1、2.2.2 椭圆的几何性质 (一)学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形(重点、难点)自 主 预 习探 新 知椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1(ab0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2图形对称性 对称轴 x 轴和 y 轴，对称中心(0,0)范围 x a，a，y b， b xb， b，y a，a顶点A1(a,0)，A 2(a,0)，B1(0，b)，B 2(0，b)A1(0，a)，A 2(0，a) ，B 1(b,0)，B2(b,0)轴长 短轴|
2、B 1B2|2b，长轴|A 1A2|2a焦点 F1(c,0)，F 2(c,0) F1(0，c )，F 2(0，c)焦距 |F1F2|2c离心率 e (0e1)ca思考(1)：椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？提示 最大距离： ac ；最小距离：ac.(2)椭圆方程 1(ab0) 中 a，b，c 的几何意义是什么？x2a2 y2b2提示 在方程 1( ab0) 中，a，b，c 的几何意义如图所示即x2a2 y2b2a，b，c 正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形基础自测1思考辨析(1)椭圆离心率越大，椭圆越圆( )(2) 1(ab0)与 1(ab0)的焦
3、距相等( )x2a2 y2b2 y2a2 x2b2(3)已知椭圆 1 的离心率 e ，则 k 的值为 4 或 .( )x2k 8 y29 12 54提示 (1) 离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆(2)(3) 由 e21 ；又因椭圆的焦点在 x 轴或在 y 轴上，所以有两个b2a2值当 a1 时，焦点在 x 轴上，a 2k 8，c 2k 1，又 e ，所以 ，12 14 k 1k 8解得：k4；当 k1 时，焦点在 y 轴上，a 29，c 21k ，又 e ，所以 12 14，解得 k .1 k9 542椭圆 6x2 y26 的长轴端点坐标为 ( )A( 1,0)(1,0) B(6,0
4、) ，(6,0)C( ，0)，( ，0) D(0 ， )，(0， )6 6 6 6D x 2 1 焦点在 y 轴上，长轴端点坐标为(0， )，(0， )y26 6 63椭圆 x2 4y24 的离心率为 ( )A B32 34C D22 23A y 2 1，a2，b1，c ，e .x24 a2 b2 3 ca 32合 作 探 究攻 重 难由椭圆方程求椭圆的几何性质求椭圆 16x225y 2400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标思路探究 化为标准方程，确定焦点位置及 a，b，c 的值，再研究相应的几何性质解 把已知方程化成标准方程 1，可知 a5，b4，所以 c3.x252 y242因
5、此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a10 和 2b8，离心率 e ，两个ca 35焦点分别是 F1(3,0)和 F2(3,0)，椭圆的四个顶点是 A1(5,0)，A 2(5,0)，B1(0，4) 和 B2(0,4)规律方法 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a，b，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量.跟踪训练1求椭圆 9x2y 281 的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解 椭圆的标准方程为 1，则 a9，b3.c 6 ，长x29 y281 a2 b2 2轴长 2a18，短轴长 2b6，焦点坐标为(0,6 )，(0，6
6、)，顶点坐标(0,9)，2 2(0， 9)，(3,0)，(3,0) ，离心率 e .ca 223由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是 10，离心率是 ；45(2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6. 【导学号：33242125】思路探究 先判断焦点位置并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.解 (1)设椭圆的方程为 1( ab0) 或 1(ab0) x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由已知得 2a10，a5.e ，c 4.ca 45b 2a 2c 225169.椭圆方程为 1 或 1.x225 y29 x
7、29 y225(2)依题意可设椭圆方程为 1( ab0) x2a2 y2b2如图所示，A 1FA2 为一等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|c，|A 1A2|2b，cb3， a 2b 2c 218，故所求椭圆的方程为 1.x218 y29规律方法 利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的方程，解方程(组)求得参数提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距跟踪训练2求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1
8、)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，其离心率为 ，焦距为 8.12(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.3解 (1)由题意知，2c8，c4，e ，a8，ca 4a 12从而 b2a 2c 248，椭圆的标准方程是 1.y264 x248(2)由已知得Error!Error!从而 b29，所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x212 y29 x29 y212求椭圆的离心率探究问题1求椭圆离心率的关键是什么？提示 根据 e ，a 2b 2c 2，可知要求 e，关键是找出 a，b，c 的等量ca关系2a，b，c 对椭圆形状有何影响？提示 (1)e .ca a2 b
9、2a2已知 F1，F 2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，若ABF 2 是正三角形，求该椭圆的离心率. 【导学号：33242126】思路探究 由题设求得 A、B 点坐标，根据ABC 是正三角形得出a，b，c 的关系，从而求出离心率解 设椭圆的方程为 1(ab0) ，焦点坐标为 F1(c,0)，x2a2 y2b2F2(c,0)依题意设 A 点坐标为 ，( c，b2a)则 B 点坐标为 ，( c， b2a)所以|AB| .2b2a由ABF 2 是正三角形得 2c ，即 b22ac，32 2b2a 3又b 2a 2c 2， a2 c22ac 0，3 3两边同
10、除以 a2 得 2 0，3(ca)2 ca 3解得 e .ca 33母题探究：1.(变换条件) 本例中将条件“过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，若ABF 2 是正三角形”改为“A 为 y 轴上一点，且 AF1 的中点 B 恰好在椭圆上，若AF 1F2 为正三角形”如何求椭圆的离心率？解 设椭圆的方程为 1(ab0) ，焦点坐标为 F1(c,0)，F 2(c,0)，x2a2 y2b2设 A 点坐标为(0 ，y 0)(y00)，则 B 点坐标为 ，( c2，y02)B 点在椭圆上， 1，解得 y 4b 2 ，c24a2 y204b2 20 b2c2a2由AF 1F2 为正三角
11、形得 4b2 3c 2，b2c2a2即 c48a 2c24a 40，两边同除以 a4 得 e48e 2 40，解得 e 1.32(变换条件) “若ABF 2 是正三角形”换成“椭圆的焦点在 x 轴上，且 A点的纵坐标等于短半轴长的 ”，求椭圆的离心率23解 设椭圆方程为 1(ab0) ，F 1(c,0)，F 2(c,0)，x2a2 y2b2由题意知 A 在椭圆上，( c，23b) 1，解得 e .c2a2 49 53规律方法 求椭圆离心率的方法直接求出 a 和 c，再求 e 也可利用 e 求解.ca 1 b2a2若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，
12、然后整理成 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率 e 的方程，进ca而求解.当 堂 达 标固 双 基1若椭圆 y 21(a0)的焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭x2a2圆的离心率为( )A. B C. D32 12 22 52A 由 a2b2，b1 得 c ，e .3ca 322已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 ，则 C 的方12程是( ) 【导学号：33242127】A 1 B 1x23 y24 x24 y23C 1 D 1x24 y22 x24 y23D c1，由 e 得 a2，由 b2a 2c 2 得 b23.ca 12所以椭圆方程为 1.
13、x24 y233椭圆 1 的离心率为 ( )x216 y28A B C D13 12 33 22D a 216，b 28，c 28.从而 e .ca 224已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为 1，则椭圆 C 的标准方程为_ 1 由题意知 a c3，ac1，解得 a2，c 1，则 b23.又x24 y23焦点在 x 轴上， 椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y235求椭圆 9x216y 2144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标 . 【导学号：33242128】解 已知方程化成标准方程为 1，x216 y29于是 a4，b3，c ，16 9 7椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a8 和 2b6，离心率 e ，又知焦点在 x 轴上，ca 74两个焦点坐标分别是( ，0)和( ，0)，四个顶点坐标分别是(4,0)，7 7(4,0)，(0 ，3)，(0,3)
