，0)，M(1,1,0) ，所以 (0，2,0)， (1,0，1) ， (1,1,0)CD AD MC 设平面 ACD 的一个法向量为 n(x，y，z)，则 n0， n0，即CD AD Error!令 x1，得 z1，y 0，则平面 ACD 的一个法向量为 n(1,0，1)，所以点 M 到平面 ACD 的距离为 d .|nMC |n| 12 22(3)假设在线段 BC 上存在点 N，使得 AN 与平面 ACD 所成的角为 60.设 (01)，N (a，b,0)，则(a2，b,0) (2,2,0)，BN BC 所以 N(22，2，0)， (12，2 ，1)AN 又平面 ACD 的一个法向量为 n(1,0，1)，且直线 AN 与平面 ACD 所成的角为 60，所以 sin 60 ，|AN n|AN |n|即 ，可得 822 10，解得 |1 2 1|1 22 22 122 32或 (舍去)14 12综上所述，在线段 BC 上存在点 N，使得 AN 与平面 ACD 所成的角为 60，此时 .BNBC 14
