1、2.4.1 抛物线的标准方程学习目标：1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程(重点)2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用(难点)自 主 预 习探 新 知1抛物线的定义思考 1：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？提示 不一定当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线；l 不经过点 F 时，点的轨迹是抛物线2抛物线的标准方程图形 标准方程 焦点坐标 准线方程y22px(p 0) (p2，0)xp2y22px(p0) ( p2，0)xp2x22py(p 0) (0，p2)yp2x22py(p0) (0， p2)yp2思考 1：抛物
2、线的标准方程 y22px (p0)中 p 的几何意义是什么？提示 焦点到准线的距离思考 2：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？提示 一次项变量为 x(或 y)，则焦点在 x 轴( 或 y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上焦点确定，开口方向也随之确定基础自测1思考辨析(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线(2)抛物线 x220y 的焦点到准线的距离是 10.( )(3)抛物线 y2x 2 的准线方程是 y .( )18提示 (1) 不一定当 F 在 l 上时是过 F 且垂直于 l 的一条直线(2) (
3、3)2抛物线 y24x 的焦点坐标是 ( )A(0,2) B(0,1)C(2,0) D(1,0)D y24x ，焦点 F(1,0)3已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_. 【导学号：33242172】y28x 或 x2y 设抛物线方程为 y22px (p0)，或x22py( p0)将 P(2，4)代入，分别得方程为 y28x 或 x2y.合 作 探 究攻 重 难求抛物线的标准方程分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)准线方程为 2y40；(2)过点(3，4)；(3)焦点在直线 x3y150 上思路探究 确 定 抛 物 线的 类 型 设
4、出 标准 方 程 确 定 参 数 写 出 方 程解 (1)准线方程为 2y40，即 y2，故抛物线焦点在 y 轴的正半轴上，设其方程为 x22py (p0)，又 2，所以 2p 8，故抛物线方程为 x28y.p2(2)点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px(p0)或 x22p 1y(p10) 把点(3 ，4)的坐标分别代入 y22px 和 x22p 1y，得(4)22p3,3 2 2p1(4)，即 2p ，2p 1 .163 94所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 y.163 94(3)令 x0 得 y5；令 y0 得 x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0) 所
5、求抛物线的标准方程为x220y 或 y260x.规律方法 求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出 p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程可统一设成y2ax( a0)，焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2ay (a0).跟踪训练1根据下列条件分别求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线 16x29y 2144 的左顶点；(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，|AF|5.解 (1)双曲线方程可化为 1，左顶点为(3,0)，x29 y216由题意设抛物线方
6、程为 y22px (p0)且 3， p2p6，抛物线的方程为 y212x .(2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y22px(p0)，A(m ，3)，由抛物线定义得 5|AF| .|m p2|又(3) 22pm ，p1 或 p9，故所求抛物线方程为 y2 2x 或 y218x.抛物线定义的应用探究问题1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？提示 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为 M；一个定点 F，即抛物线的焦点；一条定直线 l，即为抛物线的准线；一个定值，即点 M 与点 F 的距离和 M 到 l 的距离之比等于 1.定点 F 不能在直线上，否则，
7、动点 M 的轨迹就不是抛物线. 2如何通过抛物线定义实现距离转化？提示 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题3如何利用抛物线定义解决与抛物线有关的最值问题？提示 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题若位于 y 轴右侧的动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 .(12，0) 12求点 M 的轨迹方程【导学号：33242173】思路探究 把|MF|比 M 到 y 轴的距离大 ，转化为|MF|与点 M 到 x12的距离相等，从而
8、利用抛物线定义求解12解 由于位于 y 轴右侧的动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 ，(12，0) 12所以动点 M 到 F 的距离与它到直线 l：x 的距离相等(12，0) 12由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为 y22 px(p0)的形式，而 ，p2 12所以 p1,2p2，故点 M 的轨迹方程为 y22x (x0)母题探究：1.(变换条件、改变问法)若本例中点 M 所在轨迹上一点 N 到点F 的距离为 2，求点 N 的坐标解 设点 N 的坐标为( x0，y 0)，则| NF|2，即 2y 4 ，又由(x0 12) 20典例的解析知
9、点 M 的轨迹方程为 y22x (x0)，故 y 2x 0 ，20由可得Error!或Error!故点 N 的坐标为 或 .(32，3) (32， 3)2(变换条件、改变问法)若本例中增加一点 A(3,2)，其他条件不变，求|MA| |MF|的最小值，并求出点 M 的坐标解 如图，由于点 M 在抛物线上，所以|MF|等于点 M 到其准线 l 的距离|MN|，于是|MA |MF|MA| |MN| ，所以当 A、M、N 三点共线时，|MA| |MN|取最小值，亦即 |MA| MF|取最小值， 最小值为 3 .12 72这时点 M 的纵坐标为 2，可设 M(x0,2)，代入抛物线方程得 x02，即
10、M(2,2)规律方法 利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化.解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等.与抛物线有关的应用问题河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一小船宽 4 m，高 2 m，载货后船露出水面上的部分高 0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？【导学号：33242174】思路探究 建立平面直角坐标系得出抛物线方程，借助抛物线方程分析求解解 如图所示，以拱桥的拱顶为原
11、点，以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为 x22py(p0)，由题意可知点 B(4，5)在抛物线上，故 p ，得 x2 y.85 165当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AA，则 A(2，y A)，由 22 yA，得 yA .165 54又知船面露出水面上的部分高为 0.75 m，所以 h|y A|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距 2 m 时，小船开始不能通航规律方法 涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决，建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再
12、结合实际问题求解.跟踪训练2某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面 6 m，桥墩高出水面 4 m现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过 18 m，目前吃水线上部分中央船体高 5 m，宽 16 m，且该货船在现在状况下还可多装 1 000 t 货物，但每多装 150 t 货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？解 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为 x 轴，竖直直线为 y轴，建立直角坐标系拱顶距水面 6 m，桥墩高出水面 4 m，A(10，2)设桥孔上部抛物线方程是 x2
13、2py (p0)，则 1022p(2) ，p25，抛物线方程为 x250 y，即 y x2.150若货船沿正中央航行，船宽 16 m，而当 x8 时，y 82 1.28 m，150即船体在 x 8 之间通过，B(8，1.28) ，此时 B 点距水面 6(1.28)4.72(m)，而船体高为 5 m，无法通行又54.720.28 m,0.280.047，15071 050(t) ，即若船通过增加货物通过桥孔，则要增加 1 050 t，而船最多还能装 1 000 t货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔当 堂 达 标固 双 基1抛物线 y ax2 的准线方程是 y2，则实数 a 的值为( )A.
14、B C8 D818 18B 由 yax 2，得 x2 y， 2，a .1a 14a 182若点 P 到定点 F(4,0)的距离比它到直线 x50 的距离小 1，则点 P 的轨迹方程是 ( )Ay 216 x By 232xCy 216x Dy 216x 或 y0(x 0)C 点 F(4,0)在直线 x50 的右侧，且 P 点到点 F(4,0)的距离比它到直线 x50 的距离小 1，点 P 到 F(4,0)的距离与它到直线 x40 的距离相等故点 P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右， p8，故 P 点的轨迹方程为 y216 x.3抛物线 y22px (p0) 上一点 M 到焦点的距离是
15、a ，则点 M 的横(a p2)坐标是 ( ) 【导学号：33242175】Aa Bap2 p2Ca p DapB 设抛物线上点 M(x0，y 0)，如图所示，过 M 作 MNl 于 N(l 是抛物线的准线 x )，连 MF.根据抛物线定义，p2|MN|MF| a，x 0 a，p2x 0a ，所以选 B.p24抛物线 y22px (p0) 过点 M(2,2)，则点 M 到抛物线准线的距离为_y 22px 过点 M(2,2)，于是 p1，所以点 M 到抛物线准线的距离为522 .p2 525若抛物线 y22px (p 0)上一点 M 到准线及对称轴的距离分别为 10 和6，求 M 点的横坐标及抛物线方程. 【导学号：33242176】解 点 M 到对称轴的距离为 6，设点 M 的坐标为( x,6)，6 22px. 点 M 到准线的距离为 10，x 10. p2由解得Error!或Error!故当点 M 的横坐标为 9 时，抛物线方程为 y24x ，当点 M 的横坐标为 1时，抛物线方程为 y236 x.
